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    2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(理)试题(解析版)

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    2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.复数的虚部记作,则   

    A-1 B0 C1 D2

    【答案】A

    【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简,再根据题目中定义的复数的虚部,可得答案.

    【详解】

    解:

    又复数的虚部记作

    故选:

    【点睛】

    本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义,属于基础题.

    2.执行如图所示的程序框图,输出的值为(   )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】程序框图的作用是计算,故可得正确结果.

    【详解】

    根据程序框图可知,故选C.

    【点睛】

    本题考查算法中的选择结构和循环结构,属于容易题.

    3.关于函数的性质,下列叙述不正确的是( )

    A的最小正周期为

    B是偶函数

    C的图象关于直线对称

    D在每一个区间内单调递增

    【答案】A

    【解析】试题分析:因为,所以A错;,所以函数是偶函数,B正确;由的图象可知,CD均正确;故选A.

    【考点】正切函数的图象与性质.

    4.已知,则的(   

    A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

    C.充要条件              D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】试题分析:时,由不等式性质可得;当,满足,但不满足,所以的充分不必要条件,故选A.

    【考点】1.不等式性质;2.充要条件.

    5.如果的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值是(   

    A3 B4 C5 D6

    【答案】C

    【解析】利用二项展开式的通项公式中的指数为0,得到,由此可得正整数n的最小值是5.

    【详解】

    因为的展开式的通项公式为,,

    ,,因为,所以,取最小值.

    故选:

    【点睛】

    本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.

    6.在约束条件:下,目标函数的最大值为1,则ab的最大值等于(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数取得最大值,确定的关系,利用基本不等式求的最大值.

    【详解】

    解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分),

    ,则,平移直线,由图象可知当直线经过点时直线的截距最大,此时最大为1

    代入目标函数

    当且仅当时取等号,

    的最大值等于

    故选:

    【点睛】

    本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法.

    7.设{an}是有正数组成的等比数列,为其前n项和.已知a2a41S37,则S5=( )

    A B C D

    【答案】B

    【解析】由等比数列的性质易得a31,进而由求和公式可得q,再代入求和公式计算可得.

    【详解】

    由题意可得a2a4a321a31

    {an}的公比为q,则q0

    S317,解得qq(舍去),

    a14S5

    故选B.

    【点睛】

    本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.

    8.用数字0123456组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有(  

    A288        B306        C324        D342

    【答案】C

    【解析】试题分析:当个位、十位、百位全为偶数时,有;当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时,有,所以共有,故选C.

    【考点】1.分类计数原理与分步计数原理;2.排列与组合.

    【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题,属难题;计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步,分类要按时同一个的标准进行,要做到不重不漏,分类运算中的每一类根据实际情况,要分步进行.

    9.已知函数都有,且其导函数满足当,,则当时,有(   

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】根据导函数满足当,,可得上递减,上递增,可得为最小值,再根据对称轴和单调性可得,从而可知选D

    【详解】

    因为函数都有,

    所以的图象关于对称,

    又当,,,,

    所以上递减,上递增,

    所以,函数取得最小值,

    因为,所以,,

    所以,

    所以,

    所以,

    所以,

    所以.

    故选:D

    【点睛】

    本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.

    10.对圆上任意一点的取值与xy无关,则实数a的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】首先将的取值与xy无关,转化为圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,继续转化为直线必与圆相离或相切,且圆在之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且,解不等式组可得答案.

    【详解】

    因为的取值与xy无关,

    所以的取值与xy无关,

    所以的取值与xy无关,

    即圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,

    因为圆心到直线的距离为,

    所以直线与圆相离,

    所以直线必与圆相离或相切,且圆在之间,

    所以,,

    所以,

    所以.

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线必与圆相离或相切,且圆在之间是解题关键,属于中档题.

    11.若满足,,则的最大值为(   

    A10 B12 C D

    【答案】B

    【解析】,表示出利用向量的数量积的定义求出最值.

