2020届江西名师联盟高三上学期第二次月考精编仿真金卷数学（理）试题
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理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，为前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
6．若，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若一个半径为的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输入的为正整数，且，则输出的为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四棱锥中，，，点在棱上，，与平面交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，是双曲线的左右焦点，点是第二象限内双曲线上一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，，，，若，则 ．
14．已知数列的前和满足，若，则数列
的前项和为 ．
15．“”联赛将支球队均分为组，常规赛中小组内球队之间交手次（主客），小组外球队之间交手次（主客），已知常规赛，两队同组，由前几赛季结果知队主场获胜的概率为，客场获胜的概率为，则常规赛对的比赛结果为的概率为 ．（结果保留位小数）
16．已知，，，，若存在，，使得，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知的内角的对边分别为，，且．
（1）求；
（2）若，求的面积．
18．（12分）五面体中，是等腰梯形．，，，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）已知椭圆过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，直线，的斜率分别为，，问是否为定值?并证明你的结论．
20．（12分）某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为公斤，今年单价为元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为元/公斤的可能性为，变为的可能性为，统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①，统计近年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的组数据记为，并得到散点图如图②．
（1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值，以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过公斤的概率；
（3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为万亩，若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：，，，，
附：线性回归方程，．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论函数，的单调性；
（2）证明：；
（参考数据：，，，）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（ 10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的参数方程与的直角坐标方程；
（2）射线与、分别交于异于极点的点、，求．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知．
（1）解不等式；
（2）若恒成立，求整数的最大值．
2019-2020学年上学期高三第二次月考精编仿真金卷
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】C
12．【答案】A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，，
即有，所以，
或，，即，
即有，
由，得．
（2）由，若，，
在中，，
若，，
，不合题意，舍；
由正弦定理，得，
所以．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，取中点，连，
则，，∴是平行四边形，
∴，，∴，
是等边三角形，，
∴，∴，
∵平面平面，且交线为，∴平面，
∴，且，
∴是平行四边形，∴，，
∴，即，，∴平面．
（2）如图，以为原点，为轴，为轴，在平面内过点且与垂直得直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，则．
取，得，
则，
∴二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）；（2）为定值，定值为2．
【解析】（1）依题意，，又，则，
点在椭圆上，故，解得，则，
∴椭圆的方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得，．
设，，则为定值．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：．
将代入整理化简，得．
依题意，直线与椭圆必相交于两点，
设，，则，．
又，，
所以
．
综上得为常数．
20．【答案】（1）（元/公斤）；（2）；（3）①线性相关，；②明年选择种杂交稻收入更高．
【解析】（1）设明年常规稻的单价为，则的分布列为
，
估计明年常规稻的单价平均值为（元/公斤）．
（2）杂交稻的亩产平均值为
，
依题意知杂交稻的亩产超过公斤的概率，
则将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过公斤的概率为：．
（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关，
由题中提供的数据得，
由，得，
∴线性回归方程为．
②估计明年杂交稻的单价元/公斤，
估计明年杂交稻的每亩平均收入为元/亩，
估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩，
∵，∴明年选择种杂交稻收入更高．
21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
，
设，，，对称轴，
①当，即时，，即，
此时在上递增；
②当，，即时，令，
解得，
则时，；
时，，
此时在，上递增，在上递减；
③当，即时，令，解得， 舍，
当时，；当时，，
此时在上递减，在上递增．
（2）要证，即证，
先证明，取，则，
易知在递增，在递减，
故，即，当且仅当时取“”，
故，，
故只需证明当时，恒成立，
令，则，
令，则，令，解得，
∵递增，故时，，递减，即递减；
时，，递增，即递增，
且，，，
由零点存在定理，可知，，使得，故或时，，递增，
当时，，递减，故的最小值是或，
由，得，
，
∵，∴，故时，，原不等式成立．
22．【答案】（1）（为参数），；（2）．
【解析】（1）由，得，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆，
所以曲线的参数方程为（为参数）．
由，得，即，
所以，则曲线的直角坐标方程为．
（2）由（1）易得曲线的极坐标方程为，
则射线与曲线的交点的极径，
射线与曲线的交点的极径满足，
解得．
所以．
23．【答案】（1）或；（2）2．
【解析】（1），
∴或或，得或或，
所以不等式的解集为或．
（2）恒成立恒成立，
令，
结合二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，∴整数的最大值为．
