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    2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学理试题
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    2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学理试题

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    江苏省南通市2020四校联盟

    高三数学模拟测试卷

    一、填空题(共14,每题5,70.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上)

    1已知集合,则          

    2.复数,(其中是虚数单位),则复数的共轭复数为     

    3.设向量(lk)(2k3),若,则实数k的值为      1

    4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为  

    5.函数f(x) = 的定义域为 .(-3/4,1]

    6已知命题p1<xa<1,命题q(x4)(8x)>0,若pq的充分不必要条件,则实数a的取值范围是      [57] 

    7.在正四棱锥SABCD中,点O是底面中心,SO2,侧棱SA2,则该棱锥的体积为      32/3

    8若函数()的图象关于直线对称,则     

    9.已知椭圆(ab0)的离心率AB分别是椭圆的左、右顶点,P是椭

    圆上不同于AB的一点,直线PAPB的倾斜角分别为,则的值为 

       

    10.在所在的平面上有一点,满足,则=     

    11.如图,将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为的等差数列,若,则=         3

    12.己知x(03),则的最小值为       

    13.若函数f(x) = x3-ax, x>0存在零点,则实数a的取值范围为.[2,+∞)

    14.已知,若同时满足条件:

    ;②

    的取值范围是  

    二、解答题(共6小题,共90分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    16.(本题满分14分)

    如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的中点

    1)求证:AC1平面PBD

    2)求证:BDA1P

    1)证明:连结点,连结

    因为四边形是正方形,对角线于点

    所以点是的中点,所以

    又因为点是侧棱的中点,所以

    中,,

    所以………………4

    又因为

    所以平面………………7

    2)证明:连结.

    因为为直四棱柱,

    所以侧棱垂直于底面

    平面,所以

    因为底面是菱形,所以

    ,所以………………10

    又因为,所以,因为

    所以

    所以………………14

     

    16(本小题满分14分)

    在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abccosB

    1)若c2a,求的值

    2)若CB,求sinA的值.

    解:(1解法1

    ABC中,因为cosB所以………………2

    因为c2a所以,即,所以………………4

    又由正弦定理得,所以………………6

    解法2

    因为cosBB(0π),所以sinB………………2

    因为c2a,由正弦定理得sinC2sinA

    所以sinC2sin(BC)cosCsinC,即-sinC2cosC………………4

    又因为sin2Ccos2C1sinC0,解得sinC                 

    所以………………6

    2)因为cosB,所以cos2B2cos2B1………………8

    0Bπ,所以sinB

    所以sin2B2sinBcosB×………………10

    因为CB,即CB,所以Aπ(BC)2B

    所以sinAsin(2B)sincos2Bcossin2B………………14

    17.(14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的右焦点为,且过点.过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点,点在椭圆上,且满足

    1)求椭圆的标准方程;(2)若,求直线的方程.

    .解:(1)由题意可知,,且,又因为

    解得………2

    所以椭圆的标准方程为………4

    2)若直线的斜率不存在,则易得,得,显然点不在椭圆上,舍去………5

    因此设直线的方程为,设

    将直线的方程与椭圆的方程联立,整理得………7分,

    因为,所以………8

    则由

    ………10

    点坐标代入椭圆的方程,得………11

    ;带入等式………12

    因此所求直线的方程为………14

    设直线的方程为求解亦可

    18.(16分)某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,为地面,为路灯灯杆,,在处安装路灯,且路灯的照明张角.已知

    1)当重合时,求路灯在路面的照明宽度

    2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值.

    解:(1)当重合时,

    由余弦定理知,

    所以……2

    因为,所以

    因为,所以……4

    因为,所以

    ……6

    中,由正弦定理可知,,解得……8

    2)易知到地面的距离……10

    由三角形面积公式可知,

    所以,……12

    又由余弦定理可知,……13

    当且仅当时,等号成立,所以,解得……14

    答:(1)路灯在路面的照明宽度为

    2照明宽度的最小值为.……16

    19.(本小题满分16分)已知函数)的图象为曲线

    1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围;

    2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围;

    3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.

    【解】(1,则 ----------4

    2)由(1)可知,---------------------------------------------------------6

    得:-------------------------------9

    3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B

    A的切线方程是: -----------------11

    同理:过B的切线方程是

        则有:,得----------------------13

        又由

       

        ,即

       

        ,由,这与矛盾,所以不存在----------16

    20.(本小题满分16分)

    设各项均为正数的数列的前项和为,已知,且对一切都成立.

    1

    求数列的通项公式;

    求数列的前项的和

    2是否存在实数λ,使数列是等差数列.如果存在,求出的值;若不存在,

    说明理由.

    【详解】(1),因为

    .

    化简,得.   

    时,.   

    ,得.

    时,时上式也成立,

    数列是首项为1,公比为2的等比数列,.………………4

    因为

    所以

    所以

    将两式相减得:

    所以………………8

    (2),得.,得.

    要使数列是等差数列,必须有,解得.

    时,,且.………………10

    时,

    整理,得

    从而

    化简,得,所以.

    综上所述,

    所以时,数列是等差数列. ………………16

    数学附加试卷

    (满分40分,考试时间30分钟)

    21A.(本小题满分10分)

    己知矩阵,其中,点P(22)在矩阵的变换下得到的点Q(24)·

    1)求实数ab的值:

    2)求矩阵A的逆矩阵.

    解:(1)因为

    所以所以………………5

    2

    ………………10

    21B.在极坐标系中,已知 1 9,线段的垂直平分线与极轴交于点,求的极坐标方程及的面积.

    解:由题意,线段的中点坐标为

    设点为直线上任意一点,

    在直角三角形中,

    所以,的极坐标方程为………………5

    ,得,即.(8分)

    所以,的面积为:………………10

    22.(本小题満分10)

    1求实数mn的值:

    2)若对任意实数x,都有成立.求实数的取值范.

    23.(本小题满分10分)

    已知.记

    1)求的值;

    2)化简的表达式,并证明:对任意的都能被整除.

    解:(1………………3

    2

    ………………7

    能被整除.………………10

     

     

     

     

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