    【详解】

    解:设,则

    当且仅当同向时取最大值

    故选:

    【点睛】

    本题考查向量的数量积的定义,属于中档题.

    12.已知棱长为3的正方体,是棱AB的中点,,动点P在正方形(包括边界)内运动,且,则PC的长度范围为(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】如图:先作出过且与平面平行的平面,可知点的轨迹为,然后根据平面几何知识求出的最小值和最大值,根据勾股定理可求出的取值范围.

    【详解】

    如图所示:

    上取点,使得,连接,因为,所以;

    的中点,连接,因为的中点,所以;

    因此平面平面,

    ,则四点共面,,

    因为平面,所以点在线段上运动,

    连接,根据正方体的性质可知,

    所以,

    在平面,,,,所以,

    ,所以点的距离为,

    所以的最小值为,最大值为,

    所以的最小值为,最大值为.

    所以的取值范围是.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点的运动轨迹,属于中档题.

     

     

    二、填空题

    13.命题的否定为__________

    【答案】

    【解析】全称命题的否定是存在性命题,所以的否定是

    14

    在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组(即第五组)的频数为    .

    【答案】360

    【解析】

    15.设分别是抛物线的顶点和焦点,是抛物线上的动点,则的最大值为__________.

    【答案】

    【解析】试题分析:设点的坐标为,由抛物线的定义可知,,则,令,则,,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为.

    【考点】1.抛物线的定义及几何性质;2.基本不等式.

    【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式,属中档题;求圆锥曲线的最值问题,可利用定义和圆锥曲线的几何性质,利用其几何意义求之,也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示,即求出其目标函数,利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.

    16.已知,则的最小值为    

    【答案】

    【解析】试题分析:因为,所以,则

    (当且仅当,即时,取等号);故填

    【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题,属于难题;解决本题的关键是消元、裂项,难点是合理配凑、恒等变形,目的是出现基本不等式的使用条件(正值、定积),再利用基本不等式进行求解,但要注意验证等号成立的条件.

    【考点】基本不等式.

     

    三、解答题

    17.设的内角所对的边分别为,已知,.

    1)求角的大小;

    2)若向量共线, 的值.

    【答案】(1);(2)

    【解析】试题分析:1)根据三角恒等变换,,可解得;(2)由共线,

    ,再由正弦定理,得,在根据余弦定理列出方程,即可求解的值.

    试题解析:(1,

    ,解得.

    2共线,, 由正弦定理,,①

    ,由余弦定理,得, ② 联立①②,.

    【考点】正弦定理;余弦定理.

    18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为古文迷,否则为非古文迷,调查结果如表:

     

    古文迷

    非古文迷

    合计

    男生

    26

    24

    50

    女生

    30

    20

    50

    合计

    56

    44

    100

     

        )根据表中数据能否判断有的把握认为古文迷与性别有关?

        )现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查,求所抽取的5人中古文迷非古文迷的人数;

        )现从()中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查,记这3人中古文迷的人数为,求随机变量的分布列与数学期望.

    参考公式:,其中

    参考数据:

    0.50

    0.40

    0.25

    0.05

    0.025

    0.010

    0.455

    0.708

    1.321

    3.841

    5.024

    6.635

     

     

    【答案】I)没有的把握认为古文迷与性别有关;(II古文迷的人数为3非古文迷2;(III)分布列见解析,期望为.

    【解析】试题分析:

    试题解析:

    试分析:(1)由列联表,求得的值,即可作出结论;

    2)调查的50名女生中古文迷30人,非古文迷20人,按分层抽样的方法即可抽得结果.

    3)由为所抽取的3人中古文迷的人数,的的所有取值为12,3,进而得到取每个值的概率,列出分布列,求解数学期望.

    试题解析:(I)由列联表得

    所以没有的把握认为古文迷与性别有关.

    II)调查的50名女生中古文迷30人,非古文迷20人,按分层抽样的方法抽出5人,则古文迷的人数为人,非古文迷人. 

