2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（理）试题（解析版）
展开2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先化简集合两个集合，再求交集.
【详解】
，，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点，到点的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】先化简复数，明确复数在复平面内对应的点，再用两点间的距离公式求解.
【详解】
因为，
复数在复平面内对应的点为，
到点的距离为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查运算求解的能力，属于基础题.
3．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角之差为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设两条渐近线的倾斜角分别为，，则，再根据，
求得，，有，再利用离心率与关系求解.
【详解】
设两条渐近线的倾斜角分别为，，则.
又，
，，
，
所以离心率.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.
4．已知，是空间内两条不同的直线，，是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【答案】D
【解析】A.若，，则或.B.若，，，若，不成立，C.若，，与的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断.
【详解】
若，，则或，故A不正确，；
若，，，若，则，故B不正确，
若，，与的关系是异面或平行，故C不正确，
若，，，又因为，所以，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题.
5．已知向量，满足，向量在向量方向上的投影为3，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】根据，两边平方整理得.又因为向量在向量方向上的投影为3，所以，代入上式求解.
【详解】
，
，
.
向量在向量方向上的投影为3，
，
，
，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查运算求解的能力，属于中档题.
6．函数的最小正周期是，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】D
【解析】先用辅助角法，将，转化为，再由最小正周期是，求得解析式，然后求零点即可.
【详解】
因为
.
最小正周期是，.
，
令，得.
或，.
或，.
，
当时，，，，，，共32个；
当时，，，，，共32个.
函数在区间上的零点总共有64个.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A．-126 B．-70 C．-56 D．-28
【答案】C
【解析】根据只有第5项的二项式系数最大，得到，再利用的展开式的通项，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.
【详解】
只有第5项的二项式系数最大，
，的展开式的通项为，
展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第5项的二项式系数最大，
因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，
系数为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断.
【详解】
的定义域为，，
是偶函数，排除A，C.
又且无限接近0时，且，
此时，排除D，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解即可.
【详解】
因为
所以，
即，
，即，
其中，，
，，，，
，
，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
10．已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，，然后构造函数并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小.
【详解】
对，，两边都取自然对数得
，，，
令，得，设，
得，∴在递减，∴，
∴，∴在递减，
又，，，∴，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查构造函数并利用其单调性比较大小问题，属较难题.
11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据在区间内随机取个数，则有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为，能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.
【详解】
依题有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.
因为，能与1构成钝角三角形，
由余弦定理的及三角形知识得，
构成如图阴影部分，
其面积为，
由几何概型概率计算公式得，
解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．在中，角，点是边上一点，点在上.若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设，则，.在中，表示，在中，表示，，然后在中，由正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
设，
则，.
在中，，
在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题
二、填空题
13．若函数在点处的切线与直线垂直，则实数__________.
【答案】-2
【解析】先求得，再求，然后利用切线与直线垂直，斜率互为负倒数求解.
【详解】
因为
所以，
，
在点处的切线斜率为2.
又切线与直线垂直，
，
.
故答案为：-2
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题
14．直三棱锥中，底面为等腰直角三角形且斜边，是的中点.若，则异面直线与所成的角为__________.
【答案】60°.
【解析】取的中点，连接，，则，
根据异面直线所成的角的定义，就是异面直线与所成的角.易证，然后在中求解.
【详解】
如图，
取的中点，连接，，则，
就是异面直线与所成的角.
，.又，
面，，
为直角三角形，在中，，，，
.
故答案为：60°
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，还考查了数形结合的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.
15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.
【答案】1.6
【解析】设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有
.即，再利用，，，，的平均数为4求解.
【详解】
依题意，得.
设，，，，的平均数为，
根据方差的计算公式有
.
，
即，
.
故答案为：1.6
【点睛】
本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.
16．已知抛物线，斜率为的直线与相交于，两点.若以点为圆心的圆是的内切圆，则圆的半径为__________.
【答案】
【解析】设直线的方程为，即，直线与圆相切，则.设直线，的方程分别为，，直线，OB与圆相切，，，即与是方程的两个不同实根，则，即.然后由直线与抛物线相交，通过韦达定理求解.
【详解】
设直线的方程为，即，
内切圆的半径为，则.
设直线，的方程分别为，，
即，，
直线与圆相切，，
整理得.
同理得.
与是方程的两个不同实数根.
.
