2020届辽宁省大连市高三上学期第三次模拟考试数学(文)试卷
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数学文科卷
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设函数则的值为 ( )
A. B. C. D.
3.给出命题:若函数是幂函数,则函数的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
4.设等比数列的公比q=2,前n项和为Sn,则= ( )
A.4 B.2 C. D.
5. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积
为( )
A. B. C. D.
6. 函数的最小值和最大值分别为 ( )
A., B., C., D.,
7. 下列程序运行结果是 ( )
s=0;
i=1;
j=0;
while s<30
s=s+i ;
i =i +3;
j=j+1;
end
print(%io(2),j)
A. 4 B.5 C.6 D.7
8.右图是由一个圆,一个三角形和一个长方形组合而成的图形,现用红,蓝两种颜色为其涂色,则三个图形颜色不全相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
9.已知扇形的半径为2,圆心角为,点是弧的中点,,则的值为 ( )
A.3 B.4 C. D.
10. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:
当时,;当时,。
则函数的最大值等于
(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )
A. B.1 C.6 D.12
11. 数列 ( )
A. B.— C. 100 D.—100
12.已知抛物线的焦点为,以点为圆心,为半径作一圆与抛物线在轴上方交于两点,则等于 ( )
A. B.9 C.8 D.7
二、填空题:本大题共4个小题,每题5分,共20分.
13. .已知满足约束条件则的最小值为 .
14. 已知数据的平均数是3,方差为4,则数据
的平均数和方差分别是____________。
15.已知数列的前项n和为,且满足,则=____________。
16.已知函数,(为常数),当时,函数取得极值,若函数只有一个零点,则实数的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
已知函数。
(Ⅰ)当时,求的单调递增区间;
(Ⅱ)当,且时,的值域是,求的值。
18.(本小题满分12分)
如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到点,且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
19.(本小题满分12分)
已知函数
(1)若,,求方程恰有两个不相等的实根
的概率;
(2)若,,求方程没有实根的概率。
20.(本小题满分12分),
已知函数。
(1)是否存在实数,使得上为单调减函数,若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
(2)若函数的图象在处的切线平行于x轴, 对任意的的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆,离心率,且经过抛物线的焦点.若过点B(2,0)的直线(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E、F(E在B、F之间),
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求直线斜率的取值范围;
(3)若OBE与OBF面积之比为,求的取值范围.
(请考生在第22,23,24题中任选一题做答,若多作,则按所作第1题记分,每题10分)
22.如图,圆O的内接中,AB=AC,D是圆O上的一点,AD的延长线交BC的延长线于P,
(1)求证:AB
(2)若圆O的直径为25,AB=20,AD=10,求PC的长
23.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴。已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,),若直线过点P,且倾斜角为,圆C以M点为圆心,4为半径
(1)求直线和圆C的极坐标方程;
(2)直线与轴y轴分别交于两点,为圆C上一动点,求面积的最小值。
24.已知关于x的不等式 (1)a=1,求此不等式的解集。(2)若此不等式解集为R,求实数a的取值范围
高三数学文科卷答案
一、选择题: B A C D B D B A C C D C
二、填空题:13. 14. 14 100 15. 16.
三、解答题:
17.解:(Ⅰ),-----2分
……………………6分
(Ⅱ)
而 …………8分
故 --------10分
………………………12分
18.(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)∵ 在平面上的射影在上,
∴ ⊥平面,又平面 ∴ ……2分
又
∴ 平面,又,∴ …4分
(Ⅱ)∵ 为矩形 ,∴
由(Ⅰ)知
∴ 平面,又平面
∴ 平面平面 ……8分
(Ⅲ)∵ 平面 ,
∴ .…10分
∵ ,
∴ ,
∴ . …12分
19.(1)若,,共有如下16种情况:(0,0),(0,1),
(0,2),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0)(2,1),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),
(3,2),(3,4) ------2分
方程恰有两个不相等的实根,,,可得且
满足的有(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)共4种, ------4分
所以方程恰有两个不相等的实根的概率 ------6分
(2)若,,方程没有实根,,符合几何概型
所以方程没有实根的概率 ------12分
20.(1)使得上为单调减函数,
则上恒成立
可得 , --------2分
函数在(0,1)递减,所以当时最大值等于,所以 ----5分
(2)函数的图象在处的切线平行于x轴,
所以,。 --------6分
因为所以,
即 设,
,(1,3)单调递增,
(-,1),(3,+)单调递减;
所以在上的最大值为,
所以, ---------12分
21、解:(I)设椭圆的方程为,则①,
∵抛物线的焦点为(0, 1), ….2分 ∴ ②
由①②解得. ∴椭圆的标准方程为. ……2分
(II)如图,由题意知的斜率存在且不为零,
设方程为 ①,
将①代入,整理,得
,由得
---- 6分
(3)设、,则 ②令, 则,
由此可得 ,,且 -------8分
,.
∴ , 即∵ ,
∴ ,解得 又∵,
∴,∴OBE与OBF面积之比的取值范围是(, 1).
-----12分
22. (1) 即证,也即证。,又,即得证。 (2)由(1)可知AP=40,PD=30,
延长AO交圆于M,交BC于E,可求得EC=12,BC=24,由
PC 即PC(24+PC)=30×40=1200,即PC+2h4PC-1200=0
PC=-12+8
23.(1)直线l的方程:-------3分
圆C的方程: ---------5分
(2)直线与轴交与,,圆心到直线的距离为
面积的最小值
= ---------10分
24.(1)a=1,即,解集为(-
(2)a或a.