2020届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试理科数学试题
展开2020年丹东市高三总复习质量测试（一）
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∪B＝
A．(－1，2) | B．(0，1) | C．(－1，0) | D．(1，2) |
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝
A．－ | B． | C．－3 | D．3 |
3．设a∈R，若(a＋i)(1－ai)＞0，则a＝
A．－1 | B．1 | C．0 | D．±1 |
4．中国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织
A．5尺 | B．6尺 | C．7尺 | D．8尺 |
5．右图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程y＝b1x＋a1，相关系数为r1．分析二：剔除点P，由剩下数据得到线性回归直线方程y＝b2x＋a2，相关系数为r2．那么
A．0＜r1＜r2＜1 |
B．0＜r2＜r1＜1 |
C．－1＜r1＜r2＜0 |
D．－1＜r2＜r1＜0 |
6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则C的离心率为
A． | B． | C．2 | D． |
7．已知实数a，b，c分别满足2a＝－a，log0.5b＝b，log2c＝，那么
A．a＜b＜c | B．a＜c＜b | C．b＜c＜a | D．c＜b＜a |
8．已知m，n是两条异面直线，直线l与m，n都垂直，则下列说法正确的是
A．若l⊂平面α，则m⊥α |
B．若l⊥平面α，则m∥α，n∥α |
C．存在平面α，使得l⊥α，m⊂α，n∥α |
D．存在平面α，使得l∥α，m⊥α，n⊥α |
9．已知函数f (x)＝，那么
A．f (x)有极小值，也有大极值 | B．f (x)有极小值，没有极大值 |
C．f (x)有极大值，没有极小值 | D．f (x)没有极值 |
10．已知ω＞0，在函数f (x)＝sinωx和函数g (x)＝cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，下述四个结论：
①ω＝ ②f (x)在[0，2π]有3个零点
③任意连续三个交点组成的三角形面积为8
④为了得到y＝g (x)的图象，只需把y＝f (x)的图象向左平移1个单位
其中所有正确结论的编号是
A．①② | B．②③ | C．①③ | D．①④ |
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，直线MN经过点P(0，4)，若MF⊥NF，则|MF|＝
A．8 | B．10 | C．12 | D．16 |
12．已知函数f (x)＝1－x＋ln，则满足f (x－1)＋f (x)＜2的x的取值范围是
A．(－1，0) | B．(0，1) | C．(－1，) | D．(，1) |
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．(1＋x2)(1＋x)4展开式中含x5项的系数为________．
14．曲线y＝ln(1＋x)在x＝0处的切线方程为y＝f (x)，则f (x)＝_______．因此当|x|很小时，ln(1＋x)≈f (x)，由于ln2≈0.6931，于是≈＝．某金融业的一种长期理财品种采用复利方式计算利息，年利率为3.3%，按照上面的近似等式，
本息和不小于本金的2倍，至少需经过________年．
（本题第一空2分，第二空3分）
15．已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an＋1＝Sn＋1，则Sn＝________．
16．四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，AB与CD所成角为30º，AB＝5，AC＝4，
CD＝3，则四面体ABCD的体积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，
AB＝1，AC＝，BC＝2．
（1）求证：AC⊥平面AA1B1B；
（2）若BB1＝BC，求二面角A-C1D-C的余弦值．
18．（12分）
已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个条件：
①A＝； ②cosB＝－； ③a＝7； ④b＝3．
其中a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求cos(C－)的值．
19．（12分）
某省高考实行新方案，将采用“3+1+2”模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、地理、思想政治4个科目中选择两科．
某学校高一年级的600名学生的首选科目都已确定，该学校为了解这600名学生的再选科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
首选科目 | 再选科目 | 选择人数 | |||
化学 | 生物 | 地理 | 政治 | ||
物理 | 确定的有10人 | 7 | 6 | 3 | 4 |
待确定的有8人 | 3 | 2 | 0 | 1 | |
历史 | 确定的有8人 | 2 | 4 | 2 | 8 |
待确定的有4人 | 0 | 2 | 0 | 2 | |
（1）估计该学校高一年级再选科目确定的学生中，选考生物的学生人数；
（2）从首选物理的再选科目确定的10人中随机选出1人，从首选历史的再选科目确定的8人中随机选出1人，求这两人的再选科目都含有生物的概率；
（3）从首选历史的再选科目确定的8人中随机选出2人，设随机变量X满足
X＝
求X的分布列和数学期望．
20．（12分）
已知点A(－，0)，B(，0)，△ABC的周长为4＋2，顶点C的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）直线l：y＝kx＋m与曲线E交于M，N两点（M，N不在x轴上），若点P在E上，且△PMN的重心是坐标原点O．
（i）求m与k满足的等式关系；
（ii）求证：△PMN的面积为定值．
21．（12分）
已知a≠0，设函数f (x)＝alnx＋x－a2．
（1）若a＝－2，证明：f (x)＞－4；
（2）若f (x)只有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝2．
（1）写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为实数．
（1）证明：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
（2）若a＋b＋c＝1，求(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2的最小值．
