2020届全国Ⅰ卷高三高频错题模拟卷数学（理）
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数学（理）
满分：150分 时间：120分钟
姓名： 班级： 考号：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分)
1．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5556】
已知集合A＝{x｜x2＋2x－15≤0}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈N}，则A∩B＝( )
A．{－1，1，3} B．{－1，1}
C．{－5，－3，－1，1，3} D．{－3，－1，1}
2．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.5556】
已知复数满足，则( )
A． B． C． D．
3．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.3889】
已知向量，问量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为( )
A． B． C． D．
4．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2778】
已知等差数列的前n项和为，，，，则( )
A．14 B．15 C．16 D．17
5．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2501】
已知函数(e为自然对数的底数)，若，，，则( )
A． B．
C． D．
6．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.6667】
已知函数(＞0)在［－，］上单调递增，则的取值范围是( )
A．［，2］ B．(0，］ C．［，1］ D．(0，2］
7．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6296】
已知是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0］上是增函数.设
c=，则a ，b，c的大小关系是( )
A.c<b< a B. a <b<c C a <c<.b D.c< a <b
8．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.4632】
在平面五边形中，∠=60°==6⊥⊥且==6.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为120°，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积为( )
A.84π B.84π C.252π D.126π
9．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5185】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝(a，cosB)，＝(cosA，－b)，若⊥，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.3333】
已知与的图像至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.1944】
平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点，且，，则的值为( )
A． B． C． D．
12．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.0556】
关于函数有下述四个结论：
① 在单调递增 ②的图像关于直线对称
③的图像关于点对称 ④的值域为R
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4题，每小题5分，共20分)
13．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.5833】
曲线在点处的切线方程为___________．
14．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1944】
是等比数列的前n项和，，，则____________．
15．【2019年江西省名校试题】【年级得分率：0.5830】
函数，且对任意实数x都有，则________．
16．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.3704】
规定［t］为不超过t的最大整数，如［3．1］＝3，［－2．9］＝－3．若函数f(x)＝［x］2－［x］(x∈R)，则方程f2(x)－f(x)＝2的解集是__________．
三、解答题(第17题10分，第18-22题每题12分，共70分)
17．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.5278】
已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，且c＝2，a 2＋b2－4＝a b．
(1)求角C；
(2)若sin2B－sin2A＝sinC(2sin2A－sinC)，求△ABC的面积．
18．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.1111】
已知数列{}满足＝0，＝1，＝(，λ∈R)．
(1)若＝＋，试问是否存在实数λ，使得数列{}是等比数列?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2)在(1)的条件下，求数列{}的通项公式．
19．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.4969】
如图，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC＝4，点E为AD的中点，以BE为边作正方形BEFG，且平面BEFG⊥平面ABCD．
(1)证明：平面ACF⊥平面BEFG．
(2)求二面角A－BF－D的正弦值．
20．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.4198】
某市交通局为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的措施，将市区公交站点的重新布局和建设作为重点项目．市交通局根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该方案进行调查，并根据调查结果决定是否启用该方案．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该方案进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，低于60分认为不满意，不低于60分认定为满意(其中［60，70)内认定为基本满意，［70，80)内认定为满意，不低于80分认定为非常满意)；③市民对公交站点布局的满意率不低于70％即可启用该方案；④用样本的频率代替概率．
(1)从该市100万市民中随机抽取4人，求至少有3人满意该方案的概率，并根据所学统计学知识判断该市是否可启用该方案，说明理由．
(2)现采用分层抽样从评分在［50，60)与［80，90)内的市民中共抽取7人，并从中抽取3人担任群众督查员，记X为群众督查员中评定为满意的人数，求随机变量X的分布列及其数学期望EX．
21．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.3272】
已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到直线y＝2的最长距离为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)过点Q(2，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在点P，使直线PA与直线PB的斜率之和是直线PQ的斜率的2倍?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.4037】
已知函数＝．
(1)求的极值；
(2)若＝＝，且，证明：
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】B.
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】A
12．【答案】D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】[-1.0）[2.3）
17．【答案】（1）；（2）
18．【答案】（1）存在，=-；（2）
【解析】（1）由= ，得=（+1）（）-（，
因为，所以=（+1）-（
要使数列{}是等比数列，需使-（=0对任意nN恒成立，
所以-（=0.解得=-
此时.且首项=0+1=1
所以存在=-，使得数列{}是首项为1.公比为的等比数列
（2）由（1）知，=1，
所以=2
令，得=2，即，
所以，=-2()
因为，所以=2=-，
所以数列{}是以为首项，-2为公比的等比数列；
所以.
即2"
所以
即
19．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为点E为AD的中点AD=2BC，所以AE=BC，因为AD//BC，所AE∥BC，所以四边形ABCE是平行四边形．因为AB=BC，
所以平行四边形ABCE是菱形，所以.
因为平面BEFG平面ABCD，
且平面BEFG平面ABCD=BE.
所以AC平面BEFG，因为AC平面ACF，
所以平面ACF平面BEFG.
（2）记AC，BE的交点为,再取的中点.由题意可知两两垂直，故以为坐标原点，以射线分别为轴、轴、轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是等腰梯形，，所以四边形ABCE是菱形，且，所以
则.
设平面的法向量为，
则不妨取，则.
设平面的法向量为，
则不妨取，则
故记二面角的大小为，
故
20．【答案】（1）启用该方案，见解析；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由题意可得被调查者不满意的频率是，则满意的频率为，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人满意该方案的概率为，记事件为“抽取的4人至少有3人满意该方案”，
则
分角度1：根据题意，60分或以上被认定为满意，在频率分布直方图中.
评分在[60，100]的频率为，
故根据相关规则该市应启用该方案.
角度2：由平均分为，故根据相关规则该市应启用该方案.
（2）因为评分在[50，60）与评分在[80，90）的频率之比为3：4.所以从评分在[50，60）内的市民中抽取3人．
评分在[80，90）内的市民中抽取4人，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
则的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望
21．【答案】（1）；（2）存在，点
【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为，
由题意可得解得，
故椭园的方程为
（2）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则.联立整理得则故整理得
因为，所以
整理得，即，解得
(ii)当直线l的斜率不存在时，经检验也满足条件,故存在点，
使得
22．【答案】（1）的极大值为的极小值为；（2）见解析
【解析】（1）因为，所以
所以当时，；当时，，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为
故的极大值为的极小值为
（2）证明：由（1）知设函数
则在上恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
因为所以
因为，且在上单调递减，所以，即①
设函数
则在上恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立.
因为，所以
因为，且在上单调递增，
所以，即②
结合①②，可得
