2020届山西省大同市第一中学高三一模数学（理）试题（解析版）

2020届山西省大同市第一中学高三一模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.

【详解】

，.

因为，所以有，因此有.

故选：A

【点睛】

本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.

2．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

解: ，

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

3．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（    ）

A．若∥，b∥，则∥ B．若，，则∥

C．若∥，，则 D．若，b∥，则

【答案】C

【解析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.

【详解】

A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；

B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；

C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；

D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.

4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（    ）

A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值

B．10年来全球新增装机容量连年攀升

C．10年来中国新增装机容量平均超过

D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

【答案】D

【解析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．已知，，则等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

【详解】

由题意得 ，

又，所以，结合解得，

所以 ，

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（      ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．

【详解】

解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，

基本事件总数，

其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，

其和等于的概率．

故选：．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

7．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】B

【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.

【详解】

因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：

所以有，而是中点，连接，故，

因此

当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,

故，因此，

综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.

8．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（    ）

A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】B

【解析】判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.

【详解】

由，，所以可得.

，

所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：

由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.

故选：B

【点睛】

本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.

9．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（    ）

A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有

C．若不是等差数列，则一定有     D．若不是等比数列，则一定有

【答案】C

【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；

B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；

C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；

 D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

10．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有

.

故选：C

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力

11．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.

【详解】

设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：

因此有，设平面的法向量为，所以有

，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.

故选：C

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.

12．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，令，则，

由可得，

则是区间上的单调递减函数，

且，

当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;

当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0

∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0

∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.

综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.

本题选择D选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．

二、填空题

13．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．

【答案】

【解析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，

则：，，

且，，

据此可知在方向上的投影为.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是       ．

【答案】.

【解析】【详解】

当q=1时，.

当时，

，所以.

15．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

【答案】

【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知，

由中位线定理可得，设可得，

联立方程

可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，

求得，所以

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知，

由中位线定理可得，即

求得，所以.

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

16．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：

由图象可知：实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

三、解答题

17．已知，，

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．

【答案】（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：

；（2）.

【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；

（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.

【详解】

（1）

的最小正周期为：；

当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；

（2）因为，所以

设边上的高为，所以有，

由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.

【点睛】

本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.

试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH==，

所以sinAPH==.

方法二：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

于是CD⊥PD.

从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，

所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，

由得设x=2，解得n=(2,-2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

【考点】线线平行、线面平行、向量法.

19．在平面直角坐标系中，已知，动点满足

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.

【答案】（1）；

（2）见解析.

【解析】（1）由轨迹方程的求法得：设动点P，求出相关的向量利用向量的数量积以及向量的模化简求解，可得动点的轨迹的方程．（2）设出过点的直线，并于联立，得韦达定理，将用点表示出来，将韦达定理代入即可求出为定值。

【详解】

设，则由知化简得：，即动点的轨迹方程为；

设过点的直线为： ，由得，

将代入得

故为定值

【点睛】

本题考查求曲线的轨迹方程，用韦达定理来解决定值问题，大胆设，大胆算，属中档题．

20．已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若，设的最大值为，求的取值范围.

【答案】（1）增区间为：；减区间为：（2）

【解析】（1）根据题意，代入参数值，对函数求导，，令，求导判断，从而求解单调区间；

（2）根据题意，对函数求导，设，二次求导，对进行单调性分析，得在上为减函数，再根据参数范围，确定在存在唯一零点，设出零点，求解，表达参数，可求，再利用导数判断单调性，从而求解取值范围.

【详解】

（1）当时，，则

设，当时，

所以：

的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）

设

则：

由（1）可知

所以在上为减函数

由题意：且

所以：在存在唯一零点，不妨设为，即

时，为增函数，时，为减函数，

再由

得：

设：

对于时为单调递减函数

的取值范围为：.

【点睛】

本题考查（1）利用导数求单调性（2）利用导数研究函数最值问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.

21．如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；

（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；

（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，.

【解析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；

（2）随机变量的可能数值为1，，结合（1）运用概率的乘法公式，可随机变量的分布列和期望；

（3）易知，即，由条件推得，利用构造法可得，从而求得的值.

【详解】

（1），，

，，

综上，

（2）随机变量的可能数值为1，.

综合（1）得

，

，

故随机变量的分布列为

.

（3）易知，因此，

而当时，，

又，

即.

因此，

故

即数列是以为首项，公比为的等比数列.

所以，

又

故.

【点睛】

本题考查数列与解析几何、概率统计的交会、等比数列的定义与通项公式、随机变量的分布列与期望，考查统计与概率思想、函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.

22．在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）写出的普通方程和极坐标方程；

（2）设，是上的两点，且，求的值．

【答案】(1)普通方程是．极坐标方程为 (2)

【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.

（2）不妨设，，故，代入

化简得到答案.

【详解】

（1）曲线的参数方程为（为参数）

移项后两边平方可得

即曲线的普通方程是．

因为，，

代入上式可得的极坐标方程为．即．

（2）因为，是上的两点，且，

所以不妨设，．

由在曲线上可知．

同理，在曲线上可知．

所以，．

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程，意在考查学生对于极坐标和参数方程的理解和计算能力.

23．已知a，b为正数，且满足．

(1)求证：；

(2)求证：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．

【详解】

已知a，b为正数，且满足a+b＝1，

（1）（1）（1）＝11，

（）（a+b）≥（）2＝8，

故；

（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，

∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab，

（a）（b）ab，

令t＝ab∈（0，]，y＝t递减，

所以，

故（a）（b）≥2．

【点睛】

考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．