2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟数学试题（解析版）

2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟数学试题

一、单选题

1．若,则下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵

∴设

代入可知均不正确

对于，根据幂函数的性质即可判断正确

故选D

2．设，则是为纯虚数的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】设，则，，分充分性和必要性进行讨论即可.

【详解】

解：设，则，

若，则，，当，则，不是纯虚数

若为纯虚数，则，，此时成立

所以是为纯虚数的必要不充分条件

故选B.

【点睛】

本题考查了复数的有关概念，充分必要条件的判断，属于基础题.

3．如图,在底面半径和高均为的圆锥中,､是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据圆锥的性质,建立坐标系,确定抛物线的方程,计算出的长度,结合直角三角形的关系进行求解即可.

【详解】

如图所示,

过点作,垂足为.

∵ 是母线的中点,圆锥的底面半径和高均为,

∴  =.

∴ =.

在平面内建立直角坐标系如图.

设抛物线的方程为=.

,为抛物线的焦点.

,∴=.

解得=..

即,

∵ =,=,

∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为

故选：D

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程，解题的关键是建立坐标系，属于中档题.

4．若不等式对上恒成立，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】将不等式看作两个因式，和，先讨论的正负，确定对应区间，再对的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解

【详解】

解析：

法一：

由题意可知：当，，当，，故当，，当，，

即有，故选B；

法二：

由右图像可得：显然有，

故选B

【点睛】

本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究

二、填空题

5．已知集合，，则_________．

【答案】

【解析】利用交集的概念及运算即可得到结果.

【详解】

解：取集合的公共部分即可，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查集合的运算，意在考查学生对基本知识的掌握情况.

6．不等式的解集是________

【答案】

【解析】利用公式法求得绝对值不等式的解集.

【详解】

由得，所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.

7．半径为1的球的表面积为________.

【答案】

【解析】由球的表面积公式即可得到答案.

【详解】

,

,

，

故答案为:

【点睛】

本题考查球的表面积公式;属于基础题.

8．已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和=________.

【答案】

【解析】利用等差数列前项和公式直接求解.

【详解】

∵ 等差数列的首项为,公差为,

∴ 该数列的前项和=.

故答案为：

【点睛】

本题考查了等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

9．函数的反函数是________.

【答案】=

【解析】将转化为用表示的算式,进而可得答案.

【详解】

由 可得:=,,

∴ 的反函数是:=,

故答案为：=

【点睛】

本题考查了反函数的定义，解题时需注意反函数的定义域，属于基础题.

10．计算:________.

【答案】

【解析】可将分子分母同除以再利用和极限的四则运算法则即可求解.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列极限以及极限的四则运算法则，属于基础题.

11．在的展开式中常数项为_____________．

【答案】

【解析】先求出的展开式的通项，令求出r的值即得解.

【详解】

由题得的展开式的通项为，

令

所以展开式的常数项为.

故答案为：160

【点睛】

本题主要考查二项式展开式常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．若双曲线的一个顶点坐标为,焦距为,则它的标准方程为________.

【答案】

【解析】根据顶点坐标求得,根据焦距求得,进而根据=求得,进而求得双曲线的标准方程.

【详解】

依题意可知=,=

∴

根据顶点坐标可知焦点在轴,

∴ 双曲线的方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了由求双曲线的标准方程，需熟记，属于基础题.

13．已知,,若直线=与直线=互相垂直,则的最大值等于________.

【答案】

【解析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得=,变形可得=,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.

【详解】

根据题意,若直线=与直线=互相垂直,

则有=,变形可得=,

则,当且仅当=时,等号成立;

即的最大值为,

故答案为：

【点睛】

本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.

14．已知函数是定义在上的周期为的奇函数.当时,=,则实数的值等于________.

【答案】

【解析】根据函数的周期为,奇函数,又已知当时的解析式,故=且==推出=,解出即可.

【详解】

∵ 函数是定义在上的周期为的奇函数.

当时,=,

∴ =且==,

∴ =,即===,

∴ =.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性和周期性求参数值，属于基础题.

15．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.

【答案】

【解析】根据题意,按甲乙两人是否被选中分种情况讨论,求出每一种情况的选派方法数目,由加法原理计算可得答案.

【详解】

根据题意,分种情况讨论:

①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;

②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;

③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,

需要在剩下人中选出人,有种选法,选出人的安排方法有种,

则此时有=种选派方法;

故一共有=种选派方法;

故答案为：

【点睛】

本题考查了排列、组合、分步计数原理以及分类计数原理，考查了分类讨论的思想。属于基础题.

16．正方形的边长为,是正方形的中心,过中心的直线与边交于点,与边交于点,为平面上一点,满足,则的最小值为________.

【答案】

【解析】建立坐标系,根据,求出点坐标,设出,坐标分别为,,将转化为关于,的函数,即可得到其最小值.

【详解】

以为坐标原点,以过且平行于的直线为轴,

以过且垂直于的直线为轴建立坐标系,则,,

∴=,

∴

即点坐标为,

设,则,,

∴,

∴=,

当=且时,有最小值.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积的坐标运算，同时考查了二次函数配方求最值，属于中档题.

