2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（一）数学（文）试题（解析版）

2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据集合补集和并集的定义进行求解即可.

【详解】

因为，，所以，又因为，所以有

.

故选：C

【点睛】

本题考查了集合补集和并集的运算，考查了数学运算能力，属于基础题.

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据复数模的运算公式和性质进行求解即可.

【详解】

.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数模的运算公式和性质，考查了数学运算能力.

3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），记正面向上的点数为，则函数有零点的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据零点定义，结合一元二次方程根的判别式，求出的取值范围，最后古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

因为函数有零点，所以，由得，∴，∴.

故选：C

【点睛】

本题考查了古典概型计算公式，考查了零点的定义，考查了一元二次方程根的判别式，考查了数学运算能力.

4．已知锐角满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以

.

故选：A

【点睛】

本题考查了两角和的余弦公式和同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.

5．执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.

【详解】

A：若空白处是，时，成立，成立，

所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；

B：若空白处是，时，成立，成立，

所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；

C：若空白处是，时，成立，成立，所以

成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；

D：若空白处是，时，成立，成立，所以

成立，所以成立，所以不成立，故，符合题意.

故选：D

【点睛】

根据程序框图的输出结果补全程序框图，考查了数学运算能力.

6．如图为某几何体的三视图，其中侧视图与俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据三视图在正方体中还原直观图为三棱锥，根据本棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】

在正方体中还原直观图为三棱锥，

∴.

故选：D

【点睛】

本题考查了由三视图求空间几何体的体积，考查了三棱锥的体积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数的奇偶性，再根据的取值范围，结合正弦函数的性质进行判断即可.

【详解】

是奇函数，故图象关于原点称，因此排除B，D；

令，当时，函数是增函数，故，当时，显然存在时，，因此排除C.

故选：A

【点睛】

本题考查了识别函数图象，考查了函数的奇偶性，考查了正弦函数的性质，属于中档题.

8．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得，类似地可得正数（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题中所给的方程，换元，解方程进行求解即可.

【详解】

设，则，解得（负值舍去）.

故选：B

【点睛】

本题考查了类比推理，考查了推理论证能力，考查了数学运算能力.

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）

A．向左平移 B．向右平移

C．向左平移 D．向右平移

【答案】B

【解析】利用的图象变换规律，即可求解，得出结论．

【详解】

由题意，函数，，

又由，

故把函数的图象上所有的点，向右平移个单位长度，

可得的图象，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了三角函数 的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

10．已知双曲线：的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据双曲线的离心率公式，结合双曲线中的关系、渐近线方程进行求解即可.

【详解】

由，得，所以，

所以渐近线方程为.

故选：C

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线离心率公式，考查了数学运算能力.

11．已知函数，若有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在直角坐标系内画出函数的图象，利用数形结合，结合对数的运算性质和绝对值的性质进行求解即可.

【详解】

设四个根依次为，

则，，，

则由，

∴.

故选：B

【点睛】

本题考查了已知方程根的个数求根的乘积的取值范围，考查了数形结合思想，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.

12．已知椭圆的左、右焦点为，，过的直线交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】运用特殊值法进行求解. 不妨设，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离心率公式进行求解即可.

【详解】

不妨设，则，，

∴，，

∴由得或（舍），

∴，∴，

又由得，

∴.

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的定义和离心率的计算，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．已知向量，且，则______.

【答案】

【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】

∵，

∴.

故答案为；

【点睛】

本题考查了平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.

14．已知函数，若，则______.

【答案】或1

【解析】根据的不同取值，利用函数的解析式分类讨论进行求解即可.

【详解】

或或，

∴或，

∴或.

故答案为：或1

【点睛】

本题考查了已知分段函数的值求参数问题，考查了求分段函数值问题，考查了指数运算和对数运算，考查了数学运算能力.

15．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的面积为______.

【答案】

【解析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】

由得

，

即，

化简得，

∵为三角形的内角，∴，∴，，故.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.

16．半径为3的球的内接正四棱锥的体积的最大值为______.

【答案】

【解析】设，利用勾股定理及四棱锥的体积公式求出四棱锥的体积表达式，利用导数进行求解即可.

【详解】

如图，设，则，

∴，

∴

，

∴，

当时，单调递增，当时，单调递减，

所以.

故答案为；

【点睛】

本题考查了球的内接正四棱锥的体积的最大值问题，考查了导数的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.

三、解答题

17．已知数列满足 ,且.

(1)证明数列是等差数列;

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）对题设中的递推关系变形为，从而得到一个新的等差数列，其通项为，由此得.（2）利用错位相减法求.

解析：(1)由 ,等式两端同时除以到

,即    ,

(2),∴数列 是首项为,公差为的等差数列,

, ，∴数列的前项和:

②﹣①,得:

，即.

