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    2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题(解析版)
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    2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题(解析版)

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    2020届山东省泰安市肥城市一模数学试题


    一、单选题
    1.已知集合A={x|﹣1<x<1},B={x|0<x<2},则A∪B=(   )
    A.(﹣1,2) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)
    【答案】A
    【解析】根据并集的概念直接计算即可得解.
    【详解】
    由题意得.
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了集合并集的运算,属于基础题.
    2.若集合,则“”是“”的( )
    A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也非不必要条件
    【答案】A
    【解析】根据题意,对充分性和必要性进行讨论,即可判断和选择.
    【详解】
    由题可知,若,则一定有,故充分性满足;
    但是若,则不一定有,故必要性不满足.
    故“”是“”的充分不必要条件.
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查充分条件和必要条件的判断,属基础题.
    3.已知,,若,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】根据向量的坐标与垂直关系,可得的等量关系.由可知其意义为到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.
    【详解】
    ,,且
    由向量数量积的运算可得
    的意义为到原点距离平方
    由点到直线距离公式可知原点到直线的距离为
    因为点到直线的距离为最短距离,所以的最小值为
    即的取值范围为
    故选:C
    【点睛】
    本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.
    4.若,,满足,,.则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.
    【详解】
    ,,,
    ,,
    ,,,

    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了指数函数和对数函数的单调性,考查了计算能力和推理能力,属于基础题.
    5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(  )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】根据对数函数的单调性,分类讨论,结合二次函数的图象与性质,利用排除法,即可求解,得到答案.
    【详解】
    由题意,若,则在上单调递减,
    又由函数开口向下,其图象的对称轴在轴左侧,排除C,D.
    若,则在上是增函数,
    函数图象开口向上,且对称轴在轴右侧,
    因此B项不正确,只有选项A满足.
    【点睛】
    本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质,其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质,合理进行排除判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
    6.函数的图象大致是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】结合图象只需研究函数零点个数,即可判断选择.
    【详解】
    当时,所以舍去D;
    当时,所以舍去BC;
    故选:A
    【点睛】
    本题考查利用函数零点判断函数图象,考查基本分析判断能力,属基础题.
    7.已知函数,若,那么实数的值是( )
    A.4 B.1 C.2 D.3
    【答案】C
    【解析】先求出,变成,可得到,解方程即可得解.
    【详解】
    ,变成,即,解之得:.
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查已知函数值求参数的问题,考查分段函数的知识,考查计算能力,属于常考题.
    8.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下,学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划,又能发挥学科优势,进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后,学生将在高二年级将面临着的选课模式,其中“3”是指语、数、外三科必学内容,“1”是指在物理和历史中选择一科学习,“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况,学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查,依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图:根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论是不正确的( )

    A.样本中的女生数量多于男生数量
    B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量
    C.样本中的男生偏爱物理
    D.样本中的女生偏爱历史
    【答案】D
    【解析】根据这两幅图中的信息,即可得出结论.
    【详解】
    由图1知,样本中的女生数量对于男生数量,样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量,样本中的男生偏爱物理,女生也偏爱物理.
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查等高堆积条形图,考查学生对图形的认识,属于基础题.

    二、多选题
    9.设函数,则( )
    A.是偶函数 B.在单调递减
    C.最大值为2 D.其图像关于直线对称
    【答案】ABD
    【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式,然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.
    【详解】
    .
    选项A:,它是偶函数,本说法正确;
    选项B:,所以,因此是单调递减,本说法正确;
    选项C:的最大值为,本说法不正确;
    选项D:当时,,因此当时,函数有最小值,因此函数图象关于对称,本说法正确.
    故选:ABD
    【点睛】
    本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质,属于基础题.
    10.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:

    空调类
    冰箱类
    小家电类
    其它类
    营业收入占比
    90.10%
    4.98%
    3.82%
    1.10%
    净利润占比
    95.80%
    ﹣0.48%
    3.82%
    0.86%

    则下列判断中正确的是()
    A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
    B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
    C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
    D.剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
    【答案】ACD
    【解析】根据题意,分析表中数据,即可得出正确的选项.
    【详解】
    根据表中数据知,该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48,是亏损的,A正确;
    小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的,但收入与净利润不一定相同,B错误;
    该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%,是主要利润来源,C正确;
    所以剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低,D正确.
    故选:ACD.
    【点睛】
    本题考查了数据分析与统计知识的应用问题,考查了读表与分析能力,是基础题.
    11.在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是( )
    A.一定是各边的中点
    B.一定是的中点
    C.,且
    D.四边形是平行四边形或梯形
    【答案】CD
    【解析】根据线面平行的性质定理即可得解.
    【详解】
    解:由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.
    故选:.
    【点睛】
    本题考查线面平行的性质定理的应用,属于基础题.
    12.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

