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    2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次适应性数学(理)试题(解析版)

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    2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次适应性数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则(   )

    A B C D

    【答案】D

    【解析】.

     故选D.

    2.下列命题中正确的是( )

    A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题

    B“x5”“x24x50”的充分不必要条件

    C命题x<1,则x22x3>0”的否定为:x≥1,则x22x3≤0”

    D已知命题p∃x∈Rx2x1<0,则p∃x∈Rx2x1≥0

    【答案】B

    【解析】A中,pq为真命题时,pq都为真命题或pq一真一假,判断A错误;

    B中,x5x2﹣4x﹣50,判断充分性成立,x2﹣4x﹣50x5x﹣1,判断必要性不成立,B正确;

    C中,根据命题pq的否命题为若¬p则¬q,判断C错误;

    D中,根据特称命题的否定是全称命题,判断D错误.

    【详解】

    解:对于A,若pq为真命题,则pq都为真命题或pq一真一假,

    pq不一定为真命题,A错误;

    对于Bx5时,x2﹣4x﹣525﹣20﹣50,充分性成立,

    x2﹣4x﹣50时,x5x﹣1,必要性不成立,

    ∴“x5”x2﹣4x﹣50”的充分不必要条件,B正确;

    对于C,命题x﹣1,则x2﹣2x﹣30”的否命题为:

    x≥﹣1,则x2﹣2x﹣3≤0”C错误;

    对于D,命题px∈Rx2+x﹣10

    则¬px∈Rx2+x﹣1≥0D错误.

    故选B

    【点睛】

    本题考查了命题真假的判断问题,也考查了四种命题的应用问题,是基础题目.

    3.下列函数中,在区间上为减函数的是

    A B C D

    【答案】D

    【解析】试题分析:在区间上为增函数;在区间上先增后减;在区间上为增函数;在区间上为减函数,选D.

    【考点】函数增减性

     

    4.函数( )

    A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数

    C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的偶函数

    【答案】B

    【解析】根据正切函数的奇偶性判断函数是奇函数,再由周期公式求出最小正周期,即可得到结论

    【详解】

    该函数为奇函数

    其最小正周期为

    故选

    【点睛】

    本题主要考查了正切函数的相关知识,解题的关键是要熟练掌握正切函数的性质,属于基础题.

    5.设,角的终边上一点为,那么值等于(   )

    A B C D

    【答案】A

    【解析】【详解】

    由题设可知,应选答案A

    6.已知,且为奇函数,若,则  

    A0                       B-3                        C1                        D3

    【答案】C

    【解析】试题分析:为奇函数,,故选:C

    【考点】函数的奇偶性.

    7.已知,则tan﹣α)=(   

    A﹣2 B2 C D

    【答案】A

    【解析】根据,利用诱导公式化简求解.

    【详解】

    因为

    所以

    所以

    所以.

    故选:A

    【点睛】

    本题主要考查了诱导公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.

    8.函数的大致图象为(   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】根据图象特征,研究其单调性排除部分选项,再根据选项间的区别,利用特殊值确定.

    【详解】

    时,是增函数,

    所以是减函数,排除BD

    又因为当时,,排除C

    故选:A

    【点睛】

    本题主要考查了函数的图象,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.

    9.已知,则 

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故选B.

    10.将函数fx)=2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数Fx)的图象,则下列说法中正确的是(   

    AFx)是奇函数,最小值是﹣2

    BFx)是偶函数,最小值是﹣2

    CFx)是奇函数,最小值是

    DFx)是偶函数,最小值是

    【答案】A

    【解析】利用平移变换得到,再研究其性质.

    【详解】

    根据题意,将函数fx)=2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数.

    因为,所以是奇函数,易知最小值是-2.

    故选:A

    【点睛】

    本题主要考查了三角函数的图象变换和性质,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.

    11.设,则    

    A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数

    C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数

    【答案】B

    【解析】试题分析:函数的定义域为,关于原点对称,

    ,因此函数是奇函数,不恒等于0,函数是增函数,故答案为B

    【考点】函数的奇偶性和单调性.

     

    12.已知函数fx)是定义在R上的奇函数,其导函数为,若对任意的正实数x,都有x+2fx)>0恒成立,且,则使x2fx)<2成立的实数x的集合为(   

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】根据x+2fx)>0的特征,构造,研究其单性,又,得到,将x2fx)<2,转化为,利用单调性定义求解.

