2020届湖北省襄阳五中、夷陵中学高三下学期4月线上联合考试数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省襄阳五中、夷陵中学高三下学期4月线上联合考试数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，若，则的子集个数为（    ）．

A．8 B．7 C．6 D．4

【答案】A

【解析】由于，所以，从而得，，得，可得中有3个元素，得其子集的个数为8

【详解】

∵，∴，且，解得，，则，，∴．子集有．

故选：A．

【点睛】

此题考查集合的交集、并集的有关知识，考查了集合的子集个数，属于基础题

2．设是虚数单位，若复数，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将代入化简可得结果

【详解】

∵复数，则，

故选：B．

【点睛】

此题考查复数的运算，属于基础题

3．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于五人要分成四组，所以有一组是2人，其余各组各一人，因此共有种，而甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，所以所求的概率为

【详解】

五人分成四组，先选两人成一组，余下各自成一组，共有种．甲和乙同一组其余三人各自成一组，只有一种分法，故甲和乙恰好在同一组的概率是，甲和乙不在同一组的概率是．

故选：D

【点睛】

此题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】通过函数值的正负可判断函数的图象.

【详解】

因为，故当时，，

而当，，结合各选项中的图象可得C是正确的，

故选：C.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题.

5．已知的展开式中的系数是，则实数的值为（    ）．

A． B．1 C． D．

【答案】D

【解析】由题可知的系数是由中的3次项系数与2次项系数的倍的和组成，列方程可求出的值.

【详解】

∵的展开式中的系数是．

故选：D

【点睛】

此题考查二项式定理，属于基础题.

6．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则原木件的母线与底面所成角正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出母线与底面所成的角.

【详解】

由三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，．

故选：B．

【点睛】

此题考查三视图和几何体之间的转换，线面角的计算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

7．函数的单调递增区间是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先将函数化为的形式，然后将内层函数看作整体，放在正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，再给取值，使其增区间在内即可

【详解】

因为，由，解得，所以当时，增区间为，

故选：A．

【点睛】

此题考查三角函数的化简和三角函数的图像和性质，属于基础题.

8．已知向量，，满足，，，则的最大值等（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若令，，，则已知可得在以为弦的圆的优弧上运动，再结合图形，可求出的最大值.

【详解】

，，，由题意，，得，，，∵，∴，∴在以为弦的圆的优弧上运动，，，，当点在的延长线与圆交点时，最大为．

故选：D

【点睛】

此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.

9．若函数在区间上存在最小值，则非零实数的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】讨论的符号，当时，可得 ，当时，可得，然后解出的取值范围即可.

【详解】

当时，由得，题意知则；当时，由得，根据题意知则；∴或．

故选：D

【点睛】

此题考查了分类讨论的思想方法，正弦函数的最值的求法，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题.

10．已知当时，，则以下判断正确的是（    ）．

A． B．

C． D．与的大小关系不确定

【答案】B

【解析】由函数的增减性及导数的应用得，设，，而此函数为偶函数，求导后可判断函数在为增函数，然后利用偶函数的性质结合增减性可得答案.

【详解】

设，则它为偶函数，，当时，，函数在递增，由偶函数对称性知在区间递减．变形得即，∴．

故选：B

【点睛】

此题考查了函数的增减性及导数的应用，属于中档题.

11．若不等式组所表示的平面区域的面积为2，则的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】画出约束条件的可行域，利用可行域的面积求解，化简目标函数的表达式，利用几何意义，转化求解取值范围即可.

【详解】

图中点，，，故阴影部分的面积为，解之得，，设点，，则的几何意义是点与点连线的斜率，由图可知，或，故取值范围是．

故选：C

【点睛】

此题考查线性规则的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键，属于基础题.

12．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根，利用导数可得，当时，是增函数，当时，是减函数，从而可得，令，分析得在有解，且易知只能有一个解，然后可判断出函数的增减区间，从而得，由此可求出的取值范围

【详解】

函数在内都有两个不同的零点，等价于方程在内都有两个不同的根．，所以当时，，是增函数；当时，，是减函数，因此．

设，，

若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且由两根之积为负，可知只能有一个解．设其解为满足，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．

因为任意的方程在有两个不同的根，所以

②

①，所以．因为，所以，

代入，得．设，，所以在上是增函数，而，由可得，得．

由在上是增函数，得．综上所述，

故选：A．

【点睛】

此题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想，属于难题.

二、填空题

13．锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，则__________．

【答案】

【解析】先由正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数公式化简可求得结果.

【详解】

，由正弦定理得，

，，锐角的内角．

故答案为：

【点睛】

此题考查正弦定理和三角函数恒等变形公式，属于基础题.

14．已知数列1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则的值是__________．

【答案】

【解析】由1，，，4成等差数列先求出公差，从而可求出，的值，再由1，，，，4成等比数列，求出公比，从而可求出的值，再把求得的值代入中可得结果.

【详解】

数列1、、、4成等差数列，设公差为，则，解得，∴，．

数列1、、、、4成等比数列，设公比为，则，解得，∴，∴．

故答案为：

【点睛】

此题考查了等差数列和等比数列的有关计算，属于基础题.

15．已知双曲线的左右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则曲线的离心率为__________．

【答案】4

【解析】若设左、右焦点分别为，，由于点坐标为，所以；而为等腰三角形，只需分和进行计算即可.

【详解】

设，，显然．若，则，

得，即，解得，舍．若，

则，即，即，得，因为，所以．

故答案为：4

【点睛】

此题考查双曲线的性质及两点间的距离公式，考查双曲线的离心率的范围，属于基础题.