    A.直线与平面所成的角等于
    B.点C到面的距离为
    C.两条异面直线和所成的角为
    D.三棱柱外接球半径为
    【答案】ABD
    【解析】根据线面角的定义及求法,点面距的定义,异面直线所成角的定义及求法,三棱柱的外接球的半径求法,即可判断各选项的真假.
    【详解】
    正方体的棱长为1,
    对于A,直线与平面所成的角为,故选项A正确;
    对于B,因为面,点到面的距离为长度的一半,即,故选项B正确;
    对于C,因为,所以异面直线和所成的角为,而为等边三角形,故两条异面直线和所成的角为,故选项C错误;
    对于D,因为两两垂直,所以三棱柱外接球也是正方体的外接球,故,故选项D正确.
    故选:.
    【点睛】
    本题主要考查线面角的定义以及求法,点面距的定义以及求法,异面直线所成角的定义以及求法,三棱柱的外接球的半径求法的应用,属于基础题.


    三、填空题
    13.______.
    【答案】
    【解析】利用反三角函数的定义和性质,求得要求式子的值.
    【详解】


    .
    故答案为:.
    【点睛】
    本题主要考查反三角函数的定义和性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
    14.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是________________.
    【答案】6x-8y+1=0
    【解析】根据平移得到l1:y=k(x-3)+5+b和直线:y=kx+3-4k+b,解得k=,再根据对称解得b=,计算得到答案.
    【详解】
    由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,
    则直线l1:y=k(x-3)+5+b,平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2
    即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k= ,
    ∴直线l的方程为y=x+b,直线l1为y=x++b
    取直线l上的一点 ,则点P关于点(2,3)的对称点为 ,
    ,解得b=.
    ∴直线l的方程是 ,即6x-8y+1=0.
    故答案为:6x-8y+1=0
    【点睛】
    本题考查了直线的平移和对称,意在考查学生对于直线知识的综合应用.
    15.在我国古代数学名著《九章算术》中,把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱是一个“堑堵”,其中,点是的中点,则四棱锥的外接球的表面积为__________.
    【答案】
    【解析】先根据对称性确定四棱锥的外接球球心位置,再求球半径,最后代入球表面积公式即可.
    【详解】
    由题意得四边形为正方形,设其中心为,取中点则,即为四棱锥的外接球球心,球半径为,球表面积为.
    【点睛】
    涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
    16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(e+x)=f(e﹣x),且f(0)=0,当x∈(0,e]时,f(x)=lnx已知方程在区间[﹣e,3e]上所有的实数根之和为3ea,将函数的图象向右平移a个单位长度,得到函数h(x)的图象,,则h(7)=_____.
    【答案】
    【解析】根据题意可知函数f(x)是一个周期为2e的偶函数,即可作出函数f(x)在[﹣e,3e]上的图象,由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得的值,再利用二倍角公式化简函数,然后根据平移法则即可求得,从而求得.
    【详解】
    因为f(e+x)=f(e﹣x),所以f(x)关于x=e对称,又因为偶函数f(x),
    所以f(x)的周期为2e.
    当x∈(0,e]时,f(x)=lnx,于是可作出函数f(x)在[﹣e,3e]上的图象如图所示,
    方程的实数根是函数y=f(x)与函数的交点的横坐标,
    由图象的对称性可知,两个函数在[﹣e,3e]上有4个交点,且4个交点的横坐标之和为4e,所以4e=3ea,故a,
    因为,
    所以,
    故.
    故答案为:.

    【点睛】
    本题主要考查函数的性质应用,图象的应用,方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用,二倍角公式的应用,以及平移法则的应用,意在考查学生的转化能力和数形结合能力,属于中档题.

    四、解答题
    17.记为公差不为零的等差数列的前项和,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求的最大值及对应的大小.
    【答案】(1)(2)当或时,有最大值为20.
    【解析】(1)将已知条件转化为的形式列方程,由此解得,进而求得的通项公式.
    (2)根据等差数列前项和公式求得,利用配方法,结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.
    【详解】
    (1)设的公差为,且.
    由,得,
    由,得,
    于是,.
    所以的通项公式为.
    (2)由(1)得


    因为,
    所以当或时,
    有最大值为20.
    【点睛】
    本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式基本量的计算,考查等差数列前项和的最值的求法,属于基础题.
    18.已知函数
    (1)求的单调递增区间;
    (2)求在上的最小值及取最小值时的的集合.
    【答案】(1);(2)最小值为,的集合为.
    【解析】(1)利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出,然后解不等式,解此不等式即可得出函数的单调递增区间;
    (2)由求出的取值范围,结合正弦函数的基本性质得出函数的最小值,并求出对应的的值.
    【详解】
    (1),
    解不等式,
    得,
    因此,函数的单调递增区间为;
    (2),,
    当时,即当时,函数取得最小值.
    因此,函数的最小值为,对应的的集合为.
    【点睛】
    本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解,一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简,考查运算求解能力,属于中等题.
    19.如图所示的几何体中,为三棱柱,且平面ABC,,四边形ABCD为平行四边形,,.