    【详解】

    所以

    因为 ,都有x+2fx)>0恒成立,

    所以

    所以上是增函数,

    又因为函数fx)是定义在R上的奇函数

    所以也是定义在R上的奇函数

    所以上是增函数,

    又因为函数fx)是定义在R上,其导函数为

    所以函数fx)是连续函数

    所以R上是增函数,

    又因为

    所以

    又因为 x2fx)<2

    .

    所以

    故选:C

    【点睛】

    本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性,还考查了转化的思想和运算求解的能力,属于中档题.

     

     

    二、填空题

    13.命题“∃x0R3”的否定是_____.

    【答案】

    【解析】根据命题的否定的定义求解,注意既要否定结论,也要转化量词.

    【详解】

    因为特称命题的否定是全称命题,

    所以命题“∃x0R3”的否定是:“∀xR2x≤3”.

    故答案为:

    【点睛】

    本题主要考查了命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.

    14.已知幂函数为偶函数,且在区间上是单调增函数,则的值为_________

    【答案】

    【解析】试题分析:因为幂函数在区间上是单调增函数,所以,解得:,因为,所以.因为幂函数为偶函数,所以是偶数,当时,,不符合,舍去;当时,;当时,,不符合,舍去.所以,故

    【考点】1、幂函数的性质;2、函数值.

    15.已知奇函数是定义在上的减函数,,则实数的取值范围为___________

    【答案】

    【解析】由已知中奇函数是定义在上的减函数,我们可以将不等式,转化为一个关于m的不等式组,解不等式组,即可得到实数m的取值范围.

    【详解】

    因为奇函数是定义在上的减函数,
    所以不等式可转化为:

    解得:
    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用,其中根据函数的性质将不等式转化为关于m的一次不等式组,是解答的关键,但本题易忽略定义域,而错角为.

    16.设函数fx)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有fx+1)=fx﹣1),已知当x∈[01]时,fx)=(1﹣x,则

    ①2是函数fx)的一个周期;

    函数fx)在(12)上是减函数,在(23)上是增函数;

    函数fx)的最大值是1,最小值是0

    x1是函数fx)的一个对称轴;

    x34)时,fx)=(x﹣3.

    其中所有正确命题的序号是_____.

    【答案】①②④⑤

    【解析】根据fx+1)=fx﹣1),变形为fx+2)=fx),再利用周期的定义判断.②易知,当x∈[01]时,fx)=(1﹣x,是增函数,再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据的结论判断.④根据的结论判断.⑤x34)时,则有4﹣x=(01),再利用周期性和奇偶性再求解.

    【详解】

    fx+1)=fx﹣1),fx+2)=f[x+1+1]f[x+1﹣1]fx),即2是函数fx)的一个周期,故正确;

    x∈[01]时,fx)=(1﹣x为增函数,因为函数fx)是定义在R上的偶函数,所以当x∈[﹣10]时,fx)为减函数,

    再由函数的周期为2,可得(12)上是减函数,在(23)上是增函数,故正确;

    得:当x2kkZ时,函数取最小值,当x2k+1kZ时,函数取最大值1,故错误;

    和函数是偶函数得xkkZ均为函数图象的对称轴,故正确;

    x34),则4﹣x01),所以f4﹣x)=fx)=fx)=(1﹣4﹣x=(x﹣3,故正确

    故答案为:①②④⑤

    【点睛】

    本题主要考查了函数的基本性质,还考查了数形结合,转化化归的思想和理解辨析的能力,属于中档题.

     

    三、解答题

    17.已知cosθ,求的值

    【答案】8

    【解析】利用诱导公式化简求解.

    【详解】

    cosθ)=sinθ

    sinθ

    =

    8.

    【点睛】

    本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

    18.已知命题p“∀x∈[12] x2lnxa≥0”与命题q“∃x∈Rx22ax86a0”都是真命题,求实数a的取值范围.

    【答案】 (,-4]∪[2]

    【解析】根据题意,命题p,利用恒成立问题方法转化,求出a的取值范围;

    命题q,由一元二次方程的根的情况分析可得a的取值范围,根据pq都是真命题,将两次求出的a的范围求交集即可.

    【详解】

    命题pa≤x2lnxx∈[12]上恒成立,令f(x)x2lnxf ′(x)x-

    1<x<2时,f′(x)>0∴f(x)minf(1).∴a≤. 即:当a≤时,p是真命题.

