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    2020届山东省济宁市第一中学高三下学期二轮质量检测数学试题(解析版)
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    2020届山东省济宁市第一中学高三下学期二轮质量检测数学试题(解析版)

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    2020届山东省济宁市第一中学高三下学期二轮质量检测数学试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则=

    A B C D

    【答案】C

    【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.

    【详解】

    由题意得,,则

    .故选C

    【点睛】

    不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.

    2.设复数z满足z在复平面内对应的点为(xy),则

    A B C D

    【答案】C

    【解析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(xy)和点(01)之间的距离为1,可选正确答案C

    【详解】

    .故选C

    【点睛】

    本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.

    3.若a>b,则

    Aln(ab)>0 B3a<3b

    Ca3b3>0 Da│>│b

    【答案】C

    【解析】本题也可用直接法,因为,所以,当时,,知A错,因为是增函数,所以,故B错;因为幂函数是增函数,,所以,知C正确;取,满足,知D错.

    【详解】

    ,满足,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C

    【点睛】

    本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.

    4.已知,那么 的( 

    A充分不必要条件 B必要不充分条件

    C充要条件 D既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【解析】

    ,解得

    的必要不充分条件

    故选B

    点睛:充分、必要条件的三种判断方法.

    1.定义法:直接判断的真假.并注意和图示相结合,例如为真,则的充分条件.

    2.等价法:利用与非与非与非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.

    3.集合法:若,则的充分条件或的必要条件;若,则的充要条件.

    5.双曲线C=1的右焦点为F,点PC的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则PFO的面积为

    A B C  D

    【答案】A

    【解析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.

    【详解】

    PC的一条渐近线上,不妨设为在上,

    ,故选A

    【点睛】

    忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积.

    6.已知正项等比数列满足:,若存在两项使得,则的最小值为

    A B C D

    【答案】A

    【解析】本题首先可以通过等比数列的相关性质以及求出数列的通项公式,然后通过得出,最后将转化为并利用基本不等式即可得出结果。

    【详解】

    因为数列是正项等比数列,

    所以

    所以

    因为,所以

    ,当且仅当“=”成立,

    所以的最小值为,故选A

    【点睛】

    本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质,等比数列的通项公式是,等比中项,基本不等式有,考查公式的使用,考查化归与转化思想,是中档题。

    7.已知四棱锥平面.若四面体的四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(  

    A B C D

    【答案】C

    【解析】的中点为的中点为,可知点为四面体外接球的球心,进而根据垂直关系利用边长求解即可.

    【详解】

    因为,所以四点共圆,.

    ,得,所以.

    的中点为的中点为,因为平面,所以平面.

    易知点为四面体外接球的球心,所以.

    故选C

    【点睛】

    解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径 .

    8.如图,在中,上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为(   )

    A B C3 D

    【答案】D

    【解析】运用平面向量基本定理,得到m的值,结合向量模长计算方法,建立等式,计算最值,即可.

    【详解】

    ,得到,所以,结合

    的面积为,得到,得到,所以

    ,故选D

    【点睛】

    考查了平面向量基本定理,考查了基本不等式的运用,难度偏难.

     

    二、多选题

    9.如图,在以下四个正方体中,直线与平面垂直的是(    

    A B

    C D

    【答案】BD

    【解析】采用逐一验证法,结合线线位置关系以及线面垂直的判定定理,可得结果.

    【详解】

    对于A,由所成角为

    可得直线与平面不垂直;

    对于B,由

    可得平面

    对于C,由所成角为

    可得直线与平面不垂直;

    对于D,连接,由平面

    可得,同理可得

    ,所以平面.

    故选:BD

    【点睛】

    本题考查线线位置关系,还考查线面垂直的判定定理,属基础题.

    10科技引领,布局未来科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年,某企业连续12年累计研发投入达4100亿元,我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图,下列结论正确的有(   

    A2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大

    B2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小

    C.该企业连续12年来研发投入逐年增加

    D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加

    【答案】ABC

    【解析】根据图形给出的信息,分析判断即可.

