2020届湖北省武汉市高三下学期2月调考仿真模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用集合的补集，交集运算即可求解;
【详解】
由题意知,，，
∴，
∴.
故选:C
【点睛】
本题考查集合交集和补集运算;属于基础题.
2．已知复数满足(为虚数单位)，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先计算出，再利用共轭复数及概念计算出.
【详解】
由于，因此，因此，故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.
3．某中学有高中生4200人，初中生1200人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．90
【答案】D
【解析】分析：利用分层抽样的定义解答.
详解：由题得.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)分层抽样时，一般根据个体抽样前后的比例相等列方程.
4．设x，y 满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．-2 C．-4 D．-8
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域,利用目标函数的几何意义,向上平移直线至最高点时的即为目标函数的最小值.
【详解】
根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：
向上平移直线，
由图可知,当直线经过可行域的顶点时，
目标函数有最小值,
联立方程,解得 ,
即时，.
故选:
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想;其中作出可行域,找到使取得最值的点是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5．已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）
A．- B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等差数列的性质可知, ,求出,再由即可求解.
【详解】
∵数列为等差数列，，
∴由等差数列的性质可得,，
所以，即,
因为,所以，
∴.
故选：A
【点睛】
本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据几何体的三视图可知：直观图为半径为，高为的圆柱的，再计算体积即可.
【详解】
由题知：几何体为半径为，高为的圆柱的.
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的还原，弄清直观图的形状为解题的关键，属于简单题.
7．右图是一个算法的程序框图，如果输入，，那么输出的结果为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】模拟程序框图运行过程，如下；
当i=1时, ，满足循环条件，此时i=2；
当i=2时, ，满足循环条件，此时i=3；
当i=3时, ，满足循环条件，此时i=4；
当i=4时, ，不满足循环条件，
此时
本题选择C选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
8．设为向量，则“”是“” （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等．
【详解】
根据向量数量积运算，
若，即 =
所以 = 1，即
所以
若，则的夹角为0°或180°，所以“
或
即
所以“”是“”的充分必要条件
所以选C
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算，充分必要条件的判定，属于基础题．
9．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型概率求解其概率值即可
【详解】
由题意可得甲的平均数：
被污损的数字设为，则乙的平均数为：
满足题意时，，即，解得
即可能的取值为，
由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为：
故选：A
【点睛】
本题主要考查茎叶图的识别与阅读、平均数的计算方法、古典概型概率计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。
10．已知函数,为其图象的对称中心,､是该图象上相邻的最高点和最低点,若,则的解析式为( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据，利用勾股定理可求得值，再利用为其图象的对称中心，求出即可.
【详解】
解：因为､是该图象上相邻的最高点和最低点，，
由勾股定理可得：，
即，求得.
又因为为其图象的对称中心，
可知 ，解得.
所以的解析式为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正弦函数型函数的图象与性质，属于中档题.
11．若双曲线的两条渐近线与抛物线交于、、三点（点为坐标原点），且直线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】由对称性及过抛物线的焦点可得，代入渐近线方程可得关系，从而求得离心率．
【详解】
双曲线的两条渐近线与抛物线交于、、三点，且直线经过抛物线的焦点，可得，则在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：，所以，即，可得，所以双曲线的离心率为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查抛物线的性质，关键是得出双曲线中的关系式．
12．在三棱锥中，，，面，且在三角形中，有（其中为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设该三棱锥外接球的半径为.
在三角形中，（其中为的内角所对的边）.
∴
∴根据正弦定理可得，即.
∵
∴
∵
∴
∴由正弦定理，，得三角形的外接圆的半径为.
∵面
∴
∴
∴该三棱锥外接球的表面积为
故选A.
点睛：本题考查正弦定理解三角形及三棱锥外接球的表面积，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的表面积.
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为_______________ ．
【答案】y=x-1
【解析】由题意可得： ，则 ，
函数在 处的函数值： ，
据此可得，切线方程过点 ，切线的斜率为 ，
切线方程为： .
点睛：在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
14．已知向量，满足，，，则与的夹角为______.
【答案】60°
【解析】可假设与的夹角，根据向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
设与的夹角为，
由，所以
即，又，，
可知
所以
又
所以
故答案为：60°
【点睛】
本题考查向量的夹角公式，属基础题.
15．已知函数，且，则实数a的值等于______.
【答案】
【解析】先求出的值,然后分和两种情况,分别代入对应的解析式，解关于的方程即可.
【详解】
当时，因为，
所以，
即，得到；
当时，因为，
所以，即，方程无解.
综上所述，.