    命题qΔ4a24(86a)≥0∴a≥2a≤4.即当 a≥2a≤4时,q是真命题,

    综上,a的取值范围为(,-4]∪[2]

    【点睛】

    以命题的真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题化简,判断每个简单命题为真()时,参数的取值范围,再根据题意,求解集的交、并、补即可.

    19.已知曲线fx)=alnx+bx+1在点(1f1))处的切线斜率为﹣2,且是函数yfx)的极值点,求ab的值

    【答案】10

    【解析】先求导,根据曲线在点(1f1))处的切线斜率为﹣2,有f1)=a+b﹣2,又xyfx)的极值点,得到fa+b0,两式联立求解.

    【详解】

    fx)=alnx+bx+1

    fxb

    曲线fx)=alnx+bx+1在点(1f1))处的切线斜率为﹣2

    f1)=a+b﹣2

    xyfx)的极值点,

    fa+b0

    ①②,解得a4b﹣6

    ab4+610

    ab的值为:10.

    【点睛】

    本题主要考查了导数的几何意义和极值点的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.

    20.设函数

    1)求函数fx)在x∈[﹣12]上的最大值和最小值;

    2)若对于任意x∈[﹣12]都有fx)<m成立,求实数m的取值范围.

    【答案】1)最大值为7,最小值为;(2

    【解析】1)函数求导得3x2x﹣2=(3x+2)(x﹣1),(xR),易知在区间(﹣1),(12)上,0,在区间(1)上,0,从而求得函数的极值,再计算给定区间的端点函数值,其中最大的为最大值;最小的为最小值.

    2)对于任意x∈[﹣12]都有fx)<m成立,只需要fxmaxm即可.

    【详解】

    1fx)=3x2x﹣2=(3x+2)(x﹣1),(xR),

    因为在区间(﹣1),(12)上,0

    所以fx)单调递增,

    因为在区间(1)上,0

    所以fx)单调递减,

    所以fx极大值ffx极小值f1

    又因为f﹣1f2)=7

    所以fx)在x∈[﹣12]上的最大值为7,最小值为.

    2)若对于任意x∈[﹣12]都有fx)<m成立,

    则只需要fxmaxm即可,

    由(1)知,fx)在x∈[﹣12]上的最大值为7

    所以m7.

    【点睛】

    本题主要考查了导数与函娄的极值,最值及其应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.

    21.已知函数的一段图像如图所示.

    1)求此函数的解析式;

    2)求此函数在上的单调递增区间.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)根据三角函数的图象求出Aωφ,即可确定函数的解析式;

    2)根据函数的表达式,即可求函数fx)的单调递增区间;

    【详解】

    1)由函数的图象可知A

    周期T16

    T16

    ∴ω

    y2sinx+φ),

    函数的图象经过(2﹣2),

    φ2kπ

    φ

    |φ|π

    φ

    函数的解析式为:y2sinx).

    2)由已知得

    16k+2≤x≤16k+10

    即函数的单调递增区间为[16k+216k+10]k∈Z

    k﹣1时,为[﹣14﹣6]

    k0时,为[210]

    x﹣2π),

    函数在(﹣2π)上的递增区间为(﹣2π﹣6)和[2).

    【点睛】

    本题主要考查三角函数解析式的求法,根据三角函数的图象是解决本题的关键,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.

    22.已知函数

    )当时,求函数的极值;

    时,讨论的单调性;

    )若对任意的恒有成立,求实数的取值范围.

    【答案】)函数的极小值为,无极大值;()当时,函数的在定义域单调递增;当时,在区间单调递减,在区间单调递增;当时,在区间单调递减,在区间,上单调递增.

    【解析】试题分析:1)函数的定义域为, 当时,函数,利用导函数求出函数的单调性,即可求出函数的极值;

    2)由,所以

    ,得,对分类讨论,求出的单调性;

    3)若对任意的恒有成立,等价于当,对任意的,恒有成立,由()知,所以上式化为对任意的,恒有成立,即,因为,所以,所以

    试题解析:(1)函数的定义域为,令

    (舍去).

    变化时,的取值情况如下:







    0




    极小值


     

    所以,函数的极小值为,无极大值.

    2,令,得

    时,,函数的在定义域单调递减;

    时,在区间,上单调递减,

    在区间,上单调递增;

    时,在区间,上单调递减,

    在区间,上单调递增.

    3)由(2)知当时,函数在区间单调递减;所以,当时,

    问题等价于:对任意的,恒有成立,即,因为a<0所以,实数的取值范围是

    【考点】导函数的应用.

     

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