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    2020届江西省九江市高三第一次模拟数学(文)试题(解析版)

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    2020届江西省九江市高三第一次模拟数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】直接利用集合的交运算进行求解.

    【详解】

    .

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查集合的交集运算,考查基本运算求解能力,属于基础题.

    2.设复数满足,则复平面内表示的点位于()

    A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

    【答案】D

    【解析】由复数的四则运算求出,就能判别相应选项.

    【详解】

    因为,所以,则复平面内表示的点位于第四象限.D

    【点睛】

    复数四则运算,属于简单题.

    3.已知向量,则的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】C

    【解析】根据向量垂直得到,从而可得答案.

    【详解】

    ∴“的充要条件.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查充要条件的判定,考查对概念的理解,属于基础题.

    4.已知实数满足约束条件,则的最大值为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据约束条件作出可行域,并且由,当直线平移至经过点时,取得最大值,可得选项.

    【详解】

    如图,作出可行域,由, 当直线平移至经过点时,取得最大值

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查线性规划问题中已知约束条件,求目标函数的最值,属于基础题.

    5.设等差数列的前项和为,已知,则   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得,可得的值.

    【详解】

    因为 所以

    故选:B

    【点睛】

    本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用,灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键,属于基础题.

    6.已知函数是定义在上的偶函数,当,则,的大小关系为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】利用导数判断上单调递增,再根据自变量的大小得到函数值的大小.

    【详解】

    函数是定义在上的偶函数,

    恒成立,

    上单调递增,

    ,即.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查利用函数的性质比较数的大小,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.

    7.现有一组数据如茎叶图所示,若平均数为,且方差达到最小,则的值是(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】由平均为115得到,写出方差的表达式,求出使方差最小时满足的关系,从而求得的值.

    【详解】

    数据的平均数为,要使方差最小,

    当且仅当,即时取等号,此时方差最小,.

    故选:D

    【点睛】

    本题考查对茎叶图、平均数和方差的概念,考查逻数据处理能力,求解时注意基本不等式的运用.

    8.已知函数()的部分图象如图所示,若,则的最小值为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据图象可求得,再,得出关于点对称,由正弦型函数的对称中心可得,可得选项.

    【详解】

    由图象易知,即

    由图可知,又

    关于点对称,

    即有的最小值为

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查根据图象求正弦型函数的解析式,以及函数的对称中心,正弦型函数的对称中心,属于中档题.

    9.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且位于第一象限,为坐标原点,若线段的中点满足,则直线的方程为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】设椭圆的右焦点为,利用中位线和向量垂直得,从而得到点为圆和椭圆的公共点,求出点的坐标,计算直线的斜率,利用点斜式方程可得答案.

    【详解】

    设椭圆的右焦点为),

    分别是的中点,

    ,由已知可得

    ,即

    直线的方程为,即.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查椭圆中的焦点三角形问题,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意坐标法的应用.

    10.半正多面体(semiregular solid)亦称阿基米德多面体,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为的正四棱柱的外接球,利用勾股定理得到关于的方程,解得值再代入球的面积公式.

    【详解】

    由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为的正四棱柱的外接球,

    ,,

    该二十四等边体的外接球的表面积.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积求法,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意根据几何体的对称性将问题进行等价转化.

    11.已知不等式对于任意恒成立,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】先利用参变分离将不等式转化为,再利用换元法令,将问题转化为三次函数的值域求解.

    【详解】

    不等式对于任意恒成立,

    等价于

    对于任意恒成立,

    ,则上恒成立,

    ,则.

    上单调递减,上单调递增.

    .

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查不等式恒成立求参数范围问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意换元法的使用,同时注意新元的取值范围,才会使问题进行等价转化.