18．如图，把边长为4的正沿中位线折起使点到的位置.

（1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置，若不存在，说明理由；

（2）若，求四棱锥的体积.

【答案】（1）存在，是的中点；（2）3

【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理进行推理论证即可；

（2）取的中点，的中点,可知、、三点共线，连接，，.利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合勾股定理及逆定理、棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】

（1）取的中点，的中点，连接，，，则是的中位线，∴，同理，∴.

∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，

∴平面，∴上存在中点使平面.

（2）取的中点，的中点，易知、、三点共线，连接，，.

易知，∴，

又.

∴面.

又，

∴面，

∴.

又，.

∴，

又易知，

∴，

∴，

又，

∴面.

∴.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定和棱锥体积的计算，考查了推理论证能力和数学运算能力.

19．2019年10月5日， 美国NBA火箭队总经理莫雷公开发布涉港错误言论，中国公司与明星纷纷站出来抵制火箭队，随后京东、天猫、淘宝等中国电商平台全线下架了火箭队的所有商品，当天有大量网友关注此事，某网上论坛从关注此事跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表：

（1）补全列联表中数据，并判断能否有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？

（2）现已从男性网友中分层抽样选取了6人，再从这6人中随机选取2人，求这2人中至少有1人属于“强烈关注”的概率.

附：，其中.

【答案】（1）列联表见解析，有；（2）

【解析】（1）根据直方图可知（强烈关注），因此可以求出强烈关注的人数，补全列联表，根据列联表和题中所给的公式计算出进行判断即可；

（2）计算出6人中属于“强烈关注”的人数，属于“一般关注”的人数，然后对人员进行编号，最后利用古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

解析：（1）由直方图可知（强烈关注），

∴强烈关注的人数为人，故可补全列联表中数据：

∴，

∴有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关.

（2）易知6人中属于“强烈关注”的有2人，属于“一般关注”的有4人，

设“一般关注”的4人编号为1，2，3，4；“强烈关注”的2人编号为5，6，

则6人中随机选2人的基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种，其中至少有1人属于“强烈关注”的有9种，∴.

【点睛】

本题考查了补全列联表，考查了的计算，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.

20．已知动圆与圆：外切且与轴相切.

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）过作斜率为的直线交曲线于，两点，

①若，求直线的方程；

②过，两点分别作曲线的切线，，求证：，的交点恒在一条定直线上.

【答案】（1）或；（2）①：；②证明见解析

【解析】（1）把圆化成标准方程形式，根据题意列出等式，然后两边平方，结合绝对值的性质进行求解即可；

（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，根据共线向量的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可；

②把抛物线方程写成函数形式，利用导数求出切线方程，结合①结论进行求解即可.

【详解】

（1）：，

设，则

：或.

（2）由已知得直线：，把代入得，，

①设，，由得，

∴，又由得，，∴，

∴：.

②由得，∴，

∴：，

，

∴，的交点恒在直线上.

【点睛】

本题考查了求曲线方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线切线方程，考查了数学运算能力.

21．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个极值点，求的最大值.

【答案】（1）增区间，无减区间；（2）

【解析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断单调性即可；

（2）对函数进行求导，让导函数等于零，这样可以得到的表达式，并求出的取值范围，根据的关系把就成关于的表达式，然后通过构造新函数，对新函数求导，判断其单调性，最后利用单调性进行求解即可.

【详解】

（1）由已知得定义域为，

当时，，

∴，

∴有增区间：，无减区间.

（2）∵，

∴有两个不等正根，

∴，

∴，

又由且，

∴

.

令，

则，

∵在上单调递增，在上单调递减，

易知，

∴的最大值为.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数单调区间，考查了函数极值的定义，考查了利用构造法结合导数求代数式取值范围问题，考查了数学运算能力.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到曲线距离的最小值及此时点的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），

【解析】（1）利用同角的三角函数关系式把曲线的参数方程化为普通方程.结合两角和的正弦公式，利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；

（2）根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式进行求解即可.

【详解】

（1）由题知的普通方程为.

：

，

即：.

（2）设，

则，

∴当且仅当，即时，，此时.

【点睛】

本题考查了参数方程化成普通方程和极坐标方程化成直角坐标方程，考查了参数方程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了点到直线距离公式的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.

23．已知函数.

（1）若，解不等式：；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可；

（2）利用绝对值的性质化简不等式，利用绝对值不等式解法求出不等式的解集，然后常变量分离，根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】

（1）

或或

或或

或

，

∴不等式的解集为.

（2）∵，∴，

∴

，又因为

或

或，

又∵，，

∴或，

故实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围，考查了数学运算能力.