2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（五）数学（理）试题（解析版）

2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试（五）数学（理）试题

一、单选题

1．设，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可

【详解】

由题得，，所以.

故选.

【点睛】

本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题

2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据复数的除法求出复数的代数形式，然后再求出即可．

【详解】

∵，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．

3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（    ）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【解析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，即可求解.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定不80后多，所以是错误的.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

因为是与的等比中项，

，

所以通项公式为

，

令得，所以该数列的前项和取最小值时的值等于6

5．函数图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】判断函数的奇偶性，可排除A、C，再判断函数在区间上函数值与的大小，即可得出答案.

【详解】

解：因为，

所以，

所以函数是奇函数，可排除A、C；

又当，，可排除D；

故选：B.

【点睛】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的一个焦点到的距离为，则双曲线的方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意求出参数的值后可得双曲线的方程．

【详解】

由可得，即渐近线的方程为，

又一条渐近线的倾斜角为，

所以．

因为双曲线的一个焦点到的距离为，

所以，

所以，

所以双曲线的方程为．

故选D．

【点睛】

本题考查双曲线方程的求法，解题的关键是根据题意求出参数的值，解题是要注意将条件中给出的数据进行适当的转化，属于基础题．

7．已知，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数的单调性比较大小即可；

【详解】

解：因为，即，

，即，

所以

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

8．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（   ）

A．144种 B．48种 C．36种 D．72种

【答案】C

【解析】分析：采取“捆绑法”、“插空法”，利用分步计数乘法原理可得结果.

详解：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有种，故选C.

点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

9．设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先根据向量加法平行四边形法则化简条件得，再根据面积公式求比值.

【详解】

如图，取中点，，则，∴，

∵，∴，∴.

故选A.

【点睛】

本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力

10．已知数列的通项公式是，其中的部分图像如图所示，为数列的前项和，则的值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三角函数的周期和最小值点可求得，从而得到，根据三角函数周期可知是以为最小正周期的周期数列，求得后，可将化为，代入求得结果.

【详解】

由函数图象可知：，即：   

代入得：    ，

，

又           

    是以为最小正周期的周期数列

则：，，，，，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查根据三角函数图象求解函数解析式、周期数列前项和的求解问题，关键是能够通过三角函数的周期确定数列的周期，从而将所求和转化为一个周期内的几项和的求解问题.

11．定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为（   ）

A．(0,+∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)

C．(－∞,0)∪(0,+∞) D．(3,+ ∞)

【答案】A

【解析】由变形得，，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集．

【详解】

由变形得，，设，所以原不等式等价于，

因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A．

【点睛】

本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力．

12．    在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是(    )

A．36 B．24 C． D．

【答案】D

【解析】要求三棱锥的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值

【详解】

易知，则＝2，

欲使三棱锥的体积最大，只需高最大，

通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值，

所以.

故选。

【点睛】

本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值。

二、填空题

13．若实数x，y满足：，则的最大值是________；

【答案】5

【解析】根据可行域求的最大值．

【详解】

由题意作图

可知，在点（3,4）处取得最大值，．

【点睛】

本题考查线性规划，属于基础题．

14．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，21时29分食甚，22时07分生光，23时11分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”在食既时刻开始，生光时刻结束.小明准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是________.

【答案】

【解析】根据几何概型长度型计算公式进行求解即可.

【详解】

小明准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，时长为2小时1分钟，即121分钟，等待“红月亮”的时间不超过30分钟，应该在20：59至21：56之间，时长为：57分，因此他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了几何概型长度型，考查了数学运算能力.

15．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列，若数列的前项和为，则_____．

【答案】2048

【解析】令每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第行第个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果.

【详解】

使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为：

设位于第行，则：，解得：

且第行最后一项在数列中的项数为：

位于杨辉三角数阵的第行第个

而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为

依此类推，第行各项的和为

本题正确结果：

【点睛】

本题考查与杨辉三角有关的数列的前项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，确定第项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题.

