2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（二）数学（文）试题（解析版）

2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合,，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据补集定义先求得，再根据交集运算即可得解.

【详解】

全集，集合，

可得，

故.

故选:C

【点睛】

本题考查了集合补集与交集的运算，属于基础题.

2．已知是虚数单位，，则复数对应复平面内的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】根据复数除法运算，化简后即可得复数.根据复数的几何意义，可得对应点的坐标，进而得对应点所在的象限.

【详解】

根据复数除法运算，化简可得

，

对应复平面内的点的坐标为(1，－2)，在第四象限.

故选:D

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，属于基础题.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】根据分段函数解析式，代入即可求得的值，进而求得的值即可.

【详解】

函数

所以，

故

.

故选:A

【点睛】

本题考查了分段函数的求值，注意自变量范围即可，属于基础题.

4．已知夹角为的向量满足，且，则向量的关系是（    ）

A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成角

【答案】C

【解析】根据，得到，再由数量积公式和化简求解.

【详解】

由

可得，

即，

即，

所以，

即，

所以方向相反.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.

5．公差不为零的等差数列中，成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设的公差为，根据成等比数列，可得，化简求得的关系再求解.

【详解】

设的公差为，

由成等比数列，可得，

即，

即，

故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体 ，结合三视图的量，得到圆柱的底面半径和高及长方体的长宽高，再利用柱体体积公式求解.

【详解】

由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，

其中半圆柱的底面半径为3，高为1，

故其体积为：.

故选：A

【点睛】

本题主要考查三视图的应用及几何体体积，还考查运算求解的能力，属于基础题.

7．已知满足，则（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【解析】用两角和的公式将展开整理可得，再两边平方整理得，然后将切化弦求解.

【详解】

由可得，

即，

平方可得，

即，

故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦和同角三角函数基本关系式，还考查运算求解的能力，属于中档题.

8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（    ）

A．20 B．10 C．0 D．

【答案】B

【解析】根据循环结构分析找到规律，m是偶数时相减，是奇数时相加，当m=0时终止.

【详解】

第1次循环

第2次循环

第3次循环

依此循环

该框图的运行结果是：

.

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查推理论证的能力，属于基础题.

9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某网站调查了喜欢海淘的1000名网友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有400人，第二类是不会降低海淘数量，共有600人，若从这1000人中按照分层抽样的方法抽取10人后进行打分，其打分的茎叶图如下图所示，图中有数据缺失，但已知“第一类”和“第二类”网民打分的均值相等，则“第一类”网民打分的方差为（    ）

A．159 B．179 C．189 D．209

【答案】B

【解析】根据分层抽样比，可得第一组抽取4人，第二组抽取6人.由茎叶图可知第一组缺失一个数据，设为m，根据平均值相等可求得m，由方差公式即可求得第一组的方差.

【详解】

抽取的网民中，“第一类”抽取4人，缺失一个数字，设缺失的数据为，“第二类”抽取6人，

则，

解之得，其两组数的均值都是65，

则“第一类”网民打分的方差为：

.

故选:B

【点睛】

本题考查了分层抽样的应用，根据平均值求参数，方差公式的应用，属于基础题.

10．若不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的取值范围是（    ）

A． B． C．[－4,2] D．

【答案】D

【解析】根据不等式组画出不等式表示的可行域.求得各个交点坐标，由阴影部分的面积，求得参数，由目标函数可确定最小值与最大值，即可确定的取值范围.

【详解】

画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点，

故阴影部分的面积为，

解得，

由图易得在点处取得最大值6，在点处取得最小值－4，

故的取值范围是.

故选:D

【点睛】

本题考查线性规划的简单应用，由可行域的面积求参数值，并求线性目标函数的取值范围，属于基础题.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】根据为的中点，可知，由中位线定理可知.格局双曲线定义，可得，结合双曲线中满足，即可求得离心率.

【详解】

双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，

由为的中点，所以，且，

，故，即，

设双曲线的焦距为2c，双曲线中满足

所以，化简可得

故双曲线的离心率为.

故选:C

【点睛】

本题考查了双曲线几何性质的简单应用，双曲线定义及双曲线离心率求法，属于基础题.