故答案为:
【点睛】
本题考查利用分段函数的解析式求参数及指数型函数与对数型函数的性质;属于中档题.
16．已知F是椭圆 =1的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知,,先分别求出过点,斜率为和斜率不存在时所对应的直线与椭圆的交点,然后根据直线绕定点旋转斜率的变化情况,找出符合题意的点的位置,进而求出直线的斜率变化范围即可.
【详解】
由椭圆方程为，可知，
当过点,且斜率为时,此时所对应的直线为，
由，解得或,
所以直线与椭圆的交点为，
因为过作轴垂线与椭圆交于，
所以当点在弧上时，符合题意，
，
斜率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程,结合圆锥曲线求直线斜率范围,属于中档题;
解决圆锥曲线范围问题一般有两种方法:
几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决;
将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数的有界性、函数单调性以及均值不等式等解答.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）直接利用公式计算得到答案.
（2），，利用裂项求和计算得到答案.
【详解】
（1）由可得：当时，，上述两式相减可得.
当时：成立
故所求；
（2），
故所求.
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.
（1）求证：G为SB的中点；
（2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，，求三棱锥F-AGC的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】连接交于点，连接,利用线面平行的性质定理可得,//,再由为的中点即可得证;
利用边长的倍数关系和棱锥的体积公式进行转化, ,利用间接法,结合题意求出即可.
【详解】
（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点.
（2）解：∵，分别为，的中点，
∴.
取的中点，连接，
∵为等边三角形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
因为，所以，因为，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查线面平行的性质和面面垂直的性质；通过利用边长的倍数关系,把求三棱锥F-AGC的体积转化为求四棱锥的体积是求解本题的关键；考查学生分析问题、解决问题的能力;属于中档题.
19．一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：
（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率.
（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？
参考公式：，其中
参考附表：
【答案】（1）（2）见解析，有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关.
【解析】先得到相应范围的频数,然后利用频率得到概率即可;
根据列联表内的已有数据,结合题中表格数据,计算出其他数据,完成列联表，代入公式,计算出观测值，参照临界值表即可作出判断.
【详解】
（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为：
，
所以该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：.
（2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人，
非高收入人群中女性有60人，男性有120人，
完成列联表如下：
| 高收入人群 | 非高收入人群 | 合计 |
女 | 140 | 60 | 200 |
男 | 180 | 120 | 300 |
合计 | 320 | 180 | 500 |
根据列联表中的数据，计算得
故有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关.
【点睛】
本题考查利用频率估计概率和独立性检验思想的应用;重点考查学生的运算能力;属于基础题.
20．已知椭圆E：的离心率为，且过点.直线l：与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，求实数m的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据离心率和过点代入计算得到答案.
（2）设，，，联立方程，利用韦达定理得到，，计算得到答案.
【详解】
（1）离心率且E过点，即
解得，，故所求椭圆E的方程为：；
（2）设，，
由联立化简得：
，
又，
与联立解得：，
代入解得：，
验证：当时，成立，符合题意
故所求.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力.
21．已知函数，是其导函数．
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若，证明：在区间内至多有1个零点．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出与利用点斜式求出直线方程；
（Ⅱ）由，设，则，即，对求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，则，
又，
则在处的切线方程为：，
即．
（Ⅱ），
又，设，
，
，
因，故，
又，故对恒成立，即在区间单调递增；
又，；
故当时，，此时在区间内恰好有个零点．
当时，，此时在区间内没有零点；
综上结论得证．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.
22．已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出曲线是什么曲线；
（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.
【答案】（1），此曲线为圆（2）
【解析】（1）根据，将极坐标方程转化为直角坐标方程，得到答案；（2）将直线的参数方程代入中，得到，，根据参数的几何意义，得到答案.
【详解】
解：（1）因为
所以
所以
因为，
所以，即，
则曲线的直角坐标方程为，
此曲线为以为圆心，为半径的圆.
（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，
得
其
所以，
则
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的转化，利用直线的参数的几何意义求线段长度，属于中档题.
23．已知函数．
求不等式的解集；
当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）分三种情况讨论当时，；当时，；当时，，综上，实数的取值范围为.
试题解析：（1）当时，，∴ ，故；
当时，，∴ ，故；
当时，，∴ ，故；
综上可知：的解集为.
（2）由（1）知：，
【解法一】
如图所示：作出函数的图象，
由图象知，当时，，解得：，
∴实数的取值范围为.
【解法二】
当时，恒成立，∴，
当时，恒成立，∴，
当时，恒成立，∴，
综上，实数的取值范围为.
