2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题（解析版）

2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题



一、填空题
1．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．
【答案】3﹣4i
【解析】计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.
【详解】
∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．
故答案为：3﹣4i．
【点睛】
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
2．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.
【答案】{5}
【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．
3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．
【答案】30
【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.
【详解】
分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为60030．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.
4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是_____．
【答案】
【解析】计算sinα，再利用诱导公式计算得到答案.
【详解】
由题意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.
5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．

【答案】28
【解析】根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28
故答案为：28．
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
6．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为_____．
【答案】④
【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】
对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；
对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；
对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；
综上知，正确命题的序号是④．
故答案为：④．
【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．


8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．
【答案】-2
【解析】讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣24，计算等号成立的条件得到答案.
【详解】
已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，
①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，
故解集为（a，4），
由于a（﹣a）≤﹣24，
当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，
∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；
②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；
③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，
∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；
综上所述，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1•PF2cos∠F1PF23，联立方程得到，计算得到答案.
【详解】
∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①
又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，
△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．
【答案】
【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.
【详解】
根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A，A1，解得B，所以A﹣B．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
11．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
【考点】函数单调性
12．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．
【答案】
【解析】计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.
【详解】
由（）•（）＝0 可得 （）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．
再由 2•1+4+2×1×2cos7 可得||，
∴||cosα﹣1，解得cosα．
∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||，
故答案为．
【点睛】
本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.
13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．
【答案】3
【解析】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.
【详解】
设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x
∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），
因此AB•，
同理可得：AC•.
∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•
令t，得S.
∵t2，∴S△ABC.
当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.
解之得a＝3或a.
∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.
故答案为：3.

【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．
【答案】
【解析】计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.
【详解】
∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），
又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，
设R（r，0），则k，∴r＝t，
即R（t，0），PR＝t﹣（t），
又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，
导数S′，由S′＝0得t＝1，
当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，
∴△PRS的面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、解答题
15．在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．
【详解】
(1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，
所以
.
(2)因为 ，且 ，所以 ，
又 ，
则 ，
所以 .
16．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．

（1）求证：VA∥平面BDE；
（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.
（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.
【详解】
（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，
又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，
所以VA∥平面BDE；
（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，
所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．
【点睛】
本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（）．（3）存在，
【解析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.
（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.
（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案.
【详解】
（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．
（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，
整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，
l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．

（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
【答案】（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．
【解析】（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.
（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，
则，
化简得，解之得，或（舍），
（2）设BP＝t，则，
，
设，，
令f'（t）＝0，因为，得，
当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；
当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，
所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，
因为恒成立，所以f（t）＜0，
所以tan（α+β）＜0，，
因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．

【点睛】
本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】
（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得（n∈N），
又因为，所以数列{an}是等比数列，且；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，
满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
【点睛】
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
20．（本小题满分16分）已知函数，，且．
（1）当时，求函数的减区间；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．
【答案】（1）（2）详见解析（3）
【解析】试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以
试题解析：（1）减区间； 4分
（2）法1：， 6分

，， 8分
所以，方程有两个不相等的实数根； 10分
法2：， 6分
， 8分
是开口向上的二次函数，
所以，方程有两个不相等的实数根； 10分
（3）因为， 12分
， 14分
又在和增，在减，
所以． 16分
【考点】利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系
21．试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
【答案】y＝2sin2x．
【解析】计算MN，计算得到函数表达式.
【详解】
∵M，N，∴MN，
∴在矩阵MN变换下，→
∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．
【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.
22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．
（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．
【答案】（1）．x2+y2＝100．（2）16
【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.
（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.
【详解】
（1），即，即，
即.
，故.
（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.
（2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.
【详解】
（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），
解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），
设平面APC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，），
平面ADP的法向量（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos|，
解得，∴P（0，，），
∴PF的长度|PF|．

【点睛】
本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
24．
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
【答案】（1），ξ的分布列为
ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)




（2）
【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；
P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；
P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；
P(ξ＝3)＝·a2＝.
所以ξ的分布列为
ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)




ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.