2020届山东省聊城一中高三4月份线上模拟试题（解析版）

2020届山东省聊城一中高三4月份线上模拟试题

一、单选题

1．若集合，则集合中的元素个数为（    ）

A．5 B．6 C．4 D．3

【答案】D

【解析】由已知可得，问题得解.

【详解】

由已知，得：

；；满足题意，

所以，集合中有三个元素.

故选：D

【点睛】

本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集，属于基础题.

2．若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则复数的模等于（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】，因为是纯虚数，所以 ，那么 ，所以模等于3，故选C.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.

【详解】

因为

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

4．已知函数（为自然对数的底数），当的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可证在上为奇函数，排除A、C；再通过导函数研究单调性可到正确选项.

【详解】

函数

由

所以在上为奇函数，可排除A、C；

令得，

作出和在上的图象，如下

由图可知当或时即，

，在此区间上单调递增；

由图可知当时即，

，在此区间上单调递减.

由此可知，选项B满足要求.

故选：B

【点睛】

本题考查了函数奇偶性证明，考查了用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想，属于中档题.

5．已知，且，则的最小值为（   ）

A．4 B． C． D．

【答案】A

【解析】且，可知，所以．

，当且仅当 时等号成立．故选A．

6．将函数（其中）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则不可能等于（   ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，所以，因此，从而，可知不可能等于．

7．设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取的中点，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．

【详解】

取的中点，则，，.

，是的中点，，，

，，

，，.

故选：D．

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，确定是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

8．已知不等式对一切都成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】令，求导，分类讨论可得，，令，通过导数求出，问题得解.

【详解】

令，则

若，则，

在上单调递增，无最大值；

若，由得：

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时取得最大值

由题意可知，

，

令，则

由得

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

时，

的最小值为.

故选：C

【点睛】

本题考查了恒成立问题，考查了导数求最值，考查了分类讨论思想，属于难题.

二、多选题

9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【解析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.

【详解】

对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．

10．对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．存在，展开式中有常数项；

B．对任意，展开式中没有常数项；

C．对任意，展开式中没有的一次项；

D．存在，展开式中有的一次项.

【答案】AD

【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

【详解】

设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。

故答案选AD

【点睛】

本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题。

11．已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.

【详解】

由椭圆的定义，可得，又由， 解得，

又由在中，，可得，所以，

即椭圆的离心率的取值范围是.

故选：．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A．当时，

B．函数有3个零点

C．的解集为

D．，都有

【答案】BCD

【解析】设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项．

【详解】

解：（1）当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，A错；

∴ ，

（2）当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，B对；

（3）当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，C对；

（4）当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，D对；

故选：BCD．

【点睛】

本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．

三、填空题

13．若的展开式中第项为常数项，则______.

【答案】

【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得，从而得到 的值.

【详解】

解：的展开式中第项为
，再根据它为常数项，
可得，求得，
故答案为：.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14．设是数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】化简得，即是等比数列，然后求出的值

【详解】

，，，，

是首项为1，公比为2的等比数列，则，.

【点睛】

本题考查了求数列的前项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果

15．若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_____.

【答案】2

【解析】由已知结合点到直线距离公式得，再由即可求出离心率.

【详解】

双曲线的右焦点为，一条渐近线为，

由题意可得：

，

则双曲线的离心率

【点睛】

本题考查了求双曲线的离心率，要注意隐含条件的应用，属于中档题.

16．在中，为钝角，，函数的最小值为，则的最小值为________.

【答案】

【解析】整理可得，有已知可得，再由，问题得解.

【详解】

设，由已知可得：

当时取得最小值，即

由为钝角，得.

当时取最小值为，所以最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了求向量的模和向量数量积，考查了配方法求二次函数最值，考查了函数思想和计算能力，属于中档题.

四、解答题

17．已知，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．

【答案】（1）;（2）

【解析】【详解】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

（1）令，解不等式可得答案；（2）由

及0＜A＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中，从而可求

试题解析：（1）=

由得，

故所求单调递增区间为．

（2）由得，

∵，即，∴bc=2，

又△ABC中， =，当且仅当b=c=等号成立

∴

18．已知数列的前项和为，数列满足：

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前 n 项和的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）由已知得，可得等差数列，再由，得，，问题得解；

（2）由（1）得，整理可得，即是递增数列，再由得最小，问题得解.

【详解】

（1）由已知得：

，即

以为公差的等差数列，

，

，

是以为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）得

所以

所以是递增数列

因为当，

所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小

记数列的前 n 项和为，则.

【点睛】

本题考查了等差等比数列通项公式，定义法证明等比数列和数列单调性证明，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，

【解析】（1）由已知可得，所以，又由已知可证底面，所以，问题得解；

（2）以为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面的法向量为，平面的法向量为，所以有，求解即可.

【详解】

（1）由

是的中点，所以

因为平面，所以

在，，所以

因此

所以

则，即

平面，

又，底面

则，又，

所以平面.

（2）假设满足条件的点存在，并设，

以为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系

则：，

则

设平面的法向量为

取，则，

设平面的法向量为，

，

取

化简得：

于是满足条件的点G存在，且.

【点睛】

本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.

20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且△PF1F2的面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且（），当取得最小值时，求直线的方程.

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）根据的面积求得的值，再利用椭圆过点及，求得的值，从而求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，由直线和圆、椭圆都相交，求得，再利用弦长公式分别计算，，从而建立的函数关系式，当取得最小值时，可求得的值，从而得到直线的方程.

【详解】

解：（1）由的面积可得，即，∴．①

又椭圆过点，∴．②

由①②解得，，故椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，

由弦长公式可得．

将代入椭圆方程，得，

由判别式，解得．

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

设，，则，，

由弦长公式，得．

由，得．

∵，∴，则当时，取得最小值，

此时直线的方程为．

【点睛】

本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将与建立联系，从而使问题得到解决.

21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.

（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为，求的分布列和数学期望.

附：.

【答案】（Ⅰ）表格如解析所示，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关；（Ⅱ）X的分布列如解析所示，期望为 .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可填表格，再由公式计算,并且和比较大小，即可得出结论；（Ⅱ）根据层比为，分别得到年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，分别对这人分类标号，并通过列举法计算出所有可能出现的情况，即可求出X的分布列和期望值.

试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可得：

由列联表可得：，

所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．   

（Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，

所以年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，

则X的可能取值为0，1，2，

，

所以分布列为

数学期望为．

22．设函数，其中为正实数.

(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)当时，证明.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)讨论研究函数的单调性，求出函数在上的最大值．要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出．

(2)将原不等式等价变形为，由(1)可知，试证在时恒成立，即可由不等式性质证出．

【详解】

（1）由题意得

设，则，

①当时，即时， ，

所以函数在上单调递增，，满足题意；

②当时，即时，则的图象的对称轴

因为，

所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，不合题意．

综上可得，实数的取值范围是．

（2）等价于

因为，所以，所以原不等式等价于，

由(1)知当时，在上恒成立，整理得

令，则，

所以函数在区间上单调递增，

所以，即在上恒成立.

所以，当时，恒有，

【点睛】

本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．