2020届宁夏石嘴山市第三中学高三第四次高考适应性考试（12月）数学（理）试题

高三年级第四次高考适应性考试
数学（理科）能力测试
命题人： 2019.12
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A={x|y=lg(x-3)}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于（　　）
A. B. R C. D.
2. 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3. 在中，，，则（ ）
A． 1 B． C． D．2
4.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为(     )
A. 22 B. C. D. 11
5. 若，则cosα+sinα的值为（　　）
A. B. C. D.
6.设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（     ）
A. B. C. D.
7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，
则不同的参赛方案种数为（      ）
A.  48 B.  72 C.  90 D.  96
8.（x+y）（2x-y）5的展开式中的x3y3系数为（　　）
A. B. C. 40 D. 80
9.若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则
C的离心率为（）
A. 2 B. C. D.
10. 直线与曲线有两个不同的交点,则实数的k的取值范围是   
A. B. C. D.
11. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
12. 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 采集到两个相关变量x，y的四组数据发别为（3，2.5），（4，m）（5，4），（6，4.5），根据这些数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则m=______．
14. 函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0，则f（2）+f'（2）=______．
15. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,,则该球的体积为______ ．
16. 下列共有四个命题：
（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；
（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；
（3）a，b∈R，，则p是q的充分不必要条件；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，则f（-2）=4．
其中正确的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知函数f（x）=cos2x-sin2x+，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
18.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
 
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），
其中样本数据的分组区间为： [0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
　　
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时　　



每周平均体育运动时间超过4小时　　



总计









P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879



附：K2=．



19.已知数列,满足,,其中．
（I）求证：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；
（II）设,求数列的前n项和为．

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．






21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．
（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（，-）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．



22. 设，函数
时，求函数的单调区间；
若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．

答案和解析
选择题
1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6 B
7. 【答案】D 8.【答案】C． 9.【答案】A 10.【答案】A 11. B 12.D
部分题目答案解析
6 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键，属于中档题.
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】
解：f(x)的定义域为R，
∵,
∴​函数f（x）=ln（1+|x|）-为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）-，
而为x≥0时的单调递增函数，且为x≥0时的单调递增函数，
∴函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），
即|x|＞|2x-1|，
平方得3x2-4x+1＜0，
解得：＜x＜1，
所求x的取值范围是（，1）．
故选B.
9.【答案】A
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
​通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
解：曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx-ay=0，
圆（x-2)2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，
由双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为h==，
又c2=a2+b2,
解得：，可得e2=4，即e=2．
故选A．
10.【答案】A
解：根据题意画出图形，如图所示：
​
由题意可得：直线l过A（2，4），
又曲线y=1+图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，
​圆心到直线l的距离d=r，即=2，
解得：k=；
当直线l过B(-2，1)点时，直线l的斜率为=，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．
故选A．
11.【答案】B
本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于基础题.
可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由⇒y2-ty-m=0，根据韦达定理有y1•y2=-m，
∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO+S△AFO=×2×（y1-y2）+×y1，
=．
当且仅当，即时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.
故选B．
​
12.【D 【解答】
解：设g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=ex（2x-1）+2ex=ex（2x+1），
∴当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0，
∴当时，g（x）取最小值，
当x=0时，g（0）=-1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得，
故选D .
填空题
13.【答案】7
14. 【答案】-3．
15.【答案】．

16.【【答案】（2）（4）

【解析】解：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；
（2）在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好，故正确；
（3）a，b∈R，，则p是q的必要不充分条件，故错误；
（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，
∴m2-3m+3=1，
∴m=2，或m=1（舍去）
则f（-2）=4．故正确．
故答案为（2），（4）．
（1），（2）根据定义判断即可；
（3）a，b∈R，p：a＜b，q：1b＜1a＜0，q能推出p，反之不行，则p是q的必要不充分条件；
（4）根据幂函数的定义求出m值即可．
本题考查了存在命题，相关指数，幂函数，四种命题的定义，属于基础题型，应熟练掌握．




简答题
17. 【答案】解：（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），
由2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，
​解得kπ-π≤x≤kπ，k∈Z，
当k=1时，π≤x≤π，
可得f（x）的单调递增区间为[，π）；
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a=，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+=0，
解得2A=π，即A=π，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
化为c2-5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB=＜0，
即有B为钝角，
∴c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．
18 【答案】解：（Ⅰ）300×=90，∴应收集90位女生的样本数据；
（Ⅱ）由频率分布直方图可得1-2×（0.100+0.025）=0.75，
∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300×0.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
　　
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时　　
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时　　
165
60
225
总计
210
90
300
∴K2=≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19【答案】（I）证明：∵
=
=，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又，∴bn=2+（n-1）×2=2n，
∴，解得，．
（II）解：由（I）可得，
∴，
∴数列{cncn+2}的前n项和为
 
=
，．
20【答案】解：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，
∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵ABCD，
∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵ABCD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
AB⊥平面PAD，AD⊥AB，ABOE，
∴OE⊥平面PAD，OE⊥AD
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，
取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，
​．
∴cos＜＞==．
由图可知，二面角A-PB-C为钝角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为．
21 解：（1）由题意可知：椭圆+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=2，c=1，
椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，
则椭圆的标准方程：；
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），
当斜率不存在时，x=与椭圆只有一个交点，不合题意.
由题意PQ的方程：y=k（x-）-，
则联立方程，
​整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，
由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，
则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，
则kAP+kAQ=+=，
由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1
​=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，
kAP+kAQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．

【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；
（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值．
 
22 【答案】解：（1）函数f（x）=x2-2ax-2alnx，
当a=1时，f（x）=x2-2x-2lnx，（其中x＞0）；
∴f′（x）=2x-2-=，
令f′（x）=0，即x2-x-1=0，
解得x=或x=（小于0，应舍去）；
∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间是（0，），
单调增区间是（，+∞）；
（2）f（x）=x2-2ax-2alnx，
则f′（x）=2x-2a-=，
令f′（x）=0，得x2-ax-a=0，
∵a＞0，
∴=a2+4a＞0，
∴方程的解为x1=＜0（舍），
x2=＞0；
∴函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
∴f（x）的大致图象如图所示，




则f（x）min=f（x2），
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，
则f（x2）=0，
而x2满足x22=ax2+a，
∴f（x2）=ax2+a-2ax2-2alnx2=a（x2+1-2x2-2lnx2）=0，
得1-x2-2lnx2=0，
∵g（x）=2lnx+x-1在是单调递增的，∴g（x）至多只有一个零点，
而g（1）=0，
∴用x2=1代入x22-ax2-a=0，
得1-a-a=0，
解得a=．
【解析】（1）求出a=1时的f（x），利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，并求出单调区间；
（2）求f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，求出最值，利用最值等于0，求出a的值．