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    2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试卷

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    2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试

    数学试卷(理)

    卷(客观题 共60分)

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1.设a是实数,且是实数,则a等于(   

     A1 B C D

    2. 设集合,则MN=(    )

    A. M              B. N              C.              D. R

    3.已知函数且此函数的图象如图所示,则点P的坐标为(   )

    A. 2)          B. 2

    4         D. 4

    4. 设函数是定义在上的奇函数,若的最小正周期为3,且,则的取值范围是(  )

     A.    B.   C.     D.

    5的展开式中,常数项为15,则n=    

     A3 B4 C5 D6

    6.已知在数列中,,则(  )

    A.2100      B.2600           C.2800     D. 3100

    7.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线

    和曲线围成一个叶形图(阴影部分),向正方

    形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点

    是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是(   

    A.                 B.               C.             D.

    8.O为坐标原点,点Pxy)的坐标xy满足则向量方向上的投影的数量取值范围是(   

     A B[-33] C.    D            

    9.下图a是某县参加2009年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1A2、Am [A2表示身高(单位:cm)在[150155]内的学生人数]。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )

    A<9       B<8        C<7    D<6

    10直线与圆相交于AB两点(其中是实数),且是直角三角形(O是坐标原点),则点P之间距离的最值为(   )

    A                   B.           C.            D.

    11.已知点C在内,且,设,则等于(  

    A.3              B.          C.            D.

    12抛物线的焦点为F,点AB在抛物线上,且,弦ABM在准线l上的射影为,则的最大值为   

    A.               B.                       D.

    第II卷(主观题 共90分)

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

     

    13.甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名志愿者,则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有           种(用数字做答)

    14.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是            cm3.

     

    15.已知                        .我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做劣数,则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为          

    16.某学生对函数进行研究后,得出如下四个结论:函数上单调递增;存在常数,使对一切实数都成立;函数上无最小值,但一定有最大值;是函数图象的一个对称中心,其中正确的是            .            

     

     

     

     

    三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

    17.(本小题满分12分)

    如图,在ABC中,

       (1)求sinA;

       (2)记BC的中点为D,求中线AD的长.

    18.(本小题满分12分)某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图.

    1)请你为其选择一条由AB的最短路线,且使得途中发生堵车事件的概率最小;

    2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量ξ, 求ξ的数学期望Eξ.

     

    19.(本小题满分12分)ABC中,ACB=90°BAC=30°AB的垂直平分线分别交 ABACDE(图一),沿 DEADE折起,使得平面ADE平面BDEC (图二),

    1)若F AB的中点,求证:CF平面ADE

     2PAC上任意一点,求证:平面ACD平面PBE

      3PAC 上一点,且AC平面PBE ,求二面角PBEC 的大小.

    20.(本小题满分12分)已知椭圆C的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆CAB两点,N为弦AB的中点.

    )求直线ONO为坐标原点)的斜率

    )对于椭圆C上任意一点M,试证:总存在角使等式:成立.

     

    21.本小题满12)已知函数

    I求函数的极值

     2)对于曲线上的不同两点P1x1,y1),P2x2,y2),如果存在曲线上的点Qx0,y0), x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线//P1P2,,则称为弦P1P2,的伴随切线。

    特别地,当x0 = x1 + (1-)x2 (0<<1)时,又称为弦P1P2,-伴随切线。

    i)求证:曲线y=f(x)任意一条弦均有伴随切线,且伴随切线是唯一的

    ii)是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条弦均有-伴随切线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由。

     

    选做题:(本小题满分10分)请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

    22.选修4-1:几何证明选讲

    如图,Δ是内接于O

    直线O于点

    相交于点.

    (1)求证ΔΔ

    (2),求

     

    23.选修4-4:坐标系与参数方程

    已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:是参数).

    (1)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程;

      (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数值.

     

    24.选修45;不等式选讲

    已知不等式的解集是

    1求实数的值:

    2不等式.

