2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（文）试题

一、单选题

1．复数等于

Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ.

【答案】A

【解析】试题分析：。

【考点】复数的运算。

点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式：。

2．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=

A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）

【答案】C

【解析】根据并集的求法直接求出结果.

【详解】

∵ ，

∴ ，

故选C.

【点睛】

考查并集的求法，属于基础题.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦二倍角公式化简，结合诱导公式即可求解.

【详解】

由正弦二倍角公式及诱导公式，化简可得，

故选:C

【点睛】

本题考查了正弦二倍角公式的简单应用，诱导公式化简求值，属于基础题.

4．从2名男同学，2名女同学共4人中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据古典概型概率,利用列举法得所有基本事件,由恰好有1名男同学的事件个数，即可求得概率.

【详解】

设两名男同学为.两名女同学为.

从4人中任选2人的所有可能为:，共6种可能.

选到的2名同学中恰有1名男同学的基本事件为: ，有4种可能.

所以选到的2名同学中恰好有1名男同学的概率为，

故选:B

【点睛】

本题考查了列举法求典概型概率，属于基础题.

5．中，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据向量的线性运算，化简四个选项即可判断.

【详解】

根据向量的线性运算，化简可知：

对于A，，所以A错误；

对于B，，所以B正确；

对于C，，所以，所以C错误；

对于D，，所以D错误；

综上可知，B为正确选项，

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

6．函数是（    ）

A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数

【答案】A

【解析】根据函数解析式，结合奇偶性性质，即可判断函数的奇偶性；由解析式可直接判断函数的单调性.

【详解】

函数，定义域为R，

则

所以函数为奇函数，

函数，所以函数在上是增函数，

综上可知，A为正确选项，

故选：A

【点睛】

本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题.

7．已知两个平面，相互垂直，是它们的交线，则下面结论正确的是（    ）

A．垂直于平面的平面一定平行于平面

B．垂直于直线的平面一定平行于平面

C．垂直于平面的平面一定平行于直线

D．垂直于直线的平面一定与平面，都垂直

【答案】D

【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断四个选项.

【详解】

对于A，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于平面的平面会垂直于平面，所以A错误；

对于B，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于直线的平面会垂直于平面，所以B错误；

对于C，当两个平面，相互垂直，且平面，为正方体的两个面时，垂直于平面的平面可能平行于直线，也可能垂直于直线，所以C错误；

对于D，两个平面，相互垂直，是它们的交线，由线面垂直性质可知垂直于直线的平面一定与平面，都垂直，所以D正确；

综上可知，D为正确选项，

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面、平面与平面位置关系的判断，对空间想象能力要求较高，注意特殊空间图形的应用，属于基础题.

8．已知向量，满足，，，那么与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据模的向量运算，将平方后化简，即可由平面向量的数量积定义求得与的夹角.

【详解】

向量，满足，，，

则

所以，代入，，

可求得，

由平面向量数量积定义可知，设与的夹角为，

则，

则，

因为，

所以，

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量夹角的求法，平面向量数量积定义及模的运算，属于基础题.

9．函数在的图象大致为（　  　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断函数f（x）为奇函数，由此排除选项A、B，再观察C、D选项，即可得出正确答案．

【详解】

，

易知，函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项，

又f′（x）＝（cosx﹣1）′sinx+（cosx﹣1）（sinx）′

＝﹣sin2x﹣cosx+cos2x＝﹣cosx+cos2x，

故可得f′（0）＝0，可排除C，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，考查导数的应用，属于中档题．

10．“”是“属于函数单调递增区间”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据函数单调递增区间，由复合函数单调性的性质先求得单调递增的区间；由两个区间的包含关系即可判断充分必要性.

【详解】

函数单调递增区间，

由复合函数单调性可知单调递增且，

解得，即时函数单调递增，

所以“”是“属于函数单调递增区间”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题考查了复合函数单调区间求法，注意对数函数定义域的要求，充分必要条件的判断，属于中档题.

11．已知当时，函数取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据辅助角公式化简三角函数式，结合当时取得最小值，即可得表达式，结合诱导公式即可求解.

【详解】

函数

由辅助角公式化简可得

，

因为当当时，函数取得最小值，

所以，

则

所以

故选：C.

【点睛】

本题考查了辅助角公式在化简三角函数式中的应用，诱导公式求三角函数值，属于中档题.

12．已知函数，则的零点个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】令，由得到，，再根据和，得到的值，从而得到答案.

【详解】

令，则的零点，

转化为，

而，解得，，

所以，

即时，，得，

时，，得

，

即时，，得，

时，，得.

所以有4个零点.

故选：A.

【点睛】

本题考查求复合函数的零点，通过换元法区分内外层函数，逐层求解，属于中档题.

二、填空题

13．已知是第三象限的角，若，则______ .

【答案】7

【解析】利用同角三角函数关系，求得，进而得.结合正切和角公式展开即可求解.

【详解】

是第三象限的角，若，

则，

所以，

由正切和角公式可得，

‘’

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用，正切和角公式的应用，属于基础题.

14．已知为偶函数，当时，，则______ .

【答案】-2

【解析】根据时的解析式，结合偶函数性质可求得时的解析式.求得导函数，即可代入求得的值.

【详解】

当时，，

则当，，

所以

因为为偶函数，

所以

所以

则

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据奇偶性求函数解析式，基本求导公式的应用及求导数值，属于基础题.

15．中，，，，则______ .

