2020届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次高考适应性考试（12月）数学（文）试题
展开石嘴山市三中2020届高三年级第四次高考适应性考试
数学（文）能力测试
2019.12
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分．）
1．已知复数，则的虚部是
A． B． C． D．4
2．设集合A={x|y=lg(x-3)}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于
A． B．R C． D．
3．某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．008号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
4．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图
A．＜，＜ B．＞，＜
C．＜，＞ D．＞，＞
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为
A． B． C． D．
6．已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为
A． B． C． D．
7．若，则cosα+sinα的值为
- B. C. D.
8．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A.－3<m<0 B.－3<m<2 C.－3<m<4 D.－1<m<3
9．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10.已知奇函数在上是增函数．若，，，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
11.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若4|AF|＝| BF|，O为坐标原点，则
A. B. C.4 D.5
12．已知函数，若且，则的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.
13．已知非零向量满足，则向量的夹角________．
14．已知正项等比数列{an}中，，若S3＝31，则an＝_____．
15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________．
- 下列共有四个命题：
（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；
（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；
（3）a，b∈R，，q：，则p是q的充分不必要条件；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，则f（-2）=4．
其中正确的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，
17、(本小题满分10分)（12分）在中，角，，的对边分别是，，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
18．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
19.（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且有．
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积．
20. .(本题满分12分)已知数列满足，， ,其中．
(1).求证：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；
(2).设,求数列的前n项和．
21.(本题满分12分)已知椭圆E：的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x－y＋＝0相切。
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆过右焦点F的弦为AB，过原点的弦为CD，若AB//CD，求证：为定值。
22.(12分) 设a>0，函数.
(1).当a=1时，求函数的单调区间；
(2).若函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点，试求a的值．
答案解析：
一、选择题：
1.【答案】A
【解析】由，得，所以虚部为．
故选A．
2.【答案】D
3.【答案】C
【解析】由题意得抽样间隔为，
因为号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为号，
之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，故选．
4.【答案】B
【解析】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；
相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B
5.【答案】B
【解析】根据题意，函数解析式为函数为指数函数，底数，递增，故选B．
6.【答案】C
【解析】由题意可得，，所以，，
所以，从而，故选C．
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
【解析】由题意设直线的方程为，
令，得，
因为，所以，
所以，故选D
10.【答案】A
【解析】函数在上是奇函数，，
又函数在上是增函数，且，
，，故选A．
11.【答案】B
12.【答案】B
【解析】如下图所示：
设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，
设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，
设点到直线的距离为，，
由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，
当时，，令，得，切点坐标为，
此时，，，故选B．
二、填空题
13.【答案】
14、【答案】
【解析】由，得，所以．
又因为，即，
所以或(舍去)，所以．
15.【答案】
16.【【答案】（2）（4）
【解析】解：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；
（2）在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好，故正确；
（3）a，b∈R，，则p是q的必要不充分条件，故错误；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，
∴m2-3m+3=1，∴m=2，或m=1（舍去）则f（-2）=4．故正确．
故答案为（2），（4）．
三、解答题：
17.（10分）【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
∴，解得．
又，所以，即，
∴．
（2）由（1）知，，∴，解得．
由余弦定理，得，即．
∴的周长为．
18.[解析]（12分） (1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝0.6，
所以样本中位数是15＋≈17.1，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17. 1，
样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，
估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.
19.【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，，
由已知得，∴，
又点是的中点，∴．
因为，点是线段的中点，∴．
又因为，∴，从而平面，∴，
又，不平行，∴ 平面．
（2）由（1）知，，
底面的面积为，
∴四棱锥的体积．
20【答案】（I）证明：∵
=
=，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又，∴bn=2+（n-1）×2=2n，∴，解得，．
（II）解：由（I）可得，
∴，∴数列{cncn+2}的前n项和为
=
，．
21.
22.【答案】解：（1）函数f（x）=x2-2ax-2alnx，
当a=1时，f（x）=x2-2x-2lnx，（其中x＞0）；
∴f′（x）=2x-2-=，
令f′（x）=0，即x2-x-1=0，
解得x=或x=（小于0，应舍去）；
∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间是（0，），
单调增区间是（，+∞）；
（2）f（x）=x2-2ax-2alnx，
则f′（x）=2x-2a-=，
令f′（x）=0，得x2-ax-a=0，∵a＞0，∴=a2+4a＞0，∴方程的解为x1=＜0（舍），
x2=＞0；
∴函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
∴f（x）的大致图象如图所示，
则f（x）min=f（x2），
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，
则f（x2）=0，
而x2满足x22=ax2+a，
∴f（x2）=ax2+a-2ax2-2alnx2=a（x2+1-2x2-2lnx2）=0，
得1-x2-2lnx2=0，
∵g（x）=2lnx+x-1在是单调递增的，∴g（x）至多只有一个零点，
而g（1）=0，
∴用x2=1代入x22-ax2-a=0，
得1-a-a=0，
解得a=．
