2020届陕西省渭南市临渭区高三模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省渭南市临渭区高三模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意结合交集的定义可得：.

本题选择B选项.

2．若复数满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可得，然后根据乘法法则求出复数即可．

【详解】

∵，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查复数的乘法运算，解题时根据乘法法则求解即可，注意把换为．属于基础题．

3．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】利用存在性命题的否定方法进行求解，改变量词，否定结论.

【详解】

因为命题“，”的否定是“，”.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，求解策略是：改变量词，否定结论.侧重考查逻辑推理的核心素养.

4．如图所示，是2017年某大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为（   ）

A．86，86 B．85，84 C．84，86 D．86，85

【答案】D

【解析】去掉最高分与最低分，所剩数据为84，85，85，87，89，利用平均数公式以及众数的定义求解即可.

【详解】

由茎叶图知，去掉一个最高分95和一个最低分77后，

所剩数据为84，85，85，87，89，

所以平均数为：，

众数为：85，故选D．

【点睛】

本题主要考查平均数公式以及众数的定义，属于基础题.样本平均数公式为.

5．执行如图所示的程序框图，若恰好经过两次条件判断就输出，则可输入的正整数的取值共（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】根据循环条件和恰好经过两次条件判断就输出，可得关于的不等关系，从而可求的值.

【详解】

由题意可得，，且，

因为为正整数，所以，且，

所以可输入的正整数的取值有：3,4,5,6.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，根据循环条件列出不等式是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

6．已知，若角的终边经过点，则的值为（      ）

A． B． C．4 D．-4

【答案】A

【解析】先通过终边上点的坐标求出，然后代入分段函数中求值即可.

【详解】

解：因为角的终边经过点

所以

所以

所以

故选A.

【点睛】

本题考查了任意角三角函数的定义，分段函数的计算求值，属于基础题.

7．如果将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，其对称轴是直线，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求解平移后的函数解析式，结合对称轴可求的最小值.

【详解】

由题意得，

因为图象的对称轴是直线，所以，

，，所以时，取最小值.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象变换及性质，明确平移后的函数解析式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

8．在中， ,，分别是角,,的对边，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由余弦定理有 ， ，则有 ，又 ，故选D.

9．已知点P在双曲线上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由双曲线的性质求出点P的坐标，由点到直线的距离公式列出方程解得c＝2b，再由c2＝a2＋b2得到，即可得出该双曲线的离心率.

【详解】

由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则，双曲线的渐近线方程为，由题意，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以

所以双曲线的离心率.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据三视图还原几何体，侧放的五棱柱，结合棱柱的体积公式可求.

【详解】

由题意可知，几何体是以左视图为底面的五棱柱，底面积为，高，

所以体积为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用三视图求解几何体的体积，结合三视图还原几何体是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.

11．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意化圆C为标准方程，由两圆位置关系得两圆相交，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程．

【详解】

由题圆C：,则两圆心距为，故两圆相交

由于圆O：与圆C：关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线，

故把两圆的方程相减可得直线l的方程为，

故选D．

【点睛】

本题主要考查圆和圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，判断直线l是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题．

12．函数,当时,有恒成立,则实数m的取值范围是    （　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x的最小值即可．

【详解】

因为f（x）＝﹣x3﹣2x2+4x，x∈[﹣3，3]

所以f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0得，

因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

而f（﹣3）＝﹣3，f（﹣2）＝﹣8，f（），f（3）＝﹣33，

所以该函数的最小值为﹣33，

因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，

只需m2﹣14m≤f（x）min，

即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0

解得3≤m≤11．

故选C．

【点睛】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题

二、填空题

13．抛物线的准线方程是__________．

【答案】

【解析】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是

14．已知向量，，若，则______.

【答案】

【解析】先根据求出，然后求出.

【详解】

因为向量，，，

所以，即.

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的坐标运算，熟记向量垂直和模长的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

15．已知数列为等比数列，且，则的值为_____．

【答案】

【解析】利用等比数列的性质，代入等式得，再代入计算即可。

【详解】

∵是等比数列，∴，即，

∴，

.

故答案为.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，属于基础题。

16．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面.

①若，，则；

②若，，，则；

③若，，，则

④若，，，则.

上述命题中为真命题的是______（填空所有真命题的序号）.

【答案】①④

【解析】由平面与平面垂直的判定定理可知①正确；②中的关系无法确定垂直；③中两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可得④正确.