【答案】

【解析】设，则由条件和余弦定理即可求得.

【详解】

设，则

中，，，

由余弦定理可知，

代入可得，

解得，（舍）

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.

16．边长为2的等边三角形的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为_______.

【答案】

【解析】先根据球的表面积求得球的半径，由等边三角形求得三角形的外接圆半径，结合球的性质即可求得三棱锥的高，即可求得三棱锥的体积.

【详解】

边长为2的等边三角形的三个顶点，，都在以为球心的球面上，球的表面积为，设球的半径为，

由球的表面积公式可得，解得，

等边三角形的边长为2，设等边三角形的外接圆半径为，圆心为，

由正弦定理可得，解得，

由球的截面性质可知平面，设，

则，

由三棱锥体积公式可得

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据球的表面积求球的半径，三棱锥外接球的性质及应用，三棱锥体积求法，属于中档题.

三、解答题

17．如图，是半圆弧上异于，的点，四边形是矩形，为中点.

（1）证明:平面；

（2）若矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明:平面平面.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）连结交于，连结，根据中位线定理可证明，进而由线面平行判定定理即可证明平面；

（2）由面面垂直的性质可知平面，进而可得；再根据圆的性质可知，从而平面，由面面垂直判定定理即可证明平面平面.

【详解】

（1）连结交于，连结，如下图所示：

因为为矩形，所以为中点.

因为为中点，

所以.

平面，平面，

所以平面.

（2）平面平面，交线为.

因为，平面，

所以平面，

故.

因为为上异于，的点，且为直径，

所以.又，

所以平面.

而平面，

故平面平面.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，属于基础题.

18．某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

配方的频数分布表:

配方的频数分布表:

（1）分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率;

（2）已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润.

【答案】（1）,（2）,元

【解析】(1)根据某种产品的质量用其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,根据评论计算公式即可求得答案.

(2) 由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值,由试验结果知,质量指标值的频率为,用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为,即可求得答案.

【详解】

(1) 由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为

用配方生产的产品中优质品率的估计值为

由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为

用配方生产的产品中优质品率的估计值为

(2)由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值

由试验结果知,质量指标值的频率为.

用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为.

用配方生产的件产品的平均利润为(元).

【点睛】

本题考查了求数据的频率和用频率解决实际问题,解题的关键是掌握频率的基础知识,考查了分析能力和计算能力.

19．的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，，平分线交于点，求的长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据正弦定理，将条件中的边化为角的表达式，结合的内角范围即可求得.

（2）由三角形面积公式分别表示出、、的面积，由即可求得的长.

【详解】

（1）由条件及正弦定理得.

因为，

所以，

.

因为，

因此.

（2）的面积为.

的面积为.

的面积为.

因为

所以

解得.

【点睛】

本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.

20．已知是定义域为R的奇函数，满足．

（1）证明：；

（2）若，求式子的值．

【答案】(1)证明见解析 (2)2

【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及分析可得，变形即可得答案（2）由（1）的结论分析可得f（2）、f（3）、f（4）的值，利用函数的周期分析可得答案．

【详解】

（1）证明：根据题意，是定义域为的奇函数，则，

又由满足，则，则有，

变形可得：，

即可得证明；

（2）由（1）的结论，，

又由是定义域为的奇函数，则，

则，

则，

则有

．

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于中档题．

21．已知函数，曲线在处的切线经过点.

（1）求实数的值；

（2）证明:在单调递增，在单调递减；

（3）设，求在上的最大值和最小值.

【答案】（1）1（2）证明见解析（3）-1，

【解析】（1）先求得导函数，根据在处的切线经过点，代入导函数即可求得的值；

（2）将代入导函数可得，即可分别判断当和时导函数的符号，即可证明函数在各自区间上的单调性.

（3）根据，由不等式性质可知。结合（2）中函数的单调性，即可确定最大值；令，求得导函数，即可由的范围证明的单调性，从而求得的最小值.

【详解】

（1）函数

则定义域为，.

由题设，

解得.

（2）证明：由（1）可知

代入导函数解析式可得.

当时，，

时，.

即在单调递增，在单调递减.

（3）因为，由（2）知在上的最大值为.

设，

.

因为，所以，在上单调递增.

所以，

故.

所以在上的最小值为.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义及简单应用，利用导数证明函数的单调性，由导数求函数的最值，综合性强，属于中档题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程；

（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，若与的交点为（异于坐标原点），与的交点为，求.

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）先利用消参法求得曲线的普通方程，再将，代入即可求得的极坐标方程；

（2）先根据变换求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程. 将的极坐标方程代入与中求得，两点的极径，从而求得.

【详解】

（1）曲线的参数方程为（为参数），

则曲线的普通方程为，

将，代入，

化简得的极坐标方程为.

（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，

则曲线的普通方程为，

将，代入，

化简得的极坐标方程为.

将的极坐标方程分别代入的极坐标方程和的极坐标方程中，可得，两点的极径分别为，，

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化，利用极坐标方求距离，属于中档题.

23．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：，并指出等号的成立条件．

【答案】(1){x|或}  (2)证明见解析，等号成立的条件是．

【解析】（1）将代入f（x）中，然后将f（x）写成分段函数的形式，再根据f（x）＞3分别解不等式即可（2）由绝对值三角不等式可得，再由，即可证明．

【详解】

（1）当时，，

，或，

或，

不等式的解集为或；

（2），

，

此时等号成立的条件是．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．