2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学（理）试题
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命题人： 审题人：满分150分 考试时间：120分钟；
第I卷（选择题，共60分)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足：（2＋i）z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A．－i B．＋i
C． D．
3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2ln(x2＋1)
4．数列中，，，且数列是等差数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）
A． B． C． D．
6．已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为( )
A．－15 B．－9 C．－6 D．0
9．已知的最小值为
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
12．设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分)
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知P为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点.则的最小值为________.
14．已知函数，若是函数的极小值点，则实数的值为________.
15．设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________．
16．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为__．
三、解答题共70分.解答题营写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个实体考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题.共5小题，每小题12分，共60分
17．在中，角对边分别为，且满足．
（1）求的面积；
（2）若，求的周长．
18．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度(含4200度)，执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：
用户编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年用电量(度) | 1000 | 1260 | 1400 | 1824 | 2180 | 2423 | 2 815 | 3325 | 4411 | 4600 |
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.
20．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
21．已知函数，，
（1）求f(x)的单调区间；
（2）如果函数有两个极值点、，求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的普通方程；
（2）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为，已知直线与曲线相交于两点，求．
23．设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，(m>0，n>0)，求证：m＋2n
大同四中联盟校2019—2020学年第二学期
高三年级高考模拟试题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60）
1．D 2．B. 3．B 4．A 5．D 6．D 7．A 8．C 9. 10．C 11．B 12．A
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13．8 14． 15． 16．
三、解答题（本题共70分）
17．（1）∵，∴，即，
∴； 4分
（2）∵，∴
由题意，，∴， 6分
∵，∴， 8分
∴ 10分
∵，∴．
∴的周长为． 12分
18．（Ⅰ）在中，是斜边的中点，
所以.
因为是的中点，
所以，且，
所以，
所以.
又因为，
所以，
又，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面． 6分
（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，
因为，
所以.
又因为，，
所以平面，
所以平面．
因此是直线与平面所成的角．
故，
所以.
过点作于，则平面，
且．
过点作于，连接，
则为二面角的平面角．
因为，
所以，
所以，
因此二面角的余弦值为． 12分
方法二：
如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为 (同方法一,过程略)
则，,．
所以,,，
设平面的法向量，
则，即，取,得．
设平面的法向量
则，即，取,得．
所以，
由图形得二面角为锐角，
因此二面角的余弦值为． 12分
19．(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4200)×0.3＝2822.38(元). 4分
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4.
,，
,，
故的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
所以． 8分
（3）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知
，
由,
解得，
所以当时概率最大，
故. 12分
20．解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 2分
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0<k<1．
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． 4分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，． 6分
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为． 8分
由，得，． 9分
所以．
所以为定值． 12分
21．（1）略。 4分
（2）若，
则有两个不同的零点、.
由题意，相加有，①
相减有，从而， 6分
代入①有，
即， 8分
不妨设，则，由（1）有.
又，
所以，即， 9分
设，则，在单调递增，
又，
，，因此.
22．解：（1）由得，将两式相加得，
故曲线的普通方程为； 4分
（2）由得，
化为直角坐标方程为， 6分
圆心到直线的距离， 8分
由垂径定理得． 10分
23．(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.
当x≥2时，原不等式化为2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；
当1≤x＜2时，原不等式化为1≥4，无解；
当x<1时，原不等式化为3－2x≥4，
解得x≤－，所以x≤－. 4分
所以原不等式的解集为.
(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，
而f(x)≤1的解集是[0,2]，
所以，解得a＝1，所以＝1(m>0，n>0)．
所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋，
当且仅当m＝2n时，等号成立 10分