    12.我国古代典籍《周易》用描述万物的变化,每一卦由六组成.其中记载一种起卦方法称为大衍法,其做法为:从50根草中先取出一根放在案上显著位置,用这根蓍草象征太极.将剩下的49根随意分成左右两份,然后从右边拿出一根放中间,再把左右两份每4根一数,直到两份中最后各剩下不超过4根(含4根)为止,把两份剩下的也放中间.49根里除中间之外的蓍草合在一起,为一变;重复一变的步骤得二变和三变,三变得一爻.若一变之后还剩40根蓍草,则二变之后还剩36根蓍草的概率为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】用()来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数,分成两份后不会出现一边没有,一边39根,设,且,列出所有等可能事件,并计算事件二变之后剩36根蓍草的事件所含基本事件,最后利用古典概率模型计算概率.

    【详解】

    用()来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数,分成两份后不会出现一边没有,一边39根,

    故假设,且

    则基本事件有1,382,37,(3,36),(4,35),5,346,33,(7,32),(8,31),9,3010,29,(11,28),(12,27),13,2614,25,(15,24),(16,23),17,2218,21,(19,20)共19个基本事件,其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件.

    故选:C.

    【点睛】

    本题以数学文化为背景考查古典概型,考查逻辑推理能力和阅读理解能力,求解的关键是识别概率模型.

     

     

    二、填空题

    13.曲线在点处的切线方程为______.

    【答案】

    【解析】对函数求导,得出在处的一阶导数值,即得出所求切线的斜率,再运用直线的点斜式求出切线的方程.

    【详解】

    ,所以,又所求切线方程为,即.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程,关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率,属于基础题.

    14.执行如图所示的程序框图后,输出的值为____.

    【答案】126

    【解析】直接根据程序框图所示的等比数列求和特点,求出,再解不等式判断何时终止,从而输出的值.

    【详解】

    由图可知

    .

    故答案为:126

    【点睛】

    本题考查程序框图中的循环结构,考查运算求解能力,属于基础题.

    15.已知双曲线()的左右焦点分别为,直线过点交双曲线右支于两点,若,则双曲线的离心率为_____.

    【答案】

    【解析】,则可得,再利用双曲线的定义求得,利用勾股定理求得关于的方程,从而求得离心率.

    【详解】

    ,则

    ,由双曲线的定义,得

    则此时满足

    是直角三角形,且

    ,得.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查双曲线的定义、离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意根据题意找到关于的齐次方程,从而求得离心率.

    16.如图,在平面四边形中,,则的最小值为____.

    【答案】

    【解析】,在中,利用正弦定理得,利用余弦定理得,从而得到的关系,再由可得之间的关系,利用余弦定理可得,再利用三角函数的有界性可得答案.

    【详解】

    ,在中,

    由正弦定理得,即,由余弦定理得

    中,由余弦定理得

    时,.

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意确定以什么为变量,建立函数关系.

     

    三、解答题

    17.已知等差数列的前项和为,公差,且成等比数列.

    1)求数列的通项公式及前项和

    2)记,求数列的前项和.

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据等比中项得,再将等差数列通项公式代入求得公差,利用等差数列通项公式与前项和公式,可求得答案;

    2)由(1)得,再利用裂项相消法和等比数列前项和公式,即可求得答案.

    【详解】

    1成等比数列,,解得(舍去)

    2)由(1)得

    【点睛】

    本题考查等比中项性质、等比数列前项和、裂项相消求和、等差数列通项公式,考查逻辑推理能力和运算求解能力.

    18.如图,在三棱柱中,四边形为正方形,且.

    1)求证:平面平面

    2)求点到平面的距离.

    【答案】1)见解析;(2

    【解析】1)连接,设,连接,证明垂直平面,再利用面面垂直的判定定理,即可证得结论;

    2)证明平面,得到为三棱锥的高,再利用等积法求得点到平面的距离.

    【详解】

    1)连接,设,连接

    的中点,.

    四边形为正方形,

    平面平面

    平面平面平面.

    2,在中,又,又

    平面平面,平面平面

    平面为三棱锥的高,

    到平面的距离.

    【点睛】

    本题考查空间中面面垂直的证明、等积法求点到面的距离,考查转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意等积法的应用.

