2020届江西省九江市高三第一次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届江西省九江市高三第一次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据绝对值不等式的解法，求得集合N，再根据集合的交集运算得出选项.

【详解】

，，

故选：A.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题.

2．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】由复数的四则运算求出，就能判别相应选项.

【详解】

因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.选D．

【点睛】

复数四则运算，属于简单题.

3．已知非零向量，满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:

【答案】C

【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.

【详解】

，

，∴等价于，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.

4．已知实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据约束条件作出可行域，并且由得，当直线平移至经过点时，取得最大值，可得选项.

【详解】

如图，作出可行域，由得， 当直线平移至经过点时，取得最大值，

故选:C.

【点睛】

本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题.

5．设等差数列的前项和为，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得，可得的值.

【详解】

因为 所以，，

，，

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用，灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.

6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.

【详解】

依题意得，，

当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，

，即，

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.

7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.

【详解】

由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型的求解，独立重复试验发生次的概率，属于基础题.

8．已知函数()的部分图象如图所示，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据图象可求得，再，得出关于点对称，由正弦型函数的对称中心可得，可得选项.

【详解】

由图象易知，，即，，，

由图可知，，，又，，

由得，，，关于点对称，

即有，，，的最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题.

9．过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.

【详解】

作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，，，的斜率为，又，，，所以，

直线的方程为，即，

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.

10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

该几何体的体积为，

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

11．定义，已知函数，，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得，，则,

(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.

12．在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据向量的数量积运算由，可得，设线段的中点为，则可得在圆上，则，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍.点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得，再运算裂项相消求和法可求得，得实数的取值范围.

【详解】

由，得，所以，设线段的中点为，则，所以在圆上，

，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍.点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，

而圆的圆心到直线的距离为，

，，

，

,

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.

【详解】

令，，所以，又，所求切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.

14．的展开式中的系数为____.

【答案】28

【解析】将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.

【详解】

，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，

展开式中的系数为

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.

15．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.

【详解】

在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，

连接.由，得，，

由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,

又由已知可得平面平面，平面，，

，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，

三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.

16．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.

【答案】

【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.

【详解】

法一:，，，,

，,

设，则，

令，所以时，，在上单调递增， ，，.

法二：，，令，，，，，

，，，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.

三、解答题

17．在中，内角的对边分别是，已知.

（1）求角的值；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.

（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.

【详解】

（1）由及正弦定理得，即

由余弦定理得，，.

（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，

，，

.

【点睛】

本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.

18．如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.

（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，

又为的角平分线，四边形为正方形，，

又，，，，，又为的中点，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如图空间直角坐标系，则，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则，，

令，得,

设平面的一个法向量为，则，

，令，得

，由图示可知二面角是锐角，

故二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.

19．已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，定值，理由见解析

【解析】（1）根据已知条件得，，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得，得出椭圆的标准方程；

（2）设，，，设直线，联立，消去得，，，根据弦长公式求，

法一:由在线段的垂直平分线上，得，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标，可求得，可得所求的比值；

法二:求出 线段的中点和线段的垂直平分线方程，可得点的坐标，可求得，可得所求的比值；

【详解】

（1）如图，，，，直线的方程为，

直线与圆相切，，，

椭圆的标准方程为.

（2）设，，，

设直线，联立，消去得，

，

法一:在线段的垂直平分线上，，………①

在椭圆上，，，

代入①得，化简得

法二: 线段的中点为，线段的垂直平分线为，

令，得

，，

故为定值.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.

20．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

【答案】（1）；（2）不会超过预算，理由见解析

【解析】（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.求得，，求得其分布列和期望，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.

（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.

，

令,则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减,

的最大值为,

实施此方案，最高费用为（万元），

，故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

21．已知函数().

（1）讨论的单调性；

（2）若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；

（2）.

【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，

分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得  ，可得的范围;

法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.

【详解】

（1）的定义域为，，

①当时，由得，得，

在上单调递减，在上单调递增；

②当时，恒成立,在上单调递增；

（2）法一: 由得，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

令，

则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，

  ()

当时，，()式恒成立，即恒成立，满足题意

法二:由得，，

令()，则，在上单调递减，

，，即，

当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意

当时，令，则，所以在上单调递减，

又，当时，，，使得，

当时，，即，

又，，，不满足题意，

综上所述，的取值范围是

【点睛】

本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.

【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）

【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；

（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；

【详解】

（1），

，即曲线的普通方程为，

依题意得曲线的普通方程为，

令，得曲线的极坐标方程为；

（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则

，，，异号

，

，，；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，

则，，，异号

，，.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.

23．已知函数，且．

（1）若，求的最小值，并求此时的值；

（2）若，求证:．

【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析

【解析】（1）由已知得，

法一:，，根据二次函数的最值可求得；

法二:运用基本不等式构造，可得最值；

法三：运用柯西不等式得：，可得最值；

（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.

【详解】

（1），

法一:，，

的最小值为，此时；

法二:，

，即的最小值为，此时；

法三：由柯西不等式得：

，

,即的最小值为，此时；

（2），，

又，

.

【点睛】

本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.