2020届江苏省如皋市高三10月教学质量调研数学理试题
展开江苏省如皋市2019—2020学年高三第一学期教学质量调研（一）
数 学
2019．10
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB＝ ．
答案：{1，2}
2．已知x，yR，则“a＝1”是“直线与直线平行”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空）．
答案：充分必要
3．函数的定义域为 ．
答案：(1，2]
4．若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为 ．
答案：[0，4)
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦点到渐近线的距离是 ．
答案：
6．设变量x、y满足约束条件，则的最大值为 ．
答案：18
7．若，(，)，则sin2＝ ．
答案：﹣1
8．将函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则＝ ．
9．已知点F是椭圆(a＞b＞0)的左焦点，A为右顶点，点P是椭圆上一点，PF⊥x轴，若＝，则该椭圆的离心率为 ．
答案：
10．设函数，则不等式的解集为 ．
答案：[﹣1，]
11．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆C：的弦，且＝，若存在线段AB的中点P，使得点P关于x轴对称的点Q在直线上，则实数k的取值范围是 ．
答案：[，0]
12．已知a，b，且，则的最小值为 ．
答案：10
13．已知直线l与曲线切于点A(，sin)(0＜＜)，且直线l与函数的图象交于点B(，sin)，若﹣＝，则tan的值为 ．
答案：
14．若函数在[﹣2，)有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案：[，﹣1)
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a﹣b)sinA＝(b＋c)(sinC﹣sinB)．
（1）求角C的值；
（2）若cos(B＋)＝，求sinA．
16．（本题满分14分）
已知函数，[1，2]．
（1）求函数的最小值；
（2）对于（1）中的，若不等式对于任意(﹣3，0)恒成立，求实数t的取值范围．
17．（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的一条准线方程为，右焦点F(，0)，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限内的点P且与椭圆相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△OAB的面积为，求直线l的斜率．
18．（本题满分16分）
在直角坐标系xOy中，椭圆C：经过点(0，)，右焦点F到右准线和左顶点的距离相等，经过点F的直线l交椭圆于点M，N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是直线l上在椭圆外的一点，且PM·PN＝PF2，证明：点P在定直线上．
19．（本题满分16分）
某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”．已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米．埋设管道前先挖一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切．设∠BAD＝．
（1）为了减少对农田的损毁，则当为何值时，挖掘的土方量最少？
（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算O1B长度．
20．（本题满分16分）
已知：函数，．
（1）求函数在点(1，0)处的切线方程；
（2）求函数在(0，1]上的最大值；
（3）当b＝0时，试讨论函数的零点个数．
附加题（每题10分，共40分）
21(A)．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．
（1）写出矩阵M、N；
（2）若直线先经过T1变换，再经过T2变换后的曲线方程．
21(B)．已知曲线C的参数方程为(为参数)，直线l过点P(0，1)．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆交于A、B两点，求的取值范围．
22．为迎接国庆汇演，学校拟对参演的班级进行奖励性加分表彰，每选中一个节目，其班级量化考核积分加3分．某班级准备了三个文娱节目，这三个节目被选中的概率分别为，，，且每个节目是否被选中是相互独立的．
（1）求该班级被加分的概率；
（2）求该班级获得奖励性积分的分布列与数学期望．
23．已知抛物线E：，过点Q(2，0)作直线与抛物线E交于A，B两点，点P是抛物线上异于A，B两点的一动点，直线PA，PB与直线x＝﹣2交于M，N两点．
（1）证明：M，N两点的纵坐标之积为定值；
（2）求△MNQ面积的最小值．
