2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】

由，解得，故.依题意，所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（    ）

A． B．4 C． D．16

【答案】D

【解析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.

【详解】

，

 .

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养

C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强

【答案】D

【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.

【详解】

对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，

故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，

故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；

对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为

，

乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；

对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；

故选：D

【点睛】

本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.

【详解】

由，以及，解得.

.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.

5．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（    ）

A． B．-2 C． D．2

【答案】A

【解析】设，用表示出，求出的值即可得出答案.

【详解】

设

由

，

，

.

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.

6．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.

【详解】

如图，连接，

椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，

B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，

直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点

为的中位线，

，且，

，

解得椭圆的离心率.

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：

记为每个序列中最后一列数之和，则为（    ）

A．147 B．294 C．882 D．1764

【答案】A

【解析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.

【详解】

依题意列表如下：

所以.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

8．已知函数为奇函数，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.

【详解】

依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（    ）

A．4 B．8 C．9 D．27

【答案】D

【解析】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，

作正四面体的高为，

则，

，

，

设内切球的半径为，内切球的球心为，

则，

解得：；

设外接球的半径为，外接球的球心为，

则或，，

在中，由勾股定理得：

，

，解得，

，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.

10．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（    ）

A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

【答案】D

【解析】先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.

【详解】

依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.

11．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（    ）

A． B．16 C． D．

【答案】C

【解析】根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.

【详解】

由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

12．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.

【详解】

.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

二、填空题

13．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=）

【答案】>

【解析】根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.

【详解】

，故

.

，

.

要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得

①，

由于为互不相等的正实数，故，也即

，也即.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.

14．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.

【答案】

【解析】利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.

【详解】

由，

由正弦定理可得，

即，

整理可得，

又因为，所以，

因为，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.

15．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.

【答案】

【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由双曲线C：（，，

可得一条渐近线，一个顶点，

所以，解得，

则，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

16．若奇函数满足，为R上的单调函数，对任意实数都有，当时，，则________.

【答案】

【解析】根据可得函数以为周期的函数，令，可求，从而可得，代入解析式即可求解.

【详解】

令，则，

由，则，

所以，解得，

所以，

由时，，

所以时，；

由，所以，

所以函数以为周期的函数，   

，

又函数为奇函数，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.

（1）求数列的前n项和；

（2）若，求数列的前n项和为.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.

（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

（1），且，，依次成等比数列，，

即：，，，

，，

；

（2），

.

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

18．在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.

【详解】

（1）在中，由正弦定理可得：，

，

底面，

平面，

；

（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，

设平面的法向量为，由可得：，令，则，

设平面的法向量为，由可得:，令，则，

设二面角的平面角为，由图可知为钝角，

则，

，故二面角的正弦值为.

【点睛】

本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19．已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．

（1）证明：点始终在直线上且；

（2）求四边形的面积的最小值．

【答案】（1）见解析（2）最小值为32．

【解析】（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.

（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．

【详解】

(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，

设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，

由①②可得：，

直线方程为：，联立可得：，

，∴点始终在直线上且；

（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，

，

∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为32.

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.

20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：其中，.

【答案】（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效

【解析】（1）根据散点图即可判断出结果.

（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.

（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.

【详解】

（1）根据散点图可知：

适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；

（2）设，则，

，

，

；

（3）（ⅰ）时，，，

当时，，，

当时，，，

所以（2）的回归方程可靠：

（ⅱ）当时，，

10150远大于7111，所以防护措施有效.

【点睛】

本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.

21．已知函数，其中．

（1）讨论函数的零点个数；

（2）求证：．

【答案】（1）时，有一个零点；当且时，有两个零点；（2）见解析

【解析】（1）利用的导函数，求得的最大值的表达式，对进行分类讨论，由此判断出的零点的个数.

（2）由，得到和，构造函数，利用导数证得，即有，从而证得，即.

【详解】

（1），

∴当时，，当时，在上递增，在上递减，.

令在上递减，在上递增，，当且仅当时取等号．

①时，有一个零点；

②时，，此时有两个零点； 

③时，，令在上递增，，此时有两个零点；

综上:时，有一个零点;当且时，有两个零点;

（2）由（1）可知：，

令在上递增，．

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.

（1）求与的极坐标方程

（2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值.

【答案】（1）的极坐标方程为；的极坐标方程为：（2）

【解析】（1）根据，代入即可转化.

（2）由：，可得，代入与的极坐标方程求出，从而可得，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.

【详解】

（1）：，，

的极坐标方程为

：，，

的极坐标方程为：，

（2）：，则（为锐角），

，，

，当时取等号.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

23．已知函数，设的最小值为m.

（1）求m的值；

（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.

（2）由，利用基本不等式即可求出.

【详解】

（1）

；

（2），

若，同号，，不成立；

或，异号，，不成立；

故不存在实数，，使得，.

【点睛】

本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.