三、解答题

16．三棱锥中，点是斜边上一点，给出下列四个命题：

①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

②若，平面，则三棱锥的外接球表面积为；

③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；

④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为．

其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）

【答案】①②④

【解析】对于①，由已知条件可知三棱锥的四个面均为直角三角形，故①正确；

对于②，由已知条件可知三棱锥的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，从而得，所以球的表面积为，故②正确；

对于③，三棱锥的体积为，故③不正确；

对于④，由已知可得直线与平面所成的最大角为，而，从而得，所以④正确.

【详解】

对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个平面都是直角三角形，∴①正确；

对于②，若，，，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球，∴，∴表面积为，∴②正确；

对于③，设内心是，则平面，连接，则有，又内切圆半径，所以，，故，∴三棱锥的体积为，∴③不正确；

对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的最大角时，点与点重合，在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，∴④正确．

故答案为：①②④

【点睛】

此题考查了立体几何中的垂直关系，几何体的外接球问题，线面角问题等，是一道综合题，属于中档题.

17．已知等差数列，若，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项；

（Ⅱ）把（Ⅰ）解得的代入中，化简得

，然后利用裂项相消法求和.

【详解】

解：（Ⅰ）∵，∴①

∵，，成等比数列，∴，∴化简得，

若，

若，②，由①②可得，，

所以数列的通项公式是或

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

【点睛】

此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题.

18．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，点是棱的中点，点在上，且，∥平面．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）连接，设，通过，可求解出的值；

（Ⅱ）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值.

【详解】

（Ⅰ）连接，设，则平面平面，

∵平面，∴，

∵，∴，∴，

（Ⅱ）∵，∴，，又∵，，∴

∴，∴，∴平面，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，平面的法向量

设平面的法向量，则

，

，令，得，

，即所求二面角的余弦值是．

【点睛】

此题考查空间向量数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.

19．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出，再将点坐标代入椭圆方程中可求出的值；

（Ⅱ）求出，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，整理成关于的一元二次方程，再利用韦达定理，求出 ,通过转化求解，得到，求得的值.

【详解】

（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得，，∴的周长为，∴，，

∴椭圆的方程为，将代入得，所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，

由消去，整理得，

设，，则，，

不妨设，，，

同理，

所以

即，所以存在实数，使得成立

【点睛】

此题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题.

20．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：

第一种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，91，87，89，90，90；

第二种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为81，87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效．

（Ⅰ）写出第一种试验方案的10个数据的极差、中位数、方差；

（Ⅱ）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取3只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期望；

（Ⅲ）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中800只为正常白鼠，200只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为．

①求并写出与的关系；

②要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有940只，求最大的正整数的值．

【答案】（Ⅰ）极差为8，中位数为89.5，方差5.2（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）①，②

【解析】（Ⅰ）直接求极差、中位数、方差；

（Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故的可能值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列；

（Ⅲ）① 根据题意，可得结果；

② 结合①，由 ，可得，构造函数

，， 则在单调递减，求出最大值即可.

【详解】

（Ⅰ）第一种试验方案的10个数据的极差为8，中位数为89.5，

平均数为89，方差；

（Ⅱ）在第二种实验中服药有效的白鼠有3只，无效的有7只，故的可能值为0，1，2，3，

，，，

的分布列为：

（Ⅲ）①，

②

在单调递减，且，，

故最大整数

【点睛】

此题考查离散型随机变量分布列和期望，方差，同时考查了函数的单调性，数列的递推式等，属于中档题.

21．设函数，．

（Ⅰ）讨论的单调区间；

（Ⅱ）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析

【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出导函数，根据导函数讨论参数，得出函数的单调区间；

（Ⅱ）令，求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，从而确定的范围即可；

（Ⅲ）问题等价变形恒成立，取，都有成立，取即可.

【详解】

解（Ⅰ），，，

①当时，，在单调递增

②当时，令，此时，

方程有两个正根，因此得或，

此时在单调递增，在单调递减，

在单调递增

（Ⅱ）令，则，令，，则，

①当时，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，所以，符合题意．

②当时，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，不合题意；

③当时，令，

则当时，，于是在上单调递减，

从而，因此在上单调递减，

所以，而且仅有，不合题意．

综上所求实数的取值范围是．

（Ⅲ）对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，

变形为恒成立，在（Ⅰ）③中，令，，

则得在上单调遍减，所以，

即，令，则得成立．

当时，可得．

即，所以成立．

【点睛】

此题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题.

22．直角坐标系中直线，圆的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）求的普通方程，写出的极坐标方程；

（Ⅱ）直线与圆交于，，为坐标原点，求．

【答案】（Ⅰ）．，（Ⅱ）1

【解析】（Ⅰ）将变形为，再给两个两边分别平方相加，可消支参数，得到的普通方程，由直线的直角坐标方程可得其极坐标方程为，；

（Ⅱ）将代入圆的极坐标方程中，得，然后利用的几何意义可得结果.

【详解】

（Ⅰ）的参数方程为（为参数），消去参数，得的普通方程为．

直线的极坐标方程为，

（Ⅱ）直线的极坐标方程为，，由直线与圆的位置关系设，的极坐标为，，，，的极坐标方程为，

将代入得，，为方程的两根，

【点睛】

此题考查将曲线的参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，利用极坐标的几何意义求值，属于基础题.

23．已知函数，且．

（Ⅰ）若，求的最小值，并求此时，的值；

（Ⅱ）若，求证：．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）先求出，然后利用柯西不等式求其最小值；

（Ⅱ）利用绝对值三角不等式证明

【详解】

解：（Ⅰ）

由柯西不等式得：

，

此时

（Ⅱ），

【点睛】

此题考查了柯西不等式和绝对值三角不等式，属于基础题.