    即抽取的5人中古文迷非古文迷的人数分别为3人和2

    III)因为为所抽取的3人中古文迷的人数,所以的所有取值为12,3

    所以随机变量的分布列为

    1

    2

    3

     

    于是

    19.如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.

    )求证:平面

    )求证:平面

    )求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】)见解析()见解析()直线与平面所成角的正弦值为

    【解析】证明:()设的交点为O,连接,连接.

    因为的中点,的中点,

    所以.中点,

    所以,

    所以.

    所以,四边形为平行四边形.所以.

    平面, 平面,平面. ………………5

    (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以.

    所以平面.

    因为平面,所以.

    由已知得,所以,

    所以平面.

    由()可知,所以平面.

    所以 .

    因为侧面是正方形,所以.

    平面平面,

    所以平面. ………………………………………10

    )解: 中点,连接.

    在三棱柱中,因为平面

    所以侧面底面.

    因为底面是正三角形,且中点,

    所以,所以侧面.

    所以在平面上的射影.

    所以与平面所成角.

    . …………………………………………14

    解法二:如图所示,建立空间直角坐标系.

    设边长为2,可求得,

    .

    )易得,

    . 所以,所以.

    平面, 平面,平面. ………………5

    )易得,

    所以.

    所以

    又因为

    所以平面. …………………………………………… 10

    )设侧面的法向量为,

    因为,,

    所以.

    解得

    不妨令,设直线与平面所成角为

    所以.

    所以直线与平面所成角的正弦值为………………………14

    20.已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,是否为定值?并证明你的结论.

    【答案】(1)(2)定值为2.

    【解析】试题分析:1)由题意得到,所以,写出椭圆方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,得到韦达定理.

    试题解析:

    1)依题意,.

    与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,

    .

    椭圆的方程为.

    2当直线的斜率不存在时,由解得.

    ,则为定值.

    当直线的斜率存在时,设直线的方程为:.

    代入整理化简,得.

    依题意,直线与椭圆必相交于两点,设

    .

    所以

    .

    综上得为常数2.

    点睛:圆锥曲线大题熟悉解题套路,本题先求出椭圆方程,然后与直线方程联立方程组,求得韦达定理,则,为定值。

    21.已知函数.

    1)当时,证明:

    2)若对于定义域内任意x恒成立,求t的范围

    【答案】1)见解析

    2

    【解析】1)构造函数利用导数求出函数的单调性,得到函数的最大值,即可得证;

    2)参变分离得到恒成立,构造函数求出函数的最小值,即可得到参数的取值范围.

    【详解】

    1)证明:即是证明,设

    单调递增;当单调递减;所以处取到最大值,即,所以得证

    2)原式子恒成立即恒成立

    ,设

    ,所以单调递增,且

    所以有唯一零点,而且,所以

    两边同时取对数得

    易证明函数是增函数,所以得,所以

    所以由上单调递减,在上单调递增,

    所以

    于是t的取值范围是

    【点睛】

    本题考查利用导数证明不等式恒成立问题,属于中档题.

    22.在极坐标系下,已知圆和直线

    1)求圆和直线的直角坐标方程;

    2)当时,求圆和直线的公共点的极坐标.

    【答案】1) 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0

    2

    【解析】试题分析:1)根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程(2)先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标,再根据化为极坐标

    试题解析:(1)Oρcos θsin θ

    ρ2ρ cos θρ sin θ

    故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0.

    直线lρsin,即ρsin θρcos θ1

    则直线l的直角坐标方程为xy10.

    (2)(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得,

    ,解得

    即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(01)

    (01)转化为极坐标为,即为所求.

    23.已知函数

    1)求不等式的解集;

    2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.

    【答案】12

    【解析】1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;

    2)求出fx)的最小值,得到关于m的不等式,解出即可.

    【详解】

    1)原不等式为:

    时,原不等式可转化为,即

    时,原不等式可转化为恒成立,所以

    时,原不等式可转化为,即

    所以原不等式的解集为

    2)由已知函数,可得函数的最小值为4

    所以,解得

    【点睛】

    含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.

     

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