    19.已知是抛物线上两点,线段的垂直平分线与轴有唯一的交点.

    1)求证:

    2)若直线过抛物线的焦点,且,求.

    【答案】1)见解析;(25

    【解析】1)设(),将坐标化得,再利用点在抛物线上得到的关系,利用

    2)由已知可得直线斜率存在且不为0,故可设直线的方程为(),利用弦长求得的值,再代入焦半径公式即可求得答案.

    【详解】

    1)设()

    在线段的垂直平分线线上,

    ………①

    在抛物线上,

    代入,化简得

    .

    2)由已知可得直线斜率存在且不为0,故可设直线的方程为()

    联立,消去

    .

    【点睛】

    本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线中的参数范围问题、焦半径,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意在去绝对值中的应用.

    20.已知函数().

    1)若上单调递增,求的取值范围;

    2)若对恒成立,求的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】1)问题等价于恒成立,再对两种情况讨论;

    2)问题等价于恒成立,构造函数,对两种情况,分别利用它们的最小值大于0,求的取值范围.

    【详解】

    1,依题意得,对恒成立,

    时,恒成立,满足题意

    时,取上不能恒成立,不满足题意,

    综上所述,的取值范围是

    2()

    .

    (),则

    时,上单调递增,

    依题意得,满足题意

    时,当时,,当时,

    上单调递减,在上单调递增

    依题意得,解得

    综上所述,的取值范围是.

    【点睛】

    本题考查利用导数研究恒成立问题和求参数值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意函数构造法的应用.

    21.某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金,需了解每投入2千万资金后,工人人数(单位:百人)对年产能(单位:千万元)的影响,对投入的人力和年产能的数据作了初步处理,得到散点图和统计量表.

     

    1)根据散点图判断:哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型?并说明理由?

    2)根据(1)的判断结果及相关的计算数据,建立关于的回归方程;

    3)现该企业共有2000名生产工人,资金非常充足,为了使得年产能达到最大值,则下一年度共需投入多少资金(单位:千万元)?

    附注:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为(说明:的导函数为)

    【答案】1)选择,理由见解析;(2;(320千万

    【解析】1)由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型;

    2)由,,再利用最小二乘法求出,从而得到关于的回归方程;

    3)利用导数求得当时,取得最大值.

    【详解】

    1)由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型

    若选择,则,此时当接近于0时,必小于0

    故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型

    2)由,,故符合线性回归,.

    ,即

    关于的回归方程.

    3)当人均产能达到最大时,年产能也达到最大,

    (2)可知人均产能函数

    时,

    时,单调递增,时,单调递减,

    时,人均产能函数达到最大值,

    因此,每2千万资金安排2百人进行生产,能使人均产能达到最大,

    对于该企业共有2000名生产工人,且资金充足,

    下一年度应该投入20千万资金进行生产,可以适当企业的产能达到最大.

    【点睛】

    本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意知识的交会.

    22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

    1)求曲线的普通方程和极坐标方程;

    2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.

    【答案】1的极坐标方程为,普通方程为;(2

    【解析】1)根据三角函数恒等变换可得,可得曲线的普通方程,再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为,利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程;

     

    2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;

    法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;

    【详解】

    1

    ,即曲线的普通方程为

    依题意得曲线的普通方程为

    得曲线的极坐标方程为

    2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则

    异号

    法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得

    异号

    .

    【点睛】

    本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.

    23.已知函数,且

    1)若,求的最小值,并求此时的值;

    2)若,求证:

    【答案】1)最小值为,此时;(2)见解析

    【解析】1)由已知得

    法一:,根据二次函数的最值可求得;

     

    法二:运用基本不等式构造,可得最值;

     

    法三:运用柯西不等式得:,可得最值;

     

    2)由绝对值不等式得,,又,可得证.

    【详解】

    1

    法一:

    的最小值为,此时

    法二:

    ,即的最小值为,此时

    法三:由柯西不等式得:

    ,的最小值为,此时

    2

    .

    【点睛】

    本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.

     

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