16．设椭圆： 的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是______．

【答案】

【解析】

∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．

|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|

又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，

要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c,

，，则椭圆离心率的取值范围是．

故答案为：

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

三、解答题

17．在中，内角的对边分别是，且满足．

(1)求角C；

(2)设为边的中点，的面积为，求边的最小值．

【答案】（1）；（2）3

【解析】(1)    先用正弦定理将已知等式两边都化为正，余弦角的关系，再根据对其进行化简，计算可得角C．(2)由三角形的面积可得，用余弦定理将边CD表示出来，再根据可求出CD最小值．

【详解】

(1) 由正弦定理：，又，

由题，所以.

因为，所以,

即,即,

因为，所以，则.

(2) 由，即，所以.

由,所以

当且仅当时取等

所以边的最小值为.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键．

18．如图，已知在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性质可得，可得底面，从而可得结果；（2）以为，过作的垂线为建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角的余弦值.

详解：（1）证明：∵，，，，

∴，，，，

∴，∴平面，

∴，

∵，为中点，

∴，∴底面，

∴平面平面．

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，

∴，，，，

设平面的一个法向量为，平面的法向量为，则

由可得取，得，，即，

由可得取，得，，即，

∴．

故二面角的余弦值为．

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

19．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：

已知

（1）求出q的值；

（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；

（3）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．

（参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据，可求得结果；（Ⅱ）由公式可得 ，样本的中心 点带入可得值，从而求得回归方程；（Ⅲ）（）的共有 个“好数据”：、、．

于是的所有可能取值为，，，．分别求出对应概率，利用期望公式求解即可.

试题解析：（Ⅰ），可得 解得．

（Ⅱ），

，

所以所求的线性回归方程为．

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．

与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、．

于是的所有可能取值为，，，．

；；；，

∴的分布列为：

于是．

20．直线与曲线交于，两点，与的中点的横坐标为2．

（1）求曲线的方程；

（2）过，两点作曲线的切线，两切线交于点，直线交曲线于点，求证：是线段的中点．

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【解析】（1）设，，，，利用平方差法求解直线的斜率，推出，然后求解曲线的方程．

（2）求出抛物线在，点处的切线方程，抛物线在点，处的切线方程，联立求出．然后转化证明即可．

【详解】

解：（1）设，，，，

则，

于是直线的斜率，所以

所以曲线的方程为．

（2）因为，所以，

则抛物线在，点处的切线方程为：，

整理得：，

同理：抛物线在点，处的切线方程为：

联立方程组解得：，解得：，即．

而，所以直线的方程为：；与抛物线方程联立可得

由，，，可得是线段的中点．

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

21．已知函数

(I)若,函数的极大值为,求实数的值；

(Ⅱ)若对任意的在上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）

【解析】分析：（1）求出导函数，对分类讨论，根据单调性判断函数的极大值，确定的值即可；
（2）构造关于的函数令，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立，把问题转化为最值问题，对分类讨论得出的范围即可．

详解：

（Ⅰ）由题意，

.

①当时，，令，得；，得，

所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.

②当时，，令，得；，得或，

所以在单调递增，，单调递减.

所以的极大值为，得.综上所述.

（Ⅱ）令，，当时，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立.

①当时，，，，此时，不合题意.

②当时，令，，

则，其中，，

令，则在区间上单调递增，

时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，即不等式在上恒成立.

时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.

点睛：本题考查了导函数的综合应用和函数的构造，二次求导问题，综合性强，难度较大

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.

（1）求曲线、的直角坐标方程.

（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.

【答案】（1），.（2）或者.

【解析】分析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，极坐标方程化为直角坐标方程为.

（2）设，，由点到直线距离公式可得到的距离，

结合题意分类讨论可得或者.

详解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，

的方程即：，即，

则直角坐标方程为：.

（2）设，，

则到的距离 ，.

由、间距离的最小值为知：

当时，得；

当时，，得.

综上：或者.

点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式；

（2）证明：

【答案】(1).(2)见解析.

【解析】（1）利用零点分段法即可求解.

（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.

【详解】

（1）

解得，所以不等式的解集为

（2）解法1： 且，

.

当且仅当时，等号成立.

解法2： 且，

当且仅当时，等号成立.

【点睛】

主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.