2020届全国大联考高三第三次联考数学试题（解析版）
展开2020届全国大联考高三第三次联考数学试题
一、单选题
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据集合交集的定义，结合数轴进行求解即可.
【详解】
因为,，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．在等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题，得，解方程组即可得到本题答案.
【详解】
在等差数列中，设公差为d，
由，得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用等差数列的通项公式，求公差d，属基础题.
3．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.
【详解】
由在区间是单调增函数，得，
又因为，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键.
4．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用不等式的基本性质及特殊值，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，故A选项错误；
令，有，故B，C选项错误；
因为，所以，则有，故D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查利用不等式的基本性质及特殊值判断大小关系，考查推理能力，属于基础题.
5．已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得等比数列的首项和公比，进而可求得数列的首项和公比，然后套用等比数列的求和公式，即可得到本题答案.
【详解】
设数列的公比为，由题知，，解得，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，考查计算能力，属于基础题.
6．若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，且，又由，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为，即，
所以，，等式两边同时除以得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（ ）
A．1347 B．1348 C．1349 D．1346
【答案】A
【解析】由题，得数列是周期为3的周期数列，前三项和为，又，由此即可得到本题答案.
【详解】
由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列是周期为3的周期数列，前三项和为，又因为，所以数列的前2020项的和为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用数列的周期性求和，考查学生的推理分析能力.
8．若数列的前项和为，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；由，，得①，同理可得②，综合①，②，得，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若，所以当时，，
所以，化简得①，
所以当时，②，
①②得，所以，即数列是等差数列，充分性得证，所以“”是“数列是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
9．在中，，点为的中点，过点作交所在的直线于点，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】由， ，得，然后套用公式向量在向量方向上的投影，即可得到本题答案.
【详解】
因为点为的中点，所以，
又因为，
所以，
所以向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
10．已知数列的前项和为，且，若，则取最大值时，的值为（ ）
A．14 B．12 C．15 D．13
【答案】D
【解析】对递推关系式再递推一步，得到一个新的递推关系式，两个递推关系式再相减，得到
，结合已知，结合不等式的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以当时，，两式相减得，当时，，又因为，所以，所以，且，又因为当时，，所以，所以取最大值时，的值为13.
故选：D
【点睛】
本题考查数列的最值.考查了递推关系的应用，考查了数学运算能力.
11．已知函数图象与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得，，由已知函数的图象与直线相交，得，解得，…，由此即可得到本题答案.
【详解】
，
因为函数图象与直线相交，所以，解得，…，
由此可知.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
12．数列满足，且对任意的，有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】
因为，
所以
.
故选：C
【点睛】
本题考查等比数列前项和公式，考查了累和法的应用，考查了数学运算能力.
二、填空题
13．不等式的解集为________.
【答案】或
【解析】不等式的等价条件为，解不等式组的解，即可得到本题答案.
【详解】
不等式的等价条件为，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查分式不等式的求法，转化为求一元二次不等式是解决此题的关键.
14．若满足约束条件，则的最大值为____________.
【答案】3
【解析】在直角坐标系内画出约束条件表示的可行域，根据的几何意义进行求解即可.
【详解】
由满足约束条件，画出可行域，如图所示，表示可行域内的点与原点的斜率，由图知，，的最小值为直线的斜率，易求点，所以的最小值为，故的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查了直线斜率模型的应用，考查了数学运算能力.
15．已知数列满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由，得，所以，通过解不等式，即可得到本题答案.
【详解】
由，整理得，
等式两边同时除以得，
所以为等差数列，且首项为-5，公差为1，所以，
所以，
所以，解得，则实数的取值范围.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了转化和化归的数学思想.
16．已知定义在上函数满足，且当时，恒成立，则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】根据所求不等式的形式，结合，构造函数，结合判断该函数的单调性和奇偶性，利用的单调性和奇偶性进行求解即可.
【详解】
因为，所以，令，则函数为偶函数，因为，且当时，，所以当，时，，故函数在区间上单调递增，在区间上单递减，因为
，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用构造新函数法，利用新函数的单调性和奇偶性解不等式问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.
三、解答题
17．已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求集合；
（2）当且时，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）利用穿根法，即可得到的解集；
（2）由，得，又由，得，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】
（1）当时，，
所以或；
（2）因为，所以，得或，
又因为，所以不成立，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列为常数列.
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，得，即，又由，即可得到本题答案；
（2）由（1）得，，即可得到本题答案.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，由①，得②，
①-②得，，
所以，因为，所以，所以，故数列为常数列；
（2）由（1）知，，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在中，角所对的边分别为，且.
（1）判断的形状；
（2）若，的周长为16，求外接圆的面积.
【答案】（1）等腰三角形；（2）
【解析】（1）结合诱导公式及和差公式化简，即可得到本题答案；
（2）由，得，结合的周长为16，可求得，又由，求得，然后根据，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
所以，即，
又因为为的内角，
所以，即为等腰三角形；
（2）由（1）知，，解得，
又因为，解得，
因为，所以，
设外接圆的半径为，所以，解得，
故外接圆的面积为.
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式及和差公式恒等变形判断三角形的形状，以及利用余弦定理解三角形.
20．某工厂生产甲、乙两种产品均需用三种原料，一件甲产品需要原料，原料，原料，一件乙产品需要原料，原料，原料，出售一件甲产品可获利7万元，出售一件乙产品可获利6万元，现有原料，原料，原料，请问该如何安排生产可使得利润最大？
【答案】生产3件甲产品，4件乙产品
【解析】设生产甲产品件，生产乙产品件，可获得的利润为万元，根据题意列出可行解域，然后运用线性规划的知识进行求解即可.
【详解】
设生产甲产品件，生产乙产品件，可获得的利润为万元，由题知，，且满足以下条件
，即
做出可行域如图所示，作直线，
平移直线至，当直线经过点时，可使达到最大值，由，解得，
即点的坐标为，此时，所以生产3件甲产品，4件乙产品，可获得最大利润，且最大利润为45万元.
【点睛】
本题考查线性规划的实际应用，根据题意列出约束条件是解题的关键，考查了数学运算能力.
21．设数列的前项和为，已知.
（1）令，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：.
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）①；②存在，
【解析】（1）由题，得，即可得到本题答案；
（2）①由，得，所以，恒等变形得，，由此即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得的前n项和，然后通过求的解，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，所以，即，
又因为，所以，即，
所以数列是以2为公比和首项的等比数列，所以；
（2）①由（1）知，，当时，，
又因为也满足上式，所以数列的通项公式为，
因为，所以，所以，
即，
因为，所以数列是以1为首项和公差的等差数列，所以，
故；
②设，则，
所以，
两式相减得，
所以，
∵，∴，
即：，即.
令，则，即，
所以，数列单调递减，
，因此，存在唯一正整数，使得成立.
【点睛】
本题主要考查通过构造法求数列的通项公式，以及利用错位相减法求和，考查学生的转化能力和运算能力，属于中等题.
22．已知函数
（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）若的最大值为2，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）求出函数的导数，问题转化为，设，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出的单调区间，得到，求出a的值即可.
详解：（1）若在上是减函数，
则在恒成立，
，
∴，设，
则，
∵，∴递增，
又，故.
（2）由，要使，
故的递减区间是，递增区间是，
∴，即，
∴.
点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
