2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）
展开2019-2020学年辽宁省大连市高三（上）第二次模拟
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
- 设a是实数，且是实数，则
A. B. 1 C. D. 2
- 设集合，，，，则
A. M B. N C. 空集 D. R
- 已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是
A. B. C. D.
- 设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则m的取值范围是
A. B.
C. D.
- 的展开式中，常数项为15，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
- 在数列中，，，且，则
A. 0 B. 1300 C. 2600 D. 2602
- 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是
A. B. C. D.
- 已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是
A. B. C. D.
- 如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、、如表示身高单位：在内的学生人数图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在含160cm，不含的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A. B. C. D.
- 直线与圆相交于A、B两点其中a，b是实数，且是直角三角形是坐标原点，则点与点之间距离的最小值为
A. 0 B. C. D.
- ，，，点C在内，且，设、，则等于
A. B. 3 C. D.
- 抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线l上的射影为，则的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
- 甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有______种．用数字作答
- 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体的体积是______ ．
|
- 若，我们把使乘积为整数的数n叫做“劣数”，则在区间内所有劣数的和为______ ．
- 某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：函数在上单调递增；存在常数，使对一切实数x都成立；函数在上无最小值，但一定有最大值；点是函数图象的一个对称中心，其中正确的是______．
三、解答题（本大题共7小题）
- 如图，在中，．
求sinA；
记BC的中点为D，求中线AD的长． - 某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．例如：算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为
请你为其选择一条由A到B的最短路线即此人只选择从西向东和从南向北的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
若记路线中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望．
- 在中，，，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、图一，沿DE将折起，使得平面平面图二．
若F是AB的中点，求证：平面ADE．
是AC上任意一点，求证：平面平面PBE．
是AC上一点，且平面PBE，求二面角的大小． - 已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
求直线为坐标原点的斜率；
对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角使等式：成立． - 已知函数，．
求函数的极值；
对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点Q处的切线，则称l为弦的伴随直线，特别地，当时，又称l为的伴随直线．
求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由． - 已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是是参数．
将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；
若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m的值． - 已知不等式的解集是．
求实数a，b的值：
解不等式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解．设a是实数，是实数，则，
故选：B．
复数分母实数化，化简为、的形式，虚部等于0，可求得结果．
本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题知：集合M可化简为或；
而集合N等于函数的值域，所以集合
故且或，所以
故选：B．
由题知集合M化简得到或；而集合N等于函数的值域为，求出即可．
考查学生理解函数值域的能力，灵活运用交集及运算的能力，以及掌握绝对值不等式解法的能力．
3.【答案】B
【解析】解：由图象可得函数的周期，得，
将代入可得， 注意此点位于函数减区间上
，
由可得，
点的坐标是，
故选：B．
先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得的值，再将点代入函数解析式，利用五点作图法则及的范围求得值，最后即可得点的坐标
本题主要考查了型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用
4.【答案】C
【解析】解：若的最小正周期为3，且，
而函数是定义在R上的奇函数
则
即
则
故选：C．
先根据周期性可知，然后根据奇偶性可知，从而可得，最后解分式不等式即可求出所求．
本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及分式不等式的解法，是一道综合题，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：的展开式中，常数项为15，
则，
所以n可以被3整除，
当时，，当时，，
故选项为D
利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6.【答案】C
【解析】解：奇数项：，
偶数项：
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2
，
．
故选：C．
奇数项：，偶数项：，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：，故能求出．
本题考查数列的递推式，解题时要注意分类思想的合理运用．
7.【答案】C
【解析】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
．
所以．
故选：C．
欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法．
8.【答案】B
【解析】解：，
，
当时，，
当时，，
的取值范围是．
故选B．
先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．
本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
9.【答案】B
【解析】解：现要统计的是身高在之间的学生的人数，即是要计算、、、的和，
当时就会返回进行叠加运算，
当将数据直接输出，
不再进行任何的返回叠加运算，故．
故选：B．
由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在含160cm，不含的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．
把统计与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了新课标高考中对创新能力的考查要求．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
过O作，因为为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，
又，根据勾股定理得：，
，
圆心到直线的距离为，即，即，
，
则点与点之间距离，
设，此函数为对称轴为的开口向上的抛物线，
当时，函数为减函数，
，
的最小值为．
故选C
根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由是直角三角形且，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为，可得此函数为开口向上，且对称轴为的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数为减函数是解本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：法一：如图所示：，设，则．
．
法二：如图所示，建立直角坐标系．
则，，
，
，
．
故选：B．
将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．
对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．
12.【答案】D
【解析】解：设，，由抛物线定义，．
