2020届山东省济南市高三下学期4月模拟考试数学试题
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2020年高三模拟考试
数学试题
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集，集合A＝，则＝
A． B． （0，1） C． D．
2.设复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位:kg）约为
（参考数据:取重力加速度大小为）
A． 63 B． 69 C． 75 D．81
4.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是
A．
B．
C．
D.
5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为
A． 甲 B． 丙 C． 戊 D．庚
6.已知抛物线的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q。若
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是
A． B． C． D．
8.已知直线与曲线有且只有两个公共点，其中，则＝
A． B． 0 C． 1 D．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图。
下列说法正确的是
A.2008年原油价格波动幅度最大
B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小
C.2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值
D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶
10.已知符号函数下列说法正确的是
A.函数是奇函数
B.对任意的
C.函数的值域为
D.对任意的
11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱上的动点（点P不与点C，C1重合），过点P作平面分别与棱ABC，CD交于M，N两点，若，则下列说法正确的是
A．
B． 存在点P，使得
C． 存在点P，使得点A1到平面的距离为
D．用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12.已知函数，下列说法正确的是
A.是周期函数
B.在区间上是增函数
C.若，则
D.函数在区间上有且仅有1个零点
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知则的值为______________
14.已知双曲线的渐近线与圆（相切，则该双曲线的离心率为_____________
15.已知是夹角为的单位向量，若，则的最大值为__________
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A，B距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题:
如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为_____;若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为_____________（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17.（10分）
若数列满足，则称数列为等方差数列，为公方差。
（1）已知数列分别满足，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）;
（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列的前n项和Sn
18.（12分）
如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为的圆上，且
（1）求BD的长度；
（2）若，求△ABD的面积
19.（12分）如图1，平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使，连接BD，得到如图2所示的三棱锥
（1）证明:
（2）已知直线DE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值
20.（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2
（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；
请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？
（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。
（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）平台规定，当积分超过10 000分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家称号
21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，
①已知点，直线:，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为
②已知圆C的方程为，直线为圆C的切线，记点到直线的距离分别为，动点P满足
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围。
22.（12分）已知函数，且曲线在处的切线斜率为1.
（1）求实数a的值；
（2）证明:
（3）若数列满足，且，证明:
