2020届江西省上饶市六校高三一模（4月）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】算出集合B，再与集合A求交集即可.
【详解】
由已知，，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，是一道基础题.
2．若复数为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将复数标准化为，根据题意得到a，再利用模长公式计算即可.
【详解】
由已知，，故，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数除法、复数模的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．函数图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.
【详解】
，
，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.
4．给出以下命题
①已知命题，则：；
②已知，是的充要条件；
③命题“若，则的否命题为真命题”.
在这3个命题中，其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定是特称命题可判断①；用定义法去论证②；由否命题与逆命题同真假可判断③.
【详解】
命题，则，故①正确；当时，由
不能推出，反过来，能推出，所以，是的必要不
充分条件，故②错误；“若，则的否命题与其逆命题同真假，而若，
则的逆命题为若，则，显然成立，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及到全称命题的否定、充分条件、必要条件、否命题等知识，是一道基础题.
5．设函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，利用的单调性即可得到答案.
【详解】
因为，，，，
故，又在单调递增，
所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数单调性比较式子大小，涉及到换底公式的应用，是一道容易题.
6．已知非零向量，满足，且，若，的夹角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，再利用数量积的定义计算即可.
【详解】
由，得，即，又，
所以，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
7．甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数满足：成等比数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由中位数、平均数可得x，y的值，再由成等比数列得到，最后利用基本不等式可得的最小值.
【详解】
甲班成绩的中位数是81，故，乙班成绩的平均数是86，则
，解得，又成等比数列，
故，所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.
8．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意算得圆心到渐近线的距离，利用垂径定理与勾股定理即可建立起的方程.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，不妨设，被圆
所截得的弦长为，圆的半径为，故圆心到渐近线的距离为
，
所以，故双曲线的离心率为
.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，涉及到点到直线的距离、弦心距等知识，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
9．在中，角、、的对边分别是，且面积为，若，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得到角A，由及得到角C，再利用计算即可得到答案.
【详解】
由正弦定理及，得，即
，又，所以，又，故
；又，所以，从而
，所以，，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形面积公式的选取，公式变形等处理，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
10．已知三棱锥中，平面，中两直角边，，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将其置入长方体中，由三棱锥的体积为10，得到CD的长，从而进一步得到长方体体对角线（外接球直径）的长.
【详解】
将三棱锥置入长方体中，如图所示
由已知，，，所以，解得，
所以，所以三棱锥的外接球的半径为，
故外接球表面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查求三棱锥外接球的表面积，在涉及比较特殊的三棱锥外接球问题时，通常考虑能否将其置入正方体或长方体中来求解，本题是一道中档题.
11．已知函数，过点，，当，的最大值为9，则的值为（ ）
A． B． C．和 D．
【答案】B
【解析】由图可得，所以，令，转化为求的最大值问题.
【详解】
由已知，，所以，，又，，
所以，，故，
所以，
因，所以，，
令，则，故，
若，易得，不符合题意；
若，易得，解得（舍）；
若，易得，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.
12．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先将问题转化为的图象上有且仅有两个的整数点低于的图象或在其上的问题，然后再通过求导作出两个函数的图象，数形结合即可得到.
【详解】
由题意，有且仅有两个的整数，使得，即，令，
则，易知在单调递增，在单调递减，作出
与的图象，如图所示
只需，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数在不等式中的运用，涉及了转化与化归的思想以及数形结合的思想，有一定难度及高度，是一道较好的压轴选择题.
二、填空题
13．函数在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．
【详解】
由题意，∴，又，
∴所求切线方程为，即．
故答案为．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．
14．设变量，满足约束条件，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】画出可行域，表示点与连线的斜率问题，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
表示点与连线的斜率问题，又，所以，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，通常采用式子所表示的几何意义计算，本题是一道基础题.
15．已知等比数列的公比不为1，且前项和为，若满足，，成等差数列，则__________.
【答案】
【解析】由可得公比q，将其代入中即可.
【详解】
由已知，，所以，解得或（舍），
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道基础题.
16．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时__________
【答案】
【解析】先将阴影部分的面积表示为，，只需求使得取最小值的即可得到答案.
【详解】
由已知，，，易得扇形的面积为，
四边形的面积为，故阴影部分的面积为
，设，则
，令，得，记其解为，
并且在上单调递减，在单调递增，所以得最小值为，阴影部
分的面积最大值为，此时，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题.
三、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用等差数列基本量计算即可；
（2），利用裂项相消法求前n项和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由题意，，解得：，.
∴；
（2）∵，
∴.
【点睛】
本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和，考查学生的运算能力，是一道基础题.
18．如图所示，在四棱锥中，，平面平面，且为边长为的等边三角形，过作，使得四边形为菱形，连接，，.
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，只需证明，即可；
（2）利用割补法求解，即.
【详解】
（1）证明：∵，∴，
又平面平面，平面平面，
故平面；
又平面，故；
又四边形为菱形；，,
∴平面.
（2）由已知，，所以，，
∵
由（1）知平面， 由平面平面可知点A在平面的投影落在交线BD上，在直角三角形DAB中，，所以点A到平面的距离为，
∴.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及不规则几何体积的求法，在求不规则几何的体积时，通常是采用割补法，是一道容易题.
19．环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数浓度，制定了空气质量标准：
空气污染质量 | ||||||
空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）.
（1）某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；
（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表：
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 16 | 39 | 18 | 10 | 5 | 2 |
根据限行前六年180天与限行后90天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
| 空气质量优良 | 空气质量污染 | 合计 |
限行前 |
|
|
|
限行后 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
参考数据：
其中
【答案】（1）0.05（2）计算及填表见解析；有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关
【解析】（1）利用每个小矩形的面积和为1即可求得答案；
（2）利用公式计算即可.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为
，
所以某人因空气污染被限号出行的概率为0.05.
（2）限行前六年180天中，空气质量优良的天数为.
列联表如下：
| 空气质量优、良 | 空气质量污染 | 合计 |
限行前 | 90 | 90 | 180 |
限行后 | 55 | 35 | 90 |
合计 | 145 | 125 | 270 |
由表中数据可得.
所以有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
【点睛】
本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，考查学生识图及数据处理的能力，是一道容易题.
20．己知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，当的横坐标为1时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知过定点的直线与抛物线相交于两点.若恒为定值，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用抛物线的定义可得，所以有；
（2）设，联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系，又，代入化简即可.
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，焦点
当的横坐标为1时，
∴，解得
∴抛物线的方程为
（2）设，
由直线的方程为与抛物线联立，
消去得：，
则，，，
，，
，对任意恒为定值，
当时，此时，∴，且满足，符合题意.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到抛物线中的定值问题，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.
21．已知函数，，.
（1）讨论的单调性：
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1），分，两种情况讨论；
（2）不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，只需求出的最大值即可.
【详解】
（1），
，
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
因为，所以
令
令，，
故在上单调递减，且，，
故存在使得，
即即，
当时，，；
当，，；
所以，
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问题时，通常构造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的两点，且，求的最大值.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2），，即可求得最大值.
【详解】
（1）曲线C的普通方程为，故C的极坐标方程为，又，所以，故直线的直角坐标方程.
（2）不妨设，，
则
，当且仅当时，取得等号，
∴的最大值为.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化以及距离和的最大值问题，是一道基础题.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；
（2），，在乘开，利用基本不等式即可.
【详解】
解（1）因为
从图可知满足不等式的解集为.
（2）由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.
