2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（三） 数学（文）（解析版）

2020高考仿真模拟卷(三)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P＝{(x，y)|y＝k}，Q＝{(x，y)|y＝2x}，已知P∩Q＝∅，那么k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(1，＋∞)
答案　C
解析　由P∩Q＝∅可得，函数y＝2x的图象与直线y＝k无公共点，所以k∈(－∞，0]．
2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　(綈p)∨q为真命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；p∧(綈q)为假命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；所以“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件．
3．欧拉公式 eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知eai为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　eai＝cosa＋isina是纯虚数，所以cosa＝0，sina≠0，所以a＝kπ＋，k∈Z，所以2a＝2kπ＋π，k∈Z，sin2a＝0，所以＝＝＝＋i，在复平面内对应的点位于第一象限．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是(　　)

A．①② B．②④ C．②③ D．①④
答案　D
解析　从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况．
5．(2019·河南洛阳月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为(　　)

A．100 B．1000 C．90 D．900
答案　A
解析　由频率分布直方图可知，支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，∴n＝＝100.
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(　　)

A．1＋ B．1－
C．1－ D．1＋
答案　C
解析　s＝0，n＝1<5，且n＝1是奇数，则s＝0－sinπ＝0；n＝2<5，且n＝2不是奇数，则s＝0＋sin＝1；n＝3<5，且n＝3是奇数，则s＝1－sin＝1－；n＝4<5，且n＝4不是奇数，则s＝1－＋sin＝1－＋；n＝5时结束循环，输出的s＝1－＋＝1－.
7．已知sinα－cosα＝，则cos＋sin＝(　　)
A．0 B. C．－ D.
答案　C
解析　依题意，sin＝；因为－＝，故α＋＝＋，则cos＝cos＝－sin＝－；
而－＝π，故＝π＋，故sin＝－sin＝－，
故cos＋sin＝－.
8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PFK的面积为(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
答案　A
解析　由抛物线的方程y2＝4x，可得
F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1，
设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，
不妨设P(x0，y0)在第一象限，则P(4,4)，
所以S△PKF＝|FK|·|y0|＝×2×4＝4.
9．如图，△GCD为正三角形，AB为△GCD的中位线，AB＝3AE，BC＝3BF，O为DC的中点，则向量，夹角的余弦值为(　　)

A. B．－ C．－ D.
答案　B
解析　解法一：以O为坐标原点，DC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD的边长为4，则A(－1，)，E，

B(1，)，C(2,0)，F，
＝，＝，·＝－，||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－.
解法二：设△GCD的边长为4，连接OE，OA，如图，易得△ADO为正三角形，∠OAE＝60°，AO＝2，AE＝，由余弦定理得OE＝，同理得EF＝，OF＝，∴∠EFO＝60°，∴cos〈，〉＝cos120°＝－.


10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　C
解析　由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．
11．已知点P为双曲线－＝1(a>b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S△IPF1－S△IPF2≥S△IF1F2成立，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(1,2) C．(0,3] D．(1,3]
答案　D
解析　设△PF1F2的内切圆的半径为r，

由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，
S△IF1F2＝·2c·r＝cr，
由题意，得|PF1|·r－|PF2|·r≥cr，
故c≤(|PF1|－|PF2|)＝3a，
故e＝≤3，又e>1，
所以双曲线的离心率取值范围是(1,3]．
12．已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若对任意给定的m∈[0,2]，关于x的方程f(x)＝g(m)在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B.
C．(0,1)∪{－1} D．(－1,0)∪
答案　B
解析　f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)，
①当a＝0时，f(x)＝1，g(x)＝，
显然不可能满足题意；
②当a>0时，f′(x)＝6ax(x－1)，
x，f′(x)，f(x)的变化如下：

