2020届辽宁省大连市高三上学期第三次模拟考试数学（文）试卷
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数学文科卷
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设函数则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则= （ ）
A．4 B．2 C． D．
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积
为( )
A. B. C. D.
6. 函数的最小值和最大值分别为 （ ）
A．， B．， C．， D．，
7. 下列程序运行结果是 ( )
s=0；
i=1；
j=0；
while s<30
s=s+i ；
i =i +3；
j=j+1；
end
print(%io(2),j)
A． 4 B．5 C．6 D．7
8．右图是由一个圆，一个三角形和一个长方形组合而成的图形，现用红，蓝两种颜色为其涂色，则三个图形颜色不全相同的概率为 （ ）
A. B. C. D.
9.已知扇形的半径为2，圆心角为，点是弧的中点，，则的值为 （ ）
A．3 B．4 C． D．
10. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，；当时，。
则函数的最大值等于
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法） ( )
A． B．1 C．6 D．12
11. 数列 （ ）
A． B．— C． 100 D．—100
12．已知抛物线的焦点为，以点为圆心，为半径作一圆与抛物线在轴上方交于两点，则等于 （ ）
A． B．9 C．8 D．7
二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分.
13. ．已知满足约束条件则的最小值为 .
14. 已知数据的平均数是3，方差为4，则数据
的平均数和方差分别是____________。
15．已知数列的前项n和为，且满足，则＝____________。
16．已知函数，(为常数)，当时，函数取得极值，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
已知函数。
（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；
（Ⅱ）当，且时，的值域是，求的值。
18．(本小题满分12分)
如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
19．(本小题满分12分)
已知函数
（1）若，，求方程恰有两个不相等的实根
的概率；
（2）若，，求方程没有实根的概率。
20．(本小题满分12分)，
已知函数。
（1）是否存在实数，使得上为单调减函数,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
（2）若函数的图象在处的切线平行于x轴, 对任意的的取值范围.
21．(本小题满分12分)
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E、F（E在B、F之间），
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线斜率的取值范围；
（3）若OBE与OBF面积之比为，求的取值范围．
（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，若多作，则按所作第1题记分，每题10分）
22．如图，圆O的内接中，AB=AC，D是圆O上的一点，AD的延长线交BC的延长线于P，
（1）求证：AB
（2）若圆O的直径为25，AB=20，AD=10，求PC的长
23．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴。已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M点为圆心，4为半径
（1）求直线和圆C的极坐标方程；
（2）直线与轴y轴分别交于两点，为圆C上一动点，求面积的最小值。
24．已知关于x的不等式 （1）a=1,求此不等式的解集。（2）若此不等式解集为R，求实数a的取值范围
高三数学文科卷答案
一、选择题: B A C D B D B A C C D C
二、填空题：13. 14. 14 100 15. 16.
三、解答题:
17．解：（Ⅰ），-----2分
……………………6分
（Ⅱ）
而 …………8分
故 --------10分
………………………12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵ 在平面上的射影在上，
∴ ⊥平面，又平面 ∴ ……2分
又
∴ 平面，又，∴ …4分
（Ⅱ）∵ 为矩形 ，∴
由（Ⅰ）知
∴ 平面，又平面
∴ 平面平面 ……8分
（Ⅲ）∵ 平面 ，
∴ .…10分
∵ ，
∴ ，
∴ . …12分
19．（1）若，，共有如下16种情况：（0，0），（0，1），
(0,2）,(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0)(2,1),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),
(3,2),(3,4) ------2分
方程恰有两个不相等的实根，，，可得且
满足的有（1，2），（1，4），（2，4），（3，4）共4种， ------4分
所以方程恰有两个不相等的实根的概率 ------6分
（2）若，，方程没有实根，，符合几何概型
所以方程没有实根的概率 ------12分
20．（1）使得上为单调减函数,
则上恒成立
可得 ， --------2分
函数在(0,1)递减，所以当时最大值等于，所以 ----5分
（2）函数的图象在处的切线平行于x轴，
所以，。 --------6分
因为所以，
即 设，
，（1，3）单调递增，
（-，1），（3，+）单调递减；
所以在上的最大值为，
所以， ---------12分
21、解：（I）设椭圆的方程为，则①，
∵抛物线的焦点为（0， 1）， ….2分 ∴ ②
由①②解得. ∴椭圆的标准方程为. ……2分
(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，
设方程为 ①，
将①代入，整理，得
，由得
---- 6分
（3）设、，则 ②令， 则，
由此可得 ，，且 -------8分
，.
∴ , 即∵ ，
∴ ，解得 又∵，
∴，∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）.
-----12分
22. (1) 即证，也即证。，又，即得证。 （2）由（1）可知AP=40，PD=30，
延长AO交圆于M，交BC于E，可求得EC=12，BC=24，由
PC 即PC（24+PC）=30×40=1200，即PC+2h4PC-1200=0
PC=-12+8
23．（1）直线l的方程：-------3分
圆C的方程： ---------5分
(2)直线与轴交与,,圆心到直线的距离为
面积的最小值
= ---------10分
24．（1）a=1,即，解集为（-
（2）a或a.
