2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试（四）试题（解析版）

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试（四）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

∵，

集合，

∴由交集运算可得.

故选：A.

【点睛】

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

2．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

在复平面内对应的点的坐标为，则，

，

∵，

代入可得，

解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.

3．已知，，若，则实数的值是（　　）

A．-1 B．7 C．1 D．1或7

【答案】C

【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

.

∴解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.

【详解】

∵当函数为幂函数时，，

解得或，

∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.

5．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.

【详解】

∵

所以展开式中的系数为，

∴解得.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

6．函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

∵，

，

∴函数为奇函数，

∴排除选项A，B；

又∵当时，，

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.

【详解】

如下图所示，平面，从而平面，

易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，

∴，

∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，

∴，

∴结合四个选项可知，只有正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.

8．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.

【详解】

函数，，

由题意得，

即，

令，

∴，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，而，

当且仅当，即当时，等号成立，

∴，

∴.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

二、多选题

9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

B．支出最高值与支出最低值的比是

C．第三季度平均收入为5000元

D．利润最高的月份是3月份和10月份

【答案】ACD

【解析】根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A；由折线图得最高值与最低值即可判断B；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D.

【详解】

对于A选项，4至5月份的收入的变化率为，11至12月份的变化率为，因而两个变化率相同，所以A项正确.

对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B项错误.

对于C选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为百元，故C选项正确.

对于D选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D项正确.

综上可知，正确的为ACD，

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了折线图的简单应用，数据分析处理的简单应用，属于基础题.

10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（    ）

A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里

C．两焦点坐标约为 D．离心率约为

【答案】AD

【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.

【详解】

设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.

依题意可得月球半径约为，

，

，

，，，

椭圆的离心率约为，

可得结论A、D项正确，B项错误；

因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.

综上可知，正确的为AD，

故选：AD.

【点睛】

本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.

11．如图，已知正方体的棱长为2，为棱的中点，为棱上的点，且满足，点为过三点的平面与正方体的棱的交点，则下列说法正确的是（　　）

A． B．三棱锥的体积为6

C．直线与平面的夹角是45° D．

【答案】AD

【解析】根据面面平行的性质，可判断A；由所给线段关系，结合三棱锥体积公式即可求得即可判断B；根据线面平行关系，可知直线与平面所成的角为，利用即可判断C；根据线段关系分别求得，，即可判断D.

【详解】

对于A选项，由于平面平面，而平面与这两个平面分别交于和，根据面面平行的性质定理可知，故A选项判断正确；

由于，而是的中点，故，，，，.对于B选项，，故B选项判断错误；

对于C选项，由于平面，所以直线与平面所成的角为，且，故C选项判断错误；

对于D选项，根据前面计算的结果可知，，故D选项判断正确.

综上可知，正确的为AD，

故选：AD.

【点睛】

本题考查了空间几何体中面面平行性质的应用，由面面平行判定线线平行，线面夹角的求法，三棱锥体积公式的应用，属于中档题.

12．已知函数的一条对称轴为，函数在区间上具有单调性，且，则下述四个结论正确的是（　　）

A．实数的值为1

B．和两点关于函数图象的一条对称轴对称

C．的最大值为

D．的最小值为

【答案】ACD

【解析】根据函数关于对称，可得，利用特殊值，代入即可求得的值；由辅助角公式化简三角函数式，即可由在区间上具有单调性确定周期最大值；由结合函数的对称性即可判断B，并由对称性判断的最值即可判断D.

【详解】

∵是函数的一条对称轴，

∴，

令，得，即，解得，

∴将代入可得，

又∵函数在区间上具有单调性，

∴的最大值为，

且，

∴和两点关于函数图象的一条对称轴对称，

∴（）

∴（），当时，的最小值为.

∴A，C，D项正确，B项错误.

综上可知，正确的为ACD，

故选：ACD.

【点睛】

本题考查了三角函数性质的综合应用，由对称轴求参数，辅助角公式化简三角函数式的应用，属于中档题.

三、填空题

13．若函数，则__________；__________.

【答案】0    1   

【解析】根据分段函数解析式，代入即可求解.

【详解】

函数，

所以，

.

故答案为：0；1.

【点睛】

本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.

14．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.

【答案】60

【解析】根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，

则三组抽取人数分别.

设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，

∴解得.

∴该部门员工总共有人.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________.

【答案】

【解析】根据双曲线方程，设及，将代入双曲线方程并化简可得，由题意的最小值为，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得的值，进而求得离心率即可.

【详解】

设点，，

则，即，

∵，，

，

当时，等号成立，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.

16．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.

【答案】

【解析】根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.

【详解】

由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，

设的中点分别为，

连接，

则，.

因为平面平面，平面平面，

所以平面，平面，

易得，

则几何体的外接球的球心为，半径，

所以几何体的外接球的体积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.

设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？

【答案】见解析

【解析】根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.

【详解】

∵在等差数列中，，

∴，

∴公差，

∴，

∴，

若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，

若选①，∵，

∴，

∴，

∴，

∴当时，满足成立.

若选②，∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程无正整数解，

∴不存在正整数使得成立.

若选③，∵，

∴，

∴，

∴，

∴解得或（舍去），

∴，

∴当时，满足成立.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.

18．已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.

（1）求的值；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；

（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.

【详解】

（1）由，得，

由正弦定理将边化为角可得，

∵，

∴，

∴，化简可得，

∴解得.

（2）∵在中，，

∴，

∴，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.

19．在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明，进而由线面垂直的判定定理证明平面.

（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角的大小.

【详解】

（1）证明：∵平面平面ABEG，且，

∴平面，

∴，

由题意可得，

∴，

∵，且，

∴平面.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.

设平面的法向量是，

则，

令，，

由（1）可知平面的法向量是，

∴，

由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.

20．在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；

（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.

【详解】

（1）设点，

∵点到直线的距离等于，

∴，化简得，

∴动点的轨迹的方程为.

（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，

设点，过点的拋物线的切线方程为，

联立，化简可得，

∴，即，

∴，.

由，求得导函数，

∴，，，

∴，

因为点满足，

由圆的性质可得，

∴，即直线斜率的取值范围为.

【点睛】

本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.

21．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；

（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，

（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）

【答案】（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析

【解析】（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；

（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率；

（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.

【详解】

（1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.

根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为，

∵，

∴估计为0.4.

（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”，

设事件，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”，

则，

所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.

（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，

方案的日工资，

方案的日工资，

所以随机变量的分布列为

；

同理，随机变量的分布列为

.

∵，

∴建议骑手应选择方案.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.

22．已知函数，.

（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；

（2）求证：（，且）.

【答案】（1）1；（2）见解析

【解析】（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；

（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.

【详解】

（1）∵函数在上单调递减，

∴，即在上恒成立，

∴，

又∵函数在上单调递增，

∴，即在上恒成立，，

∴综上可知，.

（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，

在上为增函数，而，

∴当时，，当时，.

∴

∴

即，

∴.

【点睛】

本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.