     

     


    高三校二模数学(理)评分标准及参考答案

    一.ABBCD    BCBBC    AD

    二.72      4/3     2026    2、 3

    三.17.解:(1)由C是三解形内角,得

             (6)

        2)在ABC中,由正弦定理,

        8分),

    又在ADC中,,由余弦定理得 12分)

    18.解:各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,路线ACDB中遇到堵车的概率p1=1-××=;同理路线ACFB中遇到堵车的概率p2=(小于);路线AEFB中遇到堵车的概率p3=1p(··)=(大于)

    所以选择路线ACFB, 可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分)

    ()路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.

    p(ξ=0) =

    p(ξ=1)=××+××+××=

    p(ξ=2) =××+××+××=

    p(ξ=3) =××=

    注:分布列(10分)

    Eξ=0×+1×+2×+3×=   (12分)

    19. 1)取BD的中点为M,连接FMCMFAB的中点,MF//AD,由题知BCD为等边三角形,CMBD ,又 DEBD                   2

    CMDE CFMADE, CFCMF.

    CFADE                            

    4

    2)由平面几何知识:BECD, ADDE, 平面ADE平面BDEC            5

    AD平面BDEC, ADBE, BEACD

    BEPBE, 平面ACD平面PBE                                                   8

    3)法一,由(2BEACD,设BECD=Q,由题知BECD, BEPQ, PQC为二面角P-BE-C的平面角                     10

    AD=CD∴∠ACD=45°∴△ACD∽△CPQ, PQC=45°

    二面角P-BE-C的大小为45°              12

    (法二)

     建立空间直角坐标系{DEDBDA}A0, 0, 1,C       9

    ,∵ACPBE, ADBCED

    设二面角P-BE-C的大小为θ,则cosθ=                 11

    二面角P-BE-C的大小为45°                      12

    20解:(离心率为       

    椭圆方程为    ∴F的坐标为

    ∴AB联立得:

       

       

    ………………………………………………………………6

    )由)知   

    由平面向量基本定理得:存在实数,使成立.

    若设      ……………………………………8

    ∵M在椭圆上,

    即:

    由(=    =+=

        =1……………………………………………………………10

    ,则

    总存在角∈R)使成立……………12

    21.解:(I)

    ,函数内是增函数,函数没有极值。……1分

    当a<0时,令,得

    当x变化时,变化情况如下表:

    x

    f`(x)

    +

    0

    -

    f(x)

    单调递增

    极大值

    单调递减

     

    时,f(x)取得最大值f()=-1+ln()。综上,当时,f(x)没有极值;

    a<0时,f(x)的极大值为-1+ln(),没有极小值。………………………………4

    II)(i)设P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上的任意两点,要证明弦P1P2有伴随切线,只需证明存在点Q(x0,f(x0))x1<x0<x2,使得

    且点Q不在P1P2上。…………………………………………………………………………5

    ,即证存在,使得,即成立,且点Q不在P1P2上。

    以下证明方程在(x1,x2)内有解。

    F(x)=,则F(x)=,令g(t) = lnt - t + 1t>1g(t)内是减函数,g(t) <g(1)=0。取,则 ,即F(x1)<0…………………………………………7

    同理可证F(x2)>0, F(x1)F(x2)<0函数F(x)=在(x1,x2)内有零点。

    即方程=0在(x1,x2)内有解x=x0…………………………8

    又对于函数g(t)= lnt - t + 1,取t=,则

    可知,即点QP1P2上。F(x)是增函数,F(x)的零点是唯一的,

    即方程=0在(x1,x2)内有唯一解。

    综上,曲线y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。……………10

    ii)取曲线Cy=h(x)=x2,则曲线y=h(x)的任意一条弦均有-伴随切线。

    证明如下:

    Rx3,y3,S(x4,y4)是曲线C上任意两点(x3y4),

    即曲线Cy=x2的任意一条弦均有-伴随切线。……………………………………12

     

    22几何证明选讲

    :)在ΔABEΔACD中,

       ABE=ACD………………2分

    又,BAE=EDC

    BD//MN   

    ∴∠EDC=DCN

    直线是圆的切线,

    ∴∠DCN=CAD

    ∴∠BAE=CAD

    ΔΔ(角、边、角)……………………………5分

         

    ∵∠EBC=BCM  BCM=BDC

    ∴∠EBC=BDC=BAC  BC=CD=4

       BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB  

        BC=BE=4    ……………………………8分

    AE=,易证  ΔABE∽ΔDEC

     

    ……………………………10分

    23坐标系与参数方程

      解:曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

         -------------------------------------2

    直线的直角坐标方程为:-----------------------2

    )(法一)由(1)知:圆心的坐标为(20),圆的半径R=2

    圆心到直线l的距离-------------------6

    -----------------------------------8

                   -------------------10

     

    24. 不等式选讲 ;(1)a=2,b=3         ……………………5

                     (2){x|0x3}     ……………………10

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