2020届山西省同煤二中联盟体高三3月模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届山西省同煤二中联盟体高三3月模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简集合A,B，求交集即可.

【详解】

或，或，

或.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了不等式的解法，交集运算，属于中档题.

2．已知复数（是虚数单位），，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：由题意可得，即，

，.故选B．

【考点】复数的概念及运算.

3．已知曲线：，直线：，则是直线与曲线相切的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由直线与曲线相切，明确的取值，再结合充分必要性作出判断.

【详解】

解:，直线过定点，且曲线也过点.若直线与曲线相切，设切点横坐标为，则切线为，则，解之或，所以是直线与曲线相切的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查计算能力与转化能力，属于中档题.

4．已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形

最大角为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：

【考点】1．数列求通项；2．解三角形

5．若，且，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由则，所以，又由三角函数的基本关系式，且，解得，所以，故选A.

【考点】三角函数的基本关系式及余弦的倍角公式.

6．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替:，其中.若令，，请依据上述算法，估算的值是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，利用，然后分别求出，进而代入，求出，最后即可求解的值

【详解】

设，，，则有，

则，，，

由，

可得

，答案选C

【点睛】

本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题

7．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（      ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率．因为切线与直线垂直，所以，即，，所以，所以，所以，故应选．

【考点】1、导数的几何意义；2、裂项相消法．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】A

【解析】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，

第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，

第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，

第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，

第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，

第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，

第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，

第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，

第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，

故输出的k值为10，

故选A

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

9．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：如图，这是三棱锥的三视图，平面平面，尺寸见三视图，，，，所以，所以．故选B．

【考点】三视图，表面积．

10．由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（    ）

A．180 B．196 C．210 D．224

【答案】C

【解析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．

【详解】

分两种情况：

（1）个位与百位填入0与8，则有个；

（2）个位与百位填入1与9，则有个.

则共有个.

故选：C

【点睛】

本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．

11．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为，故选A.

12．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为，由于，，因此是的中点，由于是的中点，，由双曲线的定义得，得，在，

得，，故答案为A.

【考点】双曲线的简单几何性质.

二、填空题

13．已知向量，若向量在方向上的投影为3，则实数______．

【答案】

【解析】由投影的定义列m的关系式，解出m即可．

【详解】

根据投影的概念：；．

故答案为．

【点睛】

本题考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度，是基础题

14．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是__________.

【答案】

【解析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出A的坐标，又过M点进而求出直线AB的方程，与抛物线联立求出B的坐标，由面积公式求出三角形AOB的面积．

【详解】

抛物线的准线方程为，

设，过点作准线的垂线，如图，

由抛物线的定义可知，，

∴，∴，

设直线的方程为，

由，得，

∴，∴，

∴的面积.

故答案为：

【点睛】

考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．

15．若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________.

【答案】4

【解析】利用二项式系数的性质求得n的值，再根据二项展开式的通项公式求得有理项个数.

【详解】

因为的展开式中二项式系数的和为128，

所以，即，

所以的展开式的通项为，

当时，为自然数，

所以有理项的个数为4.

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

16．若在有恒成立，则的取值范围为__________

【答案】

【解析】分离参数，转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值即可.

【详解】

恒成立即在上恒成立，

令，

则，

∴在递增，在上递减，

，

故在上，

∴.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题，利用导数求函数的最小值，属于中档题.

三、解答题

17．已知分别为三个内角的对边， ， .

（1）求；

（2）若是的中点， ，求的面积.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：

（1）利用正弦定理把已知等式中的边的关系化为角的关系，约去可得的三角函数式，上两角和的正弦公式化简后可求得；

（2）已知为中点，因此设，在应用余弦定理得出的一个方程，在和中利用，即分别应用余弦定理把这两个余弦用表示又得一个方程，联立后可解得，选用公式可求得面积．

试题解析：

（1）由可得，

即有，

因为，

∴，

∴，

∴.

（2）设，则，

由，

可推出 ①，

因为，所以，

由可推出 ②，

联立①②得，故，

因此．

18．已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，确定单调性，进而确定最小值取法，代入即得最小值；（2）先分离得，再利用导数研究函数上单调性，进而确定最小值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为，，

在，

所以当时，取最小值且为

（2）问题等价于： 对恒成立，

令，则，

因为，所以，

所以在上单调递增，

所以，所以

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】（1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB．可得OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥面ABCD．

（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．

【详解】

解：（1）取AD中点O，连结OP，OB，

∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP，OP⊥AD，

又AB＝AD，∴OB⊥AD，且OB．

于是OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥OB．

所以OP⊥面ABCD，而OP⊂面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．

（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．

由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），Q（﹣1，），

，．

设面BDQ的法向量为，由，取．

面ABD的法向量是，∴cos．

∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为．

20．已知椭圆C过点M（1，），两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点A（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．

【答案】（1）；（2）3.

【解析】（1）由已知中焦点坐标，可得c值，进而根据椭圆过M点，代入求出a，b可得椭圆的标准方程；

（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值．

【详解】

（1）∵椭圆C的两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），

故c＝1，且椭圆的坐标在x轴上

设椭圆C的方程为：

∵椭圆C过点M（1，），

∴

解得b2＝3，或b2

∴椭圆C的方程为：

（2）设直线l的方程为：x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0

则y1+y2，y1•y2

∴S•2c•|y1﹣y2|

令t，（t≥1）

则S，

∵y在[1，+∞）上单调递增，故当t＝1时，y取最小值，此时S取最大值3，

当t=1时取等号，即当k=0时，△BPQ的面积最大值为3.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理”是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题．

21．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，己知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.

（1）求与的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．

【答案】（1） ； （2）.

【解析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；

（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.

【详解】

（1）依题，解得

（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，

获得本选修课学分分数不低于4分为事件，

则；；.

故.

【点睛】

该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，求线段的最小值.

【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；

（2）.

【解析】（1曲线消去参数t即可得普通方程，曲线利用ρsinθ=y，ρcosθ=x可得的直角坐标方程；

（2）可设点，利用点到直线的距离公式及二次函数最值即可求解.

【详解】

（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为.

将代入到中，得，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）因为是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，所以可设点，

线段的最小值即点到直线的距离的最小值，

所以，

当时，，即.

【点睛】

本题主要考查了曲线的参数方程， 极坐标方程，点到直线的距离，属于中档题.