12．已知函数与函数的交点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】根据函数解析式，先求得当时的导函数，利用导函数判断函数在时单调区间，并求得极小值；再根据函数性质可得为偶函数.在平面直角坐标系中画出与的图象，即可由函数图象判断两个函数交点个数.

【详解】

当时，，则，

令可得(舍去)或；

当时，，

当时，，

故在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且.

当时，则，且，故的图象关于y轴对称.

因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示：

由图可知，它们有5个交点.

故选:D

【点睛】

本题考查了利用导数判断函数的单调区间及求极值，分段函数奇偶性的判定，由数形结合法求两个函数交点个数，属于中档题.

二、填空题

13．不等式的解集为，则__________.

【答案】

【解析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，将代入方程可求得；再将代入不等式，解不等式求得，进而求得的值.

【详解】

由条件可知是方程的实根，

故，即，

不等式为，

解不等式可得解集为，

即，

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由方程的解确定参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.

14．已知抛物线的焦点坐标为，则直线被抛物线截得的弦的中点坐标为_________.

【答案】

【解析】根据抛物线焦点坐标，可求得抛物线的标准方程.联立抛物线与直线，求得两个交点坐标，即可由中点坐标公式求得弦的中点坐标.

【详解】

由抛物线的焦点坐标可得，故抛物线方程为，

所以联立方程，变形可得 ，

解得或，

所以两个交点坐标分别为和，

故由中点坐标公式可知弦的中点坐标为.

故答案为:

【点睛】

本题考查由焦点求抛物线标准方程，直线与抛物线交点坐标求法，中点坐标公式的应用，属于基础题.

15．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数是确定的奇数（大于1），把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，若勾股数组中的某一个数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.由此得到的这种勾股数称之为“由生成的一组勾股数”.若“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为，“由20生成的这组勾股数”的“弦数”为，则____________.

【答案】246

【解析】根据题意，是奇数，平方后将结果拆分成两个相邻整数得到勾股数，即可得；是偶数，除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到勾股数，即可求得.

【详解】

因为是奇数，由题意把平方后拆成相邻的两个整数，可知，而，

则“由17生成的这种勾股数”为：，则；

因为是偶数，由题意把除以2后再平方，可得，把100分别减1，加1所得到的两个整数为，所以“由20生成的这种勾股数”为：，则，

则.

故答案为:246

【点睛】

本题考查了类比推理的简单应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于基础题.

16．的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为___________.

【答案】

【解析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得，结合同角三角函数关系式求得，代入余弦定理表示出，代入中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时关系，进而求得的值.

【详解】

由正弦定理将变形可得

，

即，

由可得，

而是锐角，所以，

则由余弦定理可得，

则，

当且仅当时，取得最小值，

故，故，

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，边角转化求三角函数值，基本不等式求最值的应用，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列是首项为1，公比为的等比数列．

（1）求数列的前项和；

（2）若，求的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据等比数列定义求得数列的通项公式，由分组求和法及等比数列求和公式即可求得数列的前项和；

（2）由（1）中所得数列的通项公式，代入的通项公式中化简，结合裂项求和法即可求得的前项和.

【详解】

（1）由条件可得，

，

.

（2）由（1）可知

，

则

.

【点睛】

本题考查了等比数列的定义及通项公式求法，等比数列求和公式的应用，分组求和法及裂项求和法的应用，属于中档题.

18．如图，是正方形，平面,平面，,．

（1）求证：；

（2）若三棱锥的体积为，几何体的体积为，且，求的值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）根据题意易得和，即可由线面垂直判定定理证明平面，因而可证明.

（2）设，可用表示出，根据即可求得的值．

【详解】

（1）是正方形，

，

平面，

，

而平面，

平面，

又平面，

.

（2）设，则，

则，

，

由可得，

故解得.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，由线面垂直证明线线垂直，三棱锥体积的求法，属于基础题.

19．2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：

若根据往年防汛经验，每小时降雨量在时，要保持二级警戒，每小时降雨量在时，要保持一级警戒.

（1）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.

①求一级警戒和二级警戒各抽取多少小时；

②若从这10个小时中任选2个小时，则这2个小时中恰好有1小时属于一级警戒的概率.（2）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内的平均降雨量.