三、解答题

17．在直三棱柱中，，，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求直线与平面的距离.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.

（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.

【详解】

(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.

因为，，，

所以平面，所以.

中，，所以，

所以异面直线与所成角的大小为.

(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，

设到平面的距离为，因为，

，可得，

直线与平面的距离为.

【点睛】

异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.

18．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值．

【答案】（1），;（2），．

【解析】试题分析：（1）利用两角和与二倍角公式对函数解析式化简成为的形式，利用三角函数的图象和性质求得最小正周期，由就可求得函数的单调递减区间；

（2）由（1）及已知条件可求出角C的大小，再由由正弦定理可得，又因为，所以由余弦定理可再得到一个关于的方程，从而通过解方程组就可求出的值．

试题解析：（1）， 3分

则最小正周期是； 5分；

由，得

的单调递减区间， 8分

（2），则， 9分

，，所以，

所以，， 11分

因为，所以由正弦定理得， ① 12分

由余弦定理得，即② 11分，由①②解得：，． 14分

【考点】1.三角恒等变形公式;2.三角函数的图象和性质;3.正弦定理和余弦定理.

19．某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升. 

(1)欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围;

(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.

【答案】（1）;（2）=,(其中); 最小值为升.

【解析】(1)令,求出解集,结合题意得出的取值范围;

(2)写出关于的函数,求出函数的最小值即可.

【详解】

（1）由题意,令,

化简得,解得;

又因为,

所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;

（2）设该汽车行驶公里的油耗为;

则=,(其中);

由,知,

所以=时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值，属于基础题.

20．已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆. 

(1)求圆的方程;

(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点､,求证:为定值;

(3)若点是椭圆Γ上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为.是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

【答案】（1）=;（2）；（3）不存在点,使得，见解析

【解析】(1)由题意得:,,即可求出圆的方程;

(2)由题意可知:,,设,则,,求出直线的方程是,从而求出点坐标,同理求出点坐标,再利用点在椭圆上,坐标满足椭圆方程,即可化简出为定值;

(3)显然直线的斜率存在,设其方程为:=,代入椭圆方程得到=,再利用根与系数的关系和弦长公式求出的长,再利用构造直角三角形用勾股定理算出的长,假设存在点,使得,则=,所以,化简得:=,此方程在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点,使得.

【详解】

（1）由题意得:,,

∴ 圆的圆心为原点,半径为,

∴  圆的方程是=;

（2）由题意可知:,,设,则,,

∴ 直线的方程是:,∴点,同理点,

又∵ 点在椭圆上,∴

∴ ,

（3）显然直线的斜率存在,设其方程为:=,

联立方程,化简得:=,

设,则,

所以,

因为圆心到直线的距离,

所以=,

假设存在点,使得,则=,

所以,化简得:=,此方程在实数范围内无解,

故原假设错误,即不存在点,使得.

【点睛】

本题考查了椭圆的性质、圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.

21．已知无穷数列,,满足:对任意的,都有=,=,=.记=(表示个实数,,中的最大值). 

(1)若=,=,=,求,,的值;

(2)若=,=,求满足=的的所有值;

(3)设,,是非零整数,且,,互不相等,证明:存在正整数,使得数列,,中有且只有一个数列自第项起各项均为.

【答案】（1）=,=,=.（2）,,,.（3）见详解

【解析】(1)由题意代入分别求出,,的值;

(2)设=,的值,讨论的函数表达式,进而得出,,,,,都用表示,进而求出所有的的值;

(3)分类讨论:先,,都不为零,由题意得出矛盾;所以存在正整数,使,,中至少有一个为零,再讨论两个为零得出矛盾,以此类推,即有:对,=,=,=,,此时有且仅有一个数列自项起各项均为.

【详解】

（1）由题意:===;===;===;以此类推,看得出=,=,=.

（2）若=,=,=,则=,=,=,

,=,

=,=,

当时,=,=,=,=,由=,得=,不符合题意.

当,=,=,=,,由=,

得=,符合题意.

当,=,=,=,

由=,得=,符合题意,

综上的取值是:,,,.

（3）先证明：存在正整数,使,,,中至少有一个为零,

假设对任意正整数,

,,都不为零,由,,是非零整数,且,,互不相等,得,,

若对任意,,,都不为零,则.即对任意,.

当时,=,=,=,

所以=,所以单调递减,由为有限正整数,所以必存在正整数,使得,矛盾,

所以存在正整数,使,,中至少有一个为零,

不妨设=,且,…,则=,且=,

否则若==,因为=,

则必有===,矛盾.

于是,=,=,且=,所以,=,

=,==,

以此类推,即有:对,=,=,=,,

此时有且仅有一个数列自项起各项均为.

综上:结论成立.

【点睛】

本题考查了数列中的新定义，考查了反证法以及分类讨论的思想，此题是数列中的综合题，属于难题.