又因为当a>0时，g(x)＝－x＋是减函数，
对任意m∈[0,2]，g(m)∈，
由题意，必有g(m)max≤f(x)max，且g(m)min>f(0)，
故解得≤a＜1；
③当a<0时，g(x)＝－x＋是增函数，不符合题意．
综上，a∈.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为________．

答案　50 m
解析　根据三角形内角和为180°，所以∠BAC＝30°，
由正弦定理＝，得＝.
解得AB＝50 m.
14．已知实数x，y满足约束条件则sin(x＋y)的取值范围为________(用区间表示)．
答案　
解析　作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)．

设z＝x＋y，作出直线l：x＋y＝z，当直线l过点B时，z取得最小值；当直线l过点A时，z取得最大值，所以≤x＋y≤，所以sin(x＋y)∈.
15．已知14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半)．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间， k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年．(已知log20.767≈－0.4)
答案　2292
解析　由b＝ae－kx及题意，得＝e－5730k，
两边取2为底的对数可得，
－1＝－5730klog2e，①
又0.767＝e－kx，
两边取2为底的对数可得，
log20.767＝－kxlog2e，②
②÷①可得0.4≈，即x≈2292.
16．(2019·广东湛江测试二)圆锥 Ω的底面半径为2，母线长为4，正四棱柱ABCD－A′B′C′D′的上底面的顶点A′，B′，C′，D′均在圆锥 Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥 Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为________．
答案　
解析　设正四棱柱的底面边长为x，棱柱的高为h，根据相似性可得＝，

解得h＝(其中0＜x＜2)．所以此正四棱柱的体积为V＝x2h＝x2·，
V′＝，令V′＝0，解得x＝，易得V＝x2·在上单调递增，在上单调递减，所以此正四棱柱体积的最大值为2×＝.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(2019·四川教考联盟第三次诊断) (本小题满分12分)槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．

(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
(2)从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a，从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b，求a≥b的概率．
解　(1)A班样本数据的平均数为×(9＋11＋14＋20＋31)＝17.由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17； 2分
B班样本数据的平均数为×(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗．故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. 5分
(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21. 6分
从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21). 9分
其中a≥b的情况有(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，
故a≥b的概率P＝＝. 12分
18．(本小题满分12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若数列{logan}是公差为－1的等差数列，且a2＋2是a1，a3的等差中项．
(1)证明：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn是数列的前n项和，且Tn 解　(1)证明：依题意，logan＋1－logan＝－1，
故log＝－1，故＝3； 2分
故数列{an}是公比为3的等比数列．
因为2(a2＋2)＝a1＋a3，故2(3a1＋2)＝a1＋9a1， 4分
解得a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. 6分
(2)依题意，＝，故数列是以1为首项，
为公比的等比数列， 8分
故Tn＝＋＋＋…＋＝1＋＋…＋＝＝<， 10分
故M≥，即实数M的取值范围为. 12分
19．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在梯形ABCD中(图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，且AE＝2DE，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得CF⊥FE，且DE∥CF，得空间几何体ADE－BCF(图2)．直线AC与平面ABFE所成角的正切值是.

(1)求证：BE∥平面ACD；
(2)求多面体ADE－BCF的体积．
解　(1)证明：如图，设BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，
因为四边形ABFE为矩形，则OH是△AFC的中位线，所以OH∥CF且OH＝CF， 2分