    【详解】

    对于选项A2012年至2013年研发投入占营收比增量为2017年至2018年研发投入占营收比增量为,所以该选项正确;

    对于选项B2013年至2014年研发投入增量为22015年至2016年研发投入增量为19,所以该选项正确;

    对于选项C,该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的;

    对于选项D,该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加,如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的.

    故选:ABC

    【点睛】

    本题考查命题真假的判断,考查折线图等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.

    11.将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则下列关于函数的说法正确的是(   

    A.最大值为,图象关于直线对称

    B.图象关于y轴对称

    C.最小正周期为

    D.图象关于点对称

    【答案】BCD

    【解析】利用函数的图象变换规律,求得的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,得出结论.

    【详解】

    将函数的图象向左平移个单位长度,

    得到的图象;

    再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,对于函数,它的最大值为,由于当时,,不是最值,故的图象不关于直线对称,故A错误;

    由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;

    它的最小正周期为,故C正确;

    时,,故函数的图象关于点对称,故D正确.

    故选:BCD

    【点睛】

    本题主要考查函数的图象变换规律,余弦函数的图象和性质,属于中档题.

    12.已知函数的导函数的图象如图所示,则下列判断正确的是(   

    A.函数在区间内单调递增

    B.当时,函数取得极小值

    C.函数在区间内单调递增

    D.当时,函数有极小值

    【答案】BC

    【解析】利用的区间是增区间,使的区间是减区间,导数等于零的值是极值,先增后减是极大值,先减后增是极小值分别对选项进行逐一判定.

    【详解】

    对于A,函数在区间内有增有减,故A不正确;

    对于B,当时,函数取得极小值,故B正确;

    对于C,当时,恒有,则函数在区间上单调递增,故C正确;

    对于D,当时,,故D不正确.

    故选:BC

    【点睛】

    本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性,以及极值问题,属于易错题.

     

     

    三、填空题

    13.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为_____

    【答案】1200

    【解析】先求出高三年级出去的人数和所占比例,再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.

    【详解】

    解:由题意知高三年级抽取了

    所以该校学生总人数为

    故答案为1200.

    【点睛】

    本题考查了分层抽样,属于基础题.

    14.已知的展开式的所有项系数之和为27,则实数______,展开式中含的项的系数是______.

    【答案】2    23   

    【解析】x=1代入表达式可得到各项系数之和,按照展开式的系数的公式得到的系数之和.

    【详解】

    已知的展开式的所有项系数之和为27,x=1代入表达式得到

    展开式中含的项的系数是

    故答案为:(1). 2(2). 23.

    【点睛】

    求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可;(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.

    15中国梦的英文翻译为,其中又可以简写为,从中取6个不同的字母排成一排,含有字母组合(顺序不变)的不同排列共有______.

    【答案】600

    【解析】根据题意,分2步进行分析:先从从其他5个字母中任取4个,再将ea看成一个整体,与选出的4个字母全排列,由分步计数原理计算可得答案.

    【详解】

    根据题意,分2步进行分析:先从其他5个字母中任取4个,有(种)选法,再将看成一个整体,与选出的4个字母全排列,有(种)情况,则不同的排列有(种).

    故答案为:600

    【点睛】

    本题考查排列、组合的实际应用,注意将ea”看成一个整体,属于中档题.

    16.若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______

    【答案】

    【解析】函数的定义域为,求出导函数,利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线,解得,联立解得的值.

    【详解】

    解:函数的定义域为

    设曲线与曲线公共点为

    由于在公共点处有共同的切线,,解得

    ,可得

    联立,解得

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.

     

    四、解答题

    17.已知数列中,.

    1)求证:数列是等比数列;

    2)求数列的前项和.

    【答案】1)证明见解析

    2

    【解析】(1)根据求得,化简成含的表达式再得即可.

    (2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,再根据分组求和求解即可.

    【详解】

    1)证明:因为

    所以,

    又因为,,

    所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.

    2)由(1)知,所以,

    所以

    【点睛】

    本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.

    18.在中,内角的对边分别为,且.

    1)求

    2)若的面积为,求的周长

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据余弦定理直接求解可得,进而可得

    2)由正弦定理角化边可得,再利用面积公式求解即可.

    【详解】

    1)因为,所以

    所以,从而.

    2)因为,所以,即.

    因为的面积为,所以,即,所以

    解得.