【详解】

对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；

对于②，若，，，则可能平行，也可能相交，垂直；

对于③，若，，，则可能平行，也可能异面；

对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

本题主要考查空间直线与平面间的位置关系，借助已知定理和身边的实物模型能方便解决这类问题，侧重考查直观想象的核心素养.

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且．

求数列的通项公式；

设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】时，，时，即可求出数列的通项公式.利用的通项，得是以首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式求解即可.

【详解】

（1）数列的前n项和为，且．

当时，，

当时，首项符合通项，

故：．

由于，

所以：，

则：，

所以：数列是以首项为，公比为的等比数列．

故：．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

18．到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了名学生进行调查.

（1）已知抽取的名学生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人数.

（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下列联表.

（i）请将列联表补充完整，并判断是否有以上的把握认为选择科目与性别有关系.

（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率.

附：，其中.

【答案】(1) ，55人 (2) （i）见解析；（ii）

【解析】（1）根据题意可得求解即可得出的值，进而可得抽取的男生人数；

（2）

（i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出的值，结合临界值表即可的结果；

（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，；用列举法分别列举出“6名学生中随机抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.

【详解】

解：（1）由题意得，解得，

则抽取的男生的人数为.

（2）（i）

则，

所以有以上的把握认为送择科目与性别有关系.

（ii）由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为，，4名女生，分别记为，，，.

从6名学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中至少有1名男生的有，，，，，，，，共9种情况，

故所求概率为.

【点睛】

本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.

19．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：第一问利用三角形的中位线得到，之后结合线面平行的判定定理的内容证得结果；第二问利用，将顶点和底面转换，求得点到平面的距离，这就需要明确怎么转能够比较简单的求得三棱锥的体积.

详解：（1）因为分别是的中点，∴，

又因为，

所以面；

（2）设点到面的距离为，则点到面的距离为，在直角中，

，又，，

由得.

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到空间关系的证明------线面平行，在证明的过程中，核心是寻找线的平行线，还需要注意的就是有关判定定理的条件不要缺，再者就是求点到平面的距离，最常用的，就是利用等级法来求.

20．已知椭圆的两焦点分别是，点在椭圆上，

（1）求椭圆的方程；

（2）设是轴上的一点，若椭圆上存在两点，使得，求以为直径的圆面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）根据题意得到，由点点距离可求得a值，进而得到椭圆方程；（2）向量坐标化得到，联立直线和椭圆得到方程，根据消参得到韦达定理，由可得到范围.

详解：

（Ⅰ）由已知，半焦距，

所以，所以，

所以椭圆的方程是.

（Ⅱ）设点的坐标为，

当直线斜率不存在时，可得分别是短轴的两端点，得到，

当直线斜率存在时，设直线的方程为，，

则由得①，

联立得，

由得，整理得

由韦达定理得，②，

由①②，消去得，

由解得，综上：，

又因为以为直径的圆面积，所以的取值范围是.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；

（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围

【详解】

（1），，

（1），又（1），即切线的斜率，切点为，

曲线在点处的切线方程；

（2）令，，则，

令，则．

当时，，函数在上为增函数，故（1）；

从而，当时，（1）．

即函数在上为增函数，故（1）．

因此，在上恒成立，必须满足．

实数的取值范围为，．

【点睛】

本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.

22．已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求线段中点的直角坐标.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）消去参数可得直线的普通方程，把极坐标方程平方化简，利用极坐标和直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）联立方程结合韦达定理求出线段中点的参数，代入参数方程可得直角坐标.

【详解】

（1）因为直线的参数方程为（为参数），所以消去参数可得.

将两边平方得，

整理得，即，

化简可得曲线的直角坐标方程为.

（2）将（为参数），代入可得，

设两点对应的参数分别为，则，

故线段中点的直角坐标满足

即.

【点睛】

本题主要考查参数方程和极坐标方程，参数方程化为普通方程的核心是如何消去参数，极坐标化为直角坐标的关键是熟记转化公式，侧重考查数学运算的核心素养.

23．已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集非空，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；

（Ⅱ）问题转化为，求出的范围即可．

【详解】

（Ⅰ）因为，即为，

当时，得，则，

当时，无解,

当时，得，则，

综上；

（Ⅱ）因为的解集非空即有解，

等价于，

而．

∴，．

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值不等式的性质，是一道综合题．