设DE＝x，则AE＝2x，CF＝3－x，
因为直线AC与平面ABFE所成角的正切值是，所以tan∠CAF＝＝＝，
解得x＝1，
所以DE＝1，AE＝2，CF＝2.因为DE∥CF且DE＝CF，所以DE∥OH且DE＝OH，所以四边形DEOH为平行四边形，DH∥EO，又因为EO⊂平面ABFE，DH⊄平面ABFE，DH⊂平面ACD，所以EO∥平面ACD，即BE∥平面ACD. 5分
(2)由已知CF⊥FE，CF⊥BF，EF∩BF＝F，得CF⊥平面BEF，又CF⊂平面CDEF，所以平面CDEF⊥平面BEF，又AE⊥EF，所以AE⊥平面CDEF， 7分
由(1)知DE＝1，AE＝2，CF＝2，
所以S矩形ABFE＝4，S△CDE＝×1×2＝1， 10分
则VADE－BCF＝VC－ABFE＋VA－CDE＝×4×2＋×2×1＝. 12分
20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a－1)ln x－－x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为－2，求实数a的值．
解　(1)因为a＝2时，f(x)＝ln x－－x，
所以f′(x)＝＋－1，
又f(2)＝ln 2－3，f′(2)＝0，
所以所求切线方程为y＝ln 2－3. 4分
(2)因为f′(x)＝(1≤x≤3)， 5分
当a≤1时，f′(x)＜0，f(x)在[1,3]上单调递减，
此时f(x)max＝f(1)＝－a－1＝－2，a＝1， 7分
当a≥3时，f′(x)＞0，f(x)在[1,3]上单调递增，
此时f(x)max＝f(3)＝aln 3－ln 3－－3＝－2，
a＝(舍去)； 9分
当1＜a＜3时，f(x)在(1，a)上单调递增，在(a,3)上单调递减，
此时f(x)max＝f(a)＝aln a－ln a－1－a＝－2，a＝e.
综上a＝1或a＝e. 12分
21．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)如图所示，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为3，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形MB2NB1的面积的最大值．
解　(1)∵e＝，∴a＝c，
又a2＝b2＋c2＝(3)2，∴a2＝18，b2＝9，
∴椭圆C的方程为＋＝1. 4分
(2)解法一：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)，
∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，B1(0，－3)，B2(0,3)，
∴直线NB1：y＋3＝－x，　①
直线NB2：y－3＝－x, ② 6分
由①②解得x＝，又＋＝1，∴x＝－，
则四边形MB2NB1的面积
S＝|B1B2|·(|x|＋|x0|)＝×6×＝3×|x0|， 9分
∵0＜x≤18，∴当x＝18时，S的最大值为3××3＝. 12分
解法二：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，
则直线NB1：y＝－x－3, ①
则直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为， 6分
则直线MB2的斜率kMB2＝＝－，
∴直线NB2：y＝2kx＋3. ②
由①②解得xN＝－， 9分
则四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|·(|xM|＋|xN|)＝×6×＝＝≤，
当且仅当|k|＝时，S取得最大值. 12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ＝.
(1)试判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)若直线θ＝(ρ∈R)与直线l交于点A，与曲线C交于M，N两点，求|AM|·|AN|的值．
解　(1)曲线C的普通方程为x2＋(y－)2＝7，圆心C(0，)，
半径r＝， 2分
直线l的普通方程为x＋y－2＝0， 3分
∵圆心C到直线l的距离
d＝＝ ∴直线l与圆C相交.5分
(2)曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－4＝0，
将θ＝代入ρ＝，得ρ＝1， 7分
将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0，则ρ1＝4，
ρ2＝－1. 8分
∴|AM|＝ρ1－ρ＝3，|AN|＝ρ－ρ2＝2， 9分
∴|AM|·|AN|＝3×2＝6.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝ln (|x－2|＋|ax－a|)(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
(2)若∀x∈R，都有f(x)＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln (|x－2|＋|x－1|)，
∵|x－2|＋|x－1|≥|(x－2)－(x－1)|＝1， 3分
∴ln (|x－2|＋|x－1|)≥ln 1＝0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞). 5分
(2)由f(x)＋1≥0，即ln (|x－2|＋|ax－a|)≥－1，得|x－2|＋|ax－a|≥，
令g(x)＝|x－2|＋|ax－a|，
则函数g(x)的最小值g(x)min＝{g(1)，g(2)}min， 7分
∴只需满足 9分
解得a≤－或a≥，故实数a的取值范围是∪. 10分