    (1)求证:平面;
    (2)若,求四棱锥的体积.
    【答案】(1)证明见解析(2)
    【解析】(1)推导出,,由此能证明平面;
    (2)连结,则平面,四棱锥的体积:,由此能求出结果.
    【详解】
    (1)证明:四边形ABCD为平行四边形,,.
    ,
    ,
    几何体中,为三棱柱,且平面ABC,

    ,
    ,
    平面.
    (2)连结,
    平面,,
    平面,
    四棱锥的体积:



    .
    【点睛】
    本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    20.在平面直角坐标系中,已知椭圆:的焦距为2,且过点.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于,两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程:若不存在,说明理由.
    【答案】(1)(2)存在,
    【解析】(1)把点的坐标代入椭圆方程,利用椭圆中的关系和已知,可以求出椭圆方程;
    (2)设直线的方程,与椭圆方程联立,根据一元二次方程根与系数关系,结合已知和斜率公式,可以求出直线的方程.
    【详解】
    解:(1)由已知可得:解得,,,
    所以椭圆:.
    (2)由已知可得,,,∴,∵,
    设直线的方程为:,代入椭圆方程整理得
    ,设,,
    则,,
    ∵,∴.
    即,
    因为,,
    即.
    .
    所以,或.
    又时,直线过点,不合要求,所以.
    故存在直线:满足题设条件.
    【点睛】
    本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了垂心的概念,考查了数学运算能力.
    21.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
    月收入(单位百元)
    [15,25)
    [25,35)
    [35,45)
    [45,55)
    [55,65)
    [65,75)
    频数
    5
    10
    15
    10
    5
    5
    赞成人数
    4
    8
    12
    5
    2
    1

    (Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;

    月收入低于55百元的人数
    月收入不低于55百元的人数
    合计
    赞成



    不赞成



    合计




    (Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
    参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
    参考数据:
    P(K2≥k)
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828


    【答案】(Ⅰ)填表见解析,没有 (Ⅱ)
    【解析】(Ⅰ)由题意填表,计算K2,对照临界值得出结论 (Ⅱ)由分层抽样求出抽取的人数,列举法写出基本事件,计算概率即可.
    【详解】
    (Ⅰ)由题意填2×2列联表如下,

    月收入低于55百元的人数
    月收入不低于55百元的人数
    合计
    赞成
    29
    3
    32
    不赞成
    11
    7
    18
    合计
    40
    10
    50


    由表中数据,计算K26.27<6.635,
    所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
    (Ⅱ)用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在[15,25)内有62(人)记为A、B,在[25,35)有6﹣2=4(人),记为c、d、e、f;
    从这6人中抽取3人,基本事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20种,
    这3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种,
    故所求的概率值为P.
    【点睛】
    本题主要考查了列联表与独立性检验问题,古典概型的概率问题,属于中档题.
    22.已知函数在处取得极小值.
    (1)求实数的值;
    (2)若函数存在极大值与极小值,且函数有两个零点,求实数的取值范围.(参考数据:,)
    【答案】(1)或(2)
    【解析】(1)根据极值的定义,求出或,再对的两种取值分别进行验证;
    (2)由第(1)问先确定,得到,利用导数研究函数的单调性,即函数在上单调递增,在上单调递减,再结合零点存在定理的条件,得到参数的取值范围.
    【详解】
    解:(1)由题意得.
    因为函数在处取得极小值,
    依题意知,解得或.
    当时,,若,,则函数单调递减,
    若,,则函数单调递增,
    所以,当时,取得极小值,无极大值,符合题意.
    当时,,若或,,则函数单调递增;
    若,,则函数单调递减,所以函数在处取得极小值,处取得极大值,符合题意,
    综上,实数或.
    (2)因为函数存在极大值与极小值,所以由(1)知,.
    所以,.
    当时,,故函数在上单调递增,
    当时,令,则,所以当或时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    因为,
    ,所以当时,,故在上单调递减.
    因为函数在上有两个零点,所以,所以.
    取,;
    取,,
    所以,实数的取值范围是.
    【点睛】
    本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及零点存在定理的应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解过程中要做中脑中有图,充分利用数形结合思想分析和解决问题,同时注意分类讨论思想的运用.

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