设，，
则，即.
由，得，
，.
，，依题，
，满足条件.
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.
三、解答题
17．等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.根据，.再由，求的通项公式.由和，求的通项公式
（2）由（1）得，转化为，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
，即，
.
，，.
.，，.
（2）
.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．如图，平面平面，四边形和都是边长为2的正方形，点，分别是，的中点，二面角的大小为60°.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）根据三角形的中位线，有，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）根据点，分别是，的中点，二面角的大小为60°，证明平面，然后以点为原点，，（是中点），所在直线分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，再求得平面的一个法向量，利用线面角的向量求法求解.
【详解】
（1）证明：，分别是，的中点，
.
平面，平面，
平面.
（2）四边形和都是边长为2的正方形，
，，
就是二面角的平面角，
.
连接，在中，，，，
，
.
，.
，，，
平面，.
平面.
以点为原点，，（是中点），所在直线分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，取.
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，垂直关系的转化以及直线与平面所成的角，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频率分布表
男生身高 （单位：厘米） | ||||||
频数 | 7 | 10 | 19 | 18 | 4 | 2 |
女生身高频数分布表
女生身高 （单位：厘米） | ||||||
频数 | 3 | 10 | 15 | 6 | 3 | 3 |
（1）估计这1000名学生中女生的人数；
（2）估计这1000名学生中身高在的概率；
（3）在样本中，从身高在的女生中任取3名女生进行调查，设表示所选3名学生中身高在的人数，求的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）
【答案】（1）（名）（2）0.49（3）详见解析
【解析】（1）根据统计表，可知样本中男生人数和女生人数，再按比例求解.
（2）由表知样本中身高在的人数和样本容量，再代入公式求解.
（3）根据题意，明确的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列求期望.
【详解】
（1）样本中男生为60名，女生为40名.
估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）.
（2）由表知样本中身高在的人数为，样本容量是100，
样本中身高在的概率为.
估计这1000名学生中身高在的概率为0.49.
（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）确定是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，则有，即，再根据求解.
（2）依题意，点的坐标为，直线不与轴垂直，设直线，即，设，.由，得.由韦达定理，用k表示，再根据，得到，进而求得，证明.
【详解】
（1）当是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，
设是椭圆的上顶点，
则，即.
又，，
，，.
椭圆的标准方程为.
（2）证明：依题意，点的坐标为，
直线不与轴垂直，设直线，
即，直线，即.
设，.
由，
得.
，.
则.
又，，
.
又，.
.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）增区间是和，减区间是（2）
【解析】（1）由，求导.再令求解.
（2），.当时，，易证只有一个零点.当时， 易证极小值.又，根据零点存在定理，使.当时， .取，则，则由，又存在一个零点.当时，由，得或.分，，讨论.
【详解】
（1）因为，
所以，
.
令，解得或.
函数的增区间是和，减区间是.
（2），.
当时，，只有1个零点，不合题意.
当时，.
时，，为减函数；
时，，为增函数，
极小值.
又，
当时，，使.
当时，，，
.
取，则，
，
函数有2个零点.
当时，由，得或.
①当，即时，
由，得或，
在和递增，
在递减.
极大值.
函数至多有1个零点，不符合题意；
②当，即时，在单调递增，
至多有1个零点，不合题意；
③当，即时，
由，得或，
在和递增，在递减.
，时，，
.
又，函数至多有1个零点，不合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值以及函数的零点问题，还考查了函数与方程、分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于，两点，设，求实数.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）消去参数，求得直线的普通方程，由求圆的普通方程.
（2）设点，对应的参数分别为，.依题意，点在直线上且在圆的内部..然后将直线的参数方程与圆的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.
【详解】
（1）由，消去参数，
得.
由，得，即.
故圆的直角坐标方程为.
（2）设点，对应的参数分别为，.
依题意，点在直线上且在圆的内部.
.
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程并整理得，
，.
，，
得，.
，.
【点睛】
本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，已知，且，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）将函数去绝对值，得，然后分段求解.
（2）先求分段函数的最小值，.将，转化为，再利用基本不等式有求解.
【详解】
（1），
当时，由，得；
当时，由，得；
当时，由，得.
综上所述，原不等式的解集为.
（2），
在递减，在递增.
.
.
，即.
，，.
则，
当且仅当且，即，时，取等号.
，时有最小值4.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
