2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（文）试题
展开武昌区2020届高三年级元月调研考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，，则
A． B. C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则
A． B. C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系为
A． B. C． D．
5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，则
A． B. C．2 D．4
6．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A． B. C． D．
7．已知数列中，，，设，则数列的前项和为
A． B. C． D．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，则球O的表面积为
A． B. C． D．
9．已知双曲线的左焦点为，点为其右支上任意一点，点的坐标为，
则周长的最小值为
A． B． C． D．
10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：
①直线为函数的一条对称轴；
②点为函数的一个对称中心；
③函数的图象向右平移个单位后得到
函数的图象.
其中，正确说法的个数是
A．0 B.1 C．2 D．3
11．已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点
A． B. C． D．
12．已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是
A． B. C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最大值为______.
14．若直线：被圆:截得的线段最短，则实数的值为______.
15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2 倍，则所有可能的取值为______.
16．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将 沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列三个命题：
①线段的长是定值；
②存在某个位置，使；
③存在某个位置，使平面.
其中正确的命题有______.
(填写所有正确命题的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本题12分）
在锐角中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值.
18．（本题12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本题12分）
为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示：
（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；
（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数，并填写下面列联表：
| 超过的人数 | 不超过的人数 |
男职工 |
|
|
女职工 |
|
|
（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？
附：.
P（） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
20．（本题12分）
已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
21．（本题12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且至少存在两个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）
（1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；
（2）若，，且，求证：．
武昌区2020届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | B | D | D | C | A | C | D | C | C | B |
二、填空题：
13. 14. 15. ，3，17 16. ①③
三、解答题：
解：（1）由正弦定理，知，
即，，，
所以. ………………………………………（4分）
（2）由余弦定理，知，即，
所以，当且仅当时取等号.
所以，所以. …………………………………（12分）
18．（本题12分）
解：（1）因为，，所以.
因为平面，平面，
所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
易证，因为，
所以平面. ……………（6分）
（2）取的中点，连结交于.
由（1）知平面，而，
所以平面.
连结，则为直线与平面所成的角.
在，求得.
又因为，所以. ……………（12分）
19．（本题12分）
解：（1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：
①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的 中位数为73.5分；
②男职工的成绩的的平均数髙于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；
③男职工的成绩中，有的成绩不少于80分，女职工的成绩中，有的成绩至多79分；
④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.
因此，男职工的成绩更好. ……………………（4分）
（注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分）
（2）（ⅰ）由茎叶图可知：，列表如下：
| 超过 | 不超过 |
男职工 | 15 | 5 |
女职工 | 5 | 15 |
……………（8分）
（ⅱ）由表中数据，计算，所以，有的把握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………（12分）
20．（本题12分）
解：（1）由及，得，.
所以，椭圆的方程为. ……………（4分）
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理，得
.由，得.
设，，则，.
因为，所以，于是，直线的方程为.
即，，
将，，，代入，
得，所以，直线过定点. ……………（12分）
另解：在中，令，得
.
所以，直线过定点. ……………（12分）
21．（本题12分）
解：（1）的定义域为，且.
令，得或.
当时，，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. （5分）
（2）由（1）知，或.
因为，所以不合题意.
因为时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.
所以即
解得.
此时.
记，则.
因为，所以，所以在区间单调递减，
所以，解得.
所以，的取值范围为． ……………（12分）
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
解：（1）方程可化为.
方程可化为. ……………（5分）
（2）将代入，得.
设方程的两根分别为，，则. ……10分）
23．[选修4-5：不等式选讲] （本题10分）
解：（1）方法一：因为，
因为存在实数，使成立，
所以，解得. ……………（5分）
方法二：当时，符合题意.
当时，因为所以.
因为存在实数，使成立，所以.
当时，同理可得.
综上，实数的取值范围为. ……………（5分）
（2）因为，
所以，
当且仅当或时取等号. ……………（10分）