【答案】（1）①一级警戒3小时，二级警戒7小时②（2）87.25mm

【解析】（1）根据频率分布直方图，分别求得属于一级警戒的频率和属于二级警戒的频率，即可由分层抽样的性质求解；根据古典概型概率，设属于一级警戒的3小时分别为1，2，3，

属于二级警戒的分别为4，5，6，7，8，9，0，列举出任选2个小时的所有情况，即可求得恰好有1小时属于一级警戒的概率.

（2）根据频率分布直方图中平均数的求法，即可得解.

【详解】

（1）①由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3，

则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.

所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.

②设抽取的这10小时中，属于一级警戒的3小时分别为1，2，3，

属于二级警戒的分别为4，5，6，7，8，9，0.则从中抽取2小时的不同情况有：

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(1，0)，

(2，3)，(2，4)，(3，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(2，0)，

………………………………

(8，9)，(8，0)，(9，0).

共9+8+7+…+2+1=45种不同情况，其中恰好有1小时属于一级警戒的情况有：

7+7+7=21种不同情况，故所求概率为.

（2）这五组数据对应的频率分别为：0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.

故这100小时的平均降雨量为：

0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25.

【点睛】

本题考查了由频率分布直方图求平均数的应用，分层抽样的性质，古典概型概率的求法，属于基础题.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，求.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据的面积可求得椭圆中的，将点带入椭圆标准方程，结合椭圆中的关系即可求得椭圆的方程；

（2）表示出圆的方程，分析斜率存在与不存在两种情况：当斜率不存在时，易知直线与圆相切，可求得切点坐标，当斜率存在时，设出直线方程，由切线性质及点到直线距离公式可求得斜率，进而将直线方程与圆方程联立，求得切点坐标，即可由平面向量数量积的坐标运算求得的值.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为2c，

由的面积为可得，

，

则，由点在椭圆上可得，

解之得，

故椭圆的方程为.

（2）过原点且斜率不存在的直线显然与圆相切，切点为，

当斜率存在时，设过原点的直线为，即，

由圆心到直线的距离恰好等于圆的半径可得

，解之得，

由可得，即，

，，即点，

，

.

【点睛】

本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与圆的位置关系应用，圆的切线性质及点到直线距离公式的应用，直线与圆相切时切点坐标的求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于中档题.

21．已知函数.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；

（2）设与直线交于点，抛物线与直线交于点，若对任意，恒有，试分析的单调性.

【答案】（1）极大值为，无极小值（2）见解析

【解析】（1）先求得函数的导函数，根据在处的切线与直线垂直，可求得的值，代入函数解析式后求得极值点，并分析极值点左右两侧的单调性，即可确定极值.

（2）由题意可知对任意的恒成立，代入的解析式，分离参数，并构造函数，并利用判断函数的单调性和最大值.对分和两种情况讨论，即可确定的单调区间.

【详解】

（1）由可得，

由条件可得，即.

则，，

令可得.

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

的极大值为，无极小值

（2）由条件可知对任意的恒成立.

即，即对任意的恒成立.

令，则，

当时，，故，

在上单调递减，故，

.

①当时，，故在上单调递增；

②当时，由可得.

当时，，

当时，.

在上单调递增，在上单调递减.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间与极值，由导数分析不等式恒成立问题，分离参数及构造函数法在导数中的综合应用，属于难题.

22．已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.

（1）若，求实数的值；

（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.

（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有求解.

【详解】

（1）曲线的极坐标方程可化为，

化为直角坐标系下的普通方程为：，即.

直线的普通方程为：，

而点到直线的距离为，

所以，即，

又因为，所以.

（2）显然点在直线上，把代入

并整理可得，

设点对应的参数分别为.

则，解得或.

则，解得或.

而，实数m的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

23．已知函数(其中m为常数).

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）求证：对任意实数恒成立.

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】（1）建立不等式，根据绝对值的几何意义，分①当时，②当时，③当时，三种情况分类求解.

（2）根据，则有，而，由基本不等式求最小值不小于9即可.

【详解】

（1）由条件可知，

①当时，，

解得，所以，；

②当时，，恒成立，所以，；

③当时，，解得，所以，.

综上，实数m的取值范围是．

（2），

，而，

当且仅当，即时，取等号.

对任意实数恒成立.

【点睛】

本题主要考查了绝对值的解法，绝对值放缩以及基本不等式的应用，还考查了和运算求解的能力，属于中档题.