    【点睛】

    本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形,属于基础题.

    19.已知如图1直角梯形E的中点,沿将梯形折起(如图2),使平面平面.

    1)证明:平面

    2)在线段上是否存在点F,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.

    【答案】1)见解析;(2)存在,F中点

    【解析】1)连接,则,由平面平面可得平面,可得,可证平面

    2)建立空间直角坐标系,设,根据二面角的向量计算公式即可求出.

    【详解】

    1)证明  连接,则

    又平面平面,平面平面平面

    所以平面

    所以.

    平面

    所以平面.

    2)(1)得平面,所以.

    所以两两垂直,

    分别以方向为xyz轴正方向,建立空间直角坐标系,

    如图所示,

    所以

    设平面的法向量为

    ,得.

    取平面的法向量为.

    所以

    所以.

    所以线段上存在点F,且F中点时,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

    【点睛】

    本题主要考查了线面垂直的判定与性质,二面角的向量求法,属于中档题.

    20.已知椭圆的离心率为,且椭圆C过点

    (1)求椭圆C的标准方程;

    (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于AB两点,且与圆:交于EF两点,求的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】(1)本题首先可以通过离心率为得到,再将点带入椭圆方程中即可得出结果;

    (2)首先可以通过椭圆方程来确定椭圆的右焦点坐标,然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论,分别求出在两种情况下的取值范围,最后即可得出结果。

    【详解】

    1)由已知可得,所以

    所以椭圆的方程为,将点带入方程得,即

    所以椭圆C的标准方程为

    2)椭圆的右焦点为

    若直线的斜率不存在,直线的方程为

    所以

    若直线的斜率存在,设直线方程为,设

    联立直线与椭圆方程,可得

    所以

    因为圆心到直线的距离,所以

    所以

    因为,所以

    综上,

    【点睛】

    本题考查了椭圆的相关性质,主要考查了椭圆的标准方程的求法以及椭圆与直线位置关系的应用,考查了化归与转化思想,考查了分类讨论思想,考查了韦达定理的使用,考查了计算能力,是难题。

    21.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按分成6组,其频率分布直方图如图所示.

    1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;

    2)将网购消费金额在20千元以上者称为网购迷,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为网购迷与性别有关系

     

    合计

    网购迷

     

    20

     

    非网购迷

    45

     

     

    合计

     

     

    100

     

    3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:

     

    网购总次数

    支付宝支付次数

    银行卡支付次数

    微信支付次数

    80

    40

    16

    24

    90

    60

    18

    12

     

    将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望.

    附:观测值公式:

    临界值表:

    0.01

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

     

     

    【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析;(3)

    【解析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为,得网购迷共有35人,列出列联表计算即可得出结论;(3) 设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,据题意得,计算,由,即可求解

    【详解】

    1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为

    2个小矩形的面积之和为,所以中位数位于区间.

    设直方图的面积平分线为,则,得,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.

    2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为

    所以网购迷共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15.

    所以补全的列联表如下:

     

    合计

    网购迷

    15

    20

    35

    非网购迷

    45

    20

    65

    合计

    60

    40

    100

     

    因为,查表得

    所以有97.5%的把握认为网购迷与性别有关系”.

    3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.

    设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,据题意,.

    所以.

    因为,则,所以的数学期望为.

    【点睛】

    本题考查频率分布直方图,独立性检验,二项分布,熟记公式准确计算是关键,是中档题

    22.已知函数

    1)讨论的单调性;

    2)当时,设,证明:

    【答案】1)见解析(2)见解析

    【解析】分析:(1)先求出导函数,分类讨论当和当时导函数的符号,判断单调区间。

    2)通过构造函数gx),利用导函数研究gx)的单调性,利用函数的单调性,求出函数的最大值,不等式得证.

    详解:

    解:(1

    时,,则上单调递增.

    时,令,得,则的单调递增区间为

    ,得,则的单调递减区间为

    2)证明:(法一)设,则

    ;由

    从而得

    (法二)

    ,则

    ;由

    点睛:本题考查利用导函数求函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值、通过构造函数证明不等式、分类讨论的数学思想方法在解题中的综合应用。高考中常考压轴题,属于难题。

     

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