2020届江西省赣州市石城中学高三下学期第二次（线上）考试数学（理）试题 （解析版）

石城中学2020届高三下学期第二次（线上）考试
理科数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．若复数是纯虚数，则的值为( )
A． B． C． D．
4．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．9 D．18
6．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（错题再现）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（　）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
9．如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P作AE的垂线，垂足为F，当最小时， （ ）

A． B． C． D．
10．（错题再现）过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
11．利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以O为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；
(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；
(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（ ）

A． B． C． D．
12．已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

二、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）

13．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________.
14．_______
15．二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_____．
16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．
三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．已知函数的定义域为，集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，使，求实数的取值范围.


18．某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图②.

（1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；
（3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：，，，，
附：线性回归方程，.


19．如图所示，在四棱锥中，平面平面， ， ， ．

（1）求证： ；
（2）若二面角为为，求直线与平面所成的角的正弦值．

20．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：．

21．设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线的倾斜角，点为直线与轴的交点，求的最小值．

选修4-5：不等式选讲
23．已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合，则下列结论正确的是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】B
由，得或，则，选B.
2．命题“，”的否定是（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】B
全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
3．若复数是纯虚数，则的值为( C )
A． B． C． D．
【解析】 C
根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.
4．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
【解析】A
的最小值就是圆心（0，-2）到平面区域的最小值减去圆的半径，由图可得圆心（0，-2）到平面区域的最小值是，所以的最小值为.
5．已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ A ）
A．1 B． C．9 D．18
【详解】A
因为，所以，
所以函数为奇函数，又若正实数满，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选A
6．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ C ）
A． B． C． D．
【解析】C
分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．
详解：如图，时间轴点所示，概率为

故选C.
7．（错题再现）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ B ）
A． B． C． D．
【详解】B
将名教师和名学生共人平均分成个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数，每个小组恰好有名教师和名学生包含的基本事件个数，所以每个小组恰好有名教师和名学生的概率为，故选B．
8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（C　）
A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年
【解析】C
由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C．
9．如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P作AE的垂线，垂足为F，当最小时， （ D ）

A． B． C． D．
【详解】D
依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），

在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.
10．过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ A ）．
A． B． C． D．
【详解】A
设双曲线的右焦点为，则的坐标为．
因为曲线与有一个共同的焦点，所以曲线的方程为．

因为，
所以，
所以为的中点，
因为O为的中点，
所以OM为的中位线，
所以OM∥．
因为|OM|=a，所以．
又，，
所以．
设N(x,y)，则由抛物线的定义可得，
所以．
过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为，
在中，由勾股定理得，
即，
所以，
整理得，解得．
故选A．
11．利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以O为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；
(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；
(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（C ）

A． B． C． D．
【详解】C
设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，



.
所以
记，所以令，
易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。故选C.
12．已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为 （ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】A
因为两个等式：对任意的实数x均恒成立，所以的图象关于直线和点对称，所以，因为，所以.因为在上单调，所以，所以，由选项知，只需要验证.
1.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为，所以，所以，可以验证在上不单调，
2.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为·所以·所以，可以验证在上单调，
所以w=1.故选A.

三、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________.

【详解】
是等差数列，

是等比数列，
，
，
.
故答案为：.
14．_______;
【详解】
==．
15．二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_____．
【详解】
依题得，所以n=8，在的展开式中令x=1，则有，所以a+b=2，又因为展开式的通项公式为，令.所以得到（舍），当时，由得.所以令，所以，故填.
16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．

【详解】
由，令，则，所以为奇函数.因为当时，成立，所以当时，成立，所以在上单调递增，所以在R上单调递增.因为，
即为，
所以，所以，所以.
故答案为：
三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知函数的定义域为，集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，使，求实数的取值范围.
【解析】（1）；（2）或.
试题解析：
（1），
因为，所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由已知得：，所以或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图②.

（1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率；
（3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：，，，，
附：线性回归方程，.
（1）3.9；（2）0.104；（3）①；②选择种杂交稻收入更高.
【详解】
解：（1）设明年常规稻的单价为，则的分布列为

3.70
3.90
4.00

0.1
0.7
0.2


，
估计明年常规稻的单价平均值为3.9（元/公斤）； （3分）
（2）杂交稻的亩产平均值为：
.
依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率，
则将来三年中至少二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率为：
. （6分）
（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关，
由题中提供的数据得：，
由得，
∴线性回归方程为， （10分）
② 估计明年杂交稻的单价元/公斤；
估计明年杂交稻的每亩平均收入为元/亩，
估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩，
∵，∴明年选择种杂交稻收入更高. （12分）

19．如图所示，在四棱锥中，平面平面， ， ， ．

（1）求证： ；
（2）若二面角为为，求直线与平面所成的角的正弦值．

【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.
(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：
（1）中，应用余弦定理得 ，
解得，
所以，
所以. （2分）
因为平面平面，平面平面， ，
所以平面，又因为平面，
所以. （5分）
（2）由（1）平面， 平面，
所以.
又因为，平面平面，
所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即. (7分）
因为， ，
所以平面. （9分）
所以是与平面所成的角. （10分）
因为在中， ，
所以在中， . （12分）

20．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：．
【解析】
试题分析：根据题意列方程，利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程，第二步设出点P的坐标，满足椭圆方程作为条件（1），写出直线AP、BP的方程，表示点M、N的坐标，得到和 的长的表达式，两者相乘，代入条件（1）并化简所得的积，化简后恰好为.
试题解析：
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为． （4分）
（2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令．设，则．

令，得，从而； （5分）
直线的方程为，
令，得，从而． （7分）
所以
． （10分）
当时，,
所以,综上可知． （12分）

21．设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，. （1分）
当时,，没有零点； （2分）
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，
当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增， （8分）
所以当时，取得最小值，最小值为. （9分）
由于，
所以.
故当时，. （12分）

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线的倾斜角，点为直线与轴的交点，求的最小值．
(1) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为．(2)
【详解】
（1）直线的普通方程为； （2分）
曲线的直角坐标方程为． （5分）
（2）将直线的参数方程（为参数），代入圆的方程，
得，化简得， （7分）
易知，设所对应的参数分别为，则
则， （8分）
所以．
当时，取得最小值． （10分）

23．已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.

详解：（1）设
由，得.
故 . （2分）
所以.
当时，，得；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
综上，. （5分）
（2）
，
，
. （10