而余弦定理，，
再由，得到．
所以的最大值为
故选：D．
设，，由抛物线定义，再由余弦定理可得，进而根据，求得的范围，进而可得答案．
本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
13.【答案】72
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，
总共有种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况
即方法数为种
故答案为：72
本题是一个分步计数问题，甲在A、B、C、D四个地方选一个，有4种选择乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，余下三人只能选择剩下的两个地方，总共有，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，得到结果．
本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，再根据分步乘法原理得到结果．本题是一个典型的排列组合的实际应用．
14.【答案】
【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，
面积是
三棱锥的高是2，
三棱锥的体积是
故答案为：
由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出面积是，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．
本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．
15.【答案】2026
【解析】解：
；；；
则
当为2的整数次幂时，为整数
则在区间内所有劣数n，对应的构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，且满足条件的最后一项为1024
则区间内所有劣数的和为：
故答案为：2026
由已知中，利用对数的运算性质换底公式的推论，我们可以得到乘积，则当为2的整数次幂时，n为劣数，即所有劣数n，对应的构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，易求出区间内所有劣数的和．
本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的前n项和公式，其中根据对数的运算性质将化为，是解答本题的关键，解答时，要注意在区间内最小的劣数对应的为4，而不是2．
16.【答案】
【解析】解：，则是偶函数，因此在对称区间上不可能单调递增；
即满足题意；
，当时，，当时，令得，由与的图象可知，存在唯一使得，又因为，故在上为单调递增，在上为单调递减，故在处取得最大值，由于为开区间，所以无最小值；
因为，，．
故答案为：．
通过判断奇偶性即可；找出一个常数M，使对一切实数x均成立即可；
利用函数的单调性，判断函数在的最值即可；
找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误；
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，最值和对称性等性质．
17.【答案】解：由，C是三解形内角，
得
在中，由正弦定理
，又在中，，
由余弦定理得，
【解析】根据同角三角函数基本关系，利用cosC求得sinC，进而利用两角和公式求得sinA．
先根据正弦定理求得BC，则CD可求，进而在中，利用余弦定理根据AC和cosC的值求得AD．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强．
18.【答案】解：记路段MN发生堵车事件为MN．
各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
路线中遇到堵车的概率为
；分
同理：路线中遇到堵车的概率为小于
路线中遇到堵车的概率为大于
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线，可使得途中发生堵车事件的概率最小
路线中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．
，
答：路线中遇到堵车次数的数学期望为．
【解析】各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
由题意知路线中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值．
本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．
19.【答案】解：证明：取BD的中点为M，连续FM，CM
为AB的中点，，
由题知为等边三角形，，又
，面面ADE，面CMF，面ADE
证明：由平面几何知识：，，平面平面平面BDEC，，面面PBE，
平面平面PBE
由面ACD，
设，
由题意知，，为二面角的平面角
，∽，
二面角的大小为
【解析】取BD的中点为M，连续FM，CM，根据中位线可知，而为等边三角形，则，又，所以，从而面面ADE，面CMF，根据面面平行的性质可知面ADE；
由平面几何知识可知，，平面平面BDEC，则平面BDEC，从而，根据线面垂直的判定定理可知面ACD，而面PBE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面平面PBE；
根据面ACD，设，则，，根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．
此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，以及二面角的度量，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．
20.【答案】解：设椭圆的焦距为2c，因为，
所以有，故有从而椭圆C的方程可化为：
易知右焦点F的坐标为，
据题意有AB所在的直线方程为：
由，有：
设，，弦AB的中点，由及韦达定理有：．
所以，即为所求．
显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，
有且只有一对实数，，使得等式成立．
设，由中各点的坐标有：，
所以，．
又点在椭圆C上，所以有
整理为
由有：．
所以
又在椭圆上，故有，
将，代入可得：．
对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，
而
在直角坐标系中，取点，
设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然，．
也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角使等式：成立．
【解析】设出椭圆的焦距，利用离心率求得a和c的关系进而求得a和b的关系，把右焦点F的坐标代入直线AB的方程，利用韦达定理求得的表达式，进而求得ON的斜率．
根据题意可知与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，，使得等式成立．设出M的坐标利用中各点的坐标整理求得，代入椭圆的方程整理求得利用中和的表达式代入整理求得，进而把A，B的坐标代入椭圆的方程，联立方程求得，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，则可推断出，进而判断出对于椭圆C上任意一点M，总存在角使等式：成立．
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生综合分析问题，基础知识的综合运用以及基本的计算能力．
21.【答案】解：，
当时，，函数在内是增函数，
函数没有极值．
当时，令，得．
当x变化时，与变化情况如下表：
x |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
| 极大值 |
|
当时，取得极大值．
综上，当时，没有极值；
当时，的极大值为，没有极小值．
证明：设，是曲线上的任意两点，
要证明，有伴随直线，只需证明存在点，，
使得，且点Q不在上，
，即证存在，使得，
即成立，且点Q不在上．
以下证明方程在内有解．
设，．
则．
记，，
，
在内是增函数，
．
同理，，．
方程在内有解．
又对于函数，
，，
可知，即点Q不在上．
又在内是增函数，
方程在内有唯一解．
综上，曲线上任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．
取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随直线，证明如下：
设，，
则，
又，所以，
即的任意一条弦均有伴随直线．
【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
问题转化为证存在，使得，即成立，且点Q不在上．设，根据函数的单调性证明即可；设，，求出RS的斜率，判断结论即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：曲线C的极坐标方程是，所以，它的直角坐标方程是：，即：，分
直线l的参数方程是是参数，直线l的直角坐标方程为分
由题意，圆心到直线的距离，
，或分
【解析】利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；
若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，圆心到直线的距离，即可求实数m的值．
本题考查三种方程的转化，考查直线与圆位置关系的运用，属于中档题．
23.【答案】解：由，得，
不等式的解集是，
且，
，；
，即，
或或，
或或，
，
不等式的解集为．
【解析】由，可得，根据不等式的解集为，可得且，解然后出a，b即可；
，即，然后去绝对值解不等式即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属基础题．
