2020届山西省大同市高三模拟考试数学（文）

2020届山西省大同市高三模拟考试

数学（文）

(满分150分，答题时间120分钟) 

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设，则（  ）

A．         B．       C．       D．

2. 已知集合，，，则的元素个数为（  ）

A．         B．       C．       D．

3. 已知，，则（  ）

A．         B．       C．        D．

4. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下:

小明说:“鸿福齐天”是我制作的；

小红说:“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说:“兴国之路”不是我制作的.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（  ）

A．小明         B．小红       C. 小金         D．小金或小明

5. 函数在上的图像大致为（  ）

A．  B．      

C. D．

6. 为了了解公司名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取人征求意见，有下述三个结论:

①若号员工被抽到，则号员工也会被抽到；

②若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取了人；

③若号员工未被抽到，则号员工一定未被抽到.

其中正确的结论个数为（  ）

A．         B．       C.         D．

7. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（  ）

A．         B．       C.         D．

8. 若，则（  ）

A．         B．       C.         D．

9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（  ）

A．          B．      

C.          D．

10.已知双曲线的左、右焦点分别为，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的倍，则双曲线的离心率为（  ）

A．           B．      

C.            D．

11. 在中，角所对的边分别为.若时，则的面积为（  ）

A．         B．       C.          D．

12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（  ）

A．           B．

 C.          D．

第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13. 曲线在处的切线方程为          ．

14. 设为正项等比数列的前项和，若，则          ．

15. 函数在上的值域为          ．

16. 已知四棱锥中的外接球的体积为，平面，四边形

为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为          ．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.

求的值；

求地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；

不经过计算，直接给出地区家实体店经济损失的平均数与的大小关系.

18. 记为等差数列的前项和，且.

求数列的通项公式以及前项和；

记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.

19. 四棱锥如图所示，其中四边形是直角梯形，平面与交于点，直线与平面所成角的余弦值为，点在线段上.

若直线平面，求的值；

若，求点到平面的距离.

20. 已知函数

判断函数在上的单调性；

若，求证:当时，

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.

若线段的中点坐标为，求直线的斜率；

若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.

23.选修4-5：不等式选讲

已知.

求证:.

若，求证:.

文科数学参考答案和评分标准

一、选择题

1.【答案】

【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】依题意，，故，故选.

2. 【答案】

【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.

【解析】依题意，，则，故，则的元素个数为，故选 .

3．【答案】

【命题意图】本题考查指对数的大小比较，考查推理论证能力以及化归与转化思想.

【解析】依题意，故选.

4. 【答案】

【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及分类讨论思想.

【解析】依题意，三个人制作的所有情况如下所示:

若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则满足；若小金的说法正确，则满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红，故选.

5. 【答案】

【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.

【解析】依题意，，故函数为偶函数，

图像关于轴对称，排除；而，排除，排除.故选.

6. 【答案】

【命题意图】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想.

【解析】依题意，将这人分为组，每组人，即分段间隔为；因为，故①正确；

若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取的号码为.共计人，故②错误；若号员工未被抽到，则号员工可能被抽到，故③错误.故选.

7. 【答案】

【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】依题意，，而，即，解得，则，故选.

8. 【答案】

【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】，，故选.

9. 【答案】

【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.

【解析】程序框图是为了计算个数的方差，即输出的，观察可知，选.

10. 【答案】

【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.

【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故，因为的面积是的倍，故，不妨设，则直线，故.而，则，则.即，故，故选.

11. 【答案】

【命题意图】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】因为，且，解得，，而，

，所以，，故

因为，，故，故，故选.

12. 【答案】

【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.

【解析】设，由知，由在椭圆上，可知四边形为矩形，； 由，可得

由椭圆的定义可得，平方相减可得，

所以，而，即，

由，可得，由，

可得.所以，所以，故选

二、填空题

13. 【答案】

【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.

【解析】依题意，，故.故所求切线方程为.        

14. 【答案】

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式.前项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】记数列的公比为，显然，则，解得；而，故，故，解得，故   

15. 【答案】

【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.

【解析】依题意，，当时， 故，故

16. 【答案】

【命题意图】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及数形结合思想.

【解析】依题意，，将四棱锥补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，又，当且仅当时等号成立，此时，，要使得四棱锥的体积最大，只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，又，故体积的最大值为.

三、解答题

17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想.

【解析】依题意.，

解得.

由图可知，地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为，

第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，

故所求中位数在之间，故所求中位数为

18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前项和公式、等比数列的前项和公式.考查运算求解能力以及函数与方程思想.

【解析】记数列的公差为，

故，

故，

依题意，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，，，所以

19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.

【解析】连接.

因为，故

设，得

因为平面，平面平面平面，

故，故

在平面内作于点，

因为平面，所以，

又，得平面 .

因为平面，所以.

又，所以平面.

因为直线与平面所成角的余弦值为

即

又，故

则，而，得

，即点到平面的距离为

20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.

【解析】依题意，

令，则，

故当时，，当时，

故，故在上恒成立，

故，

即函数在上单调递减.

依题意，

下面证明:①当时，；②当时，；

事实上，，则，所以在上单调递增，

故，则，

又，则

令，则

由，得的极小值点为.若.则

则，故，

若，即，则在上单调递减.故.

综上所述，当时，，

则，

21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

【解析】设.则，

两式相减，可得

即

解得，即直线的斜率为

显然直线的斜率不为，设直线，

联立，消去整理得，

显然，故

故的面积

令，其中

22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，考查推理论证能力以及数形结合思想.

【解析】依题意，曲线即，

故，即

因为，故，

即，即.

将，代入，得，

将，代入，得，

由，得.即

解得.则

又，故，

故的面积

23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.

【解析】要证

即证，

即证，

即证，

即证，

即证，

该式显然成立，当且仅当时等号成立，

故

由基本不等式得

，

当且仅当时等号成立.

将上面四式相加，可得，

即.