2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题（解析版）

2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题

一、单选题

1．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

【详解】

解：由题意可知，，

⫌

∴“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．

2．下列函数中，值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．

【详解】

解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为．

故选：A．

【点睛】

本题考查常见函数的值域，属于简单题．

3．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（    ）

A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题

【答案】B

【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．

【详解】

解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，

直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；

分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．

∴①为真命题，②为假命题．

故选：B．

【点睛】

本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．

4．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（    ）

A．16时 B．17时 C．18时 D．19时

【答案】D

【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．

【详解】

解：由题意可知，时，，

由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得，

此时函数，函数的周期为：，

该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，

如果当时，函数取得最小值可得：，可得，

此时函数，函数的周期为：，

时，，如图：

该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，

故选：D．

【点睛】

本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．

二、填空题

5．已知集合，，则______.

【答案】

【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．

【详解】

解：∵，，

∴．

故答案为：

【点睛】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

6．方程的解为______.

【答案】

【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．

【详解】

解：，∴指数式化为对数式得：，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题．

7．行列式的值为______.

【答案】5

【解析】直接利用行列式公式可求．

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查二阶行列式计算．属于基础题．

8．计算______.

【答案】2

【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．

【详解】

解：

故答案为：2．

【点睛】

本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．

9．若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.

【答案】2

【解析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．

【详解】

解：∵圆锥的底面积为，

∴圆锥的底面半径为，满足，解得

又∵圆锥的侧面积为，

∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得

故答案为：

【点睛】

本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．

10．已知向量，，则______.

【答案】

【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得的值．

【详解】

解：向量，，则

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．

11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.

【答案】72

【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①、将3位男生排成一排，有种情况，

②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况，

则位女生不相邻的排法有种；

故答案为：

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

12．已知点在角终边上，且，则______.

【答案】

【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y，然后即可求解．

【详解】

解：由题意可得，，

解得

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．

13．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下表，依据数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月两种支付方式都使用过的概率为_______________

【答案】

【解析】根据表中数据算出两种支付方式都使用过的人数，由古典概型概率的计算公式即可求解.

【详解】

根据题意，得

使用过支付方式的人数为：（人）；

使用过支付方式的人数为：（人）；

两种支付方式都没有使用过的人数：5（人）；

两种支付方式都使用过的人数为：（人）；

则该该员工在该月两种支付方式都使用过的概率为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.

14．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.

【答案】－3

【解析】先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．

【详解】

解：因为非零向量、、两两不平行，且，，

，

，解得

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.

15．已知数列满足：，（），记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则________

【答案】1078

【解析】由，（），分别令，求得的前项，观察得到最小值，最大值，计算可得的值.

【详解】

由，（），

可得，解得，

又，可得或，

又，可得或；

 或；或；

又，可得或或；

或或；

 或或或或；

或或或或，

综上所示可得的最大值为，

最小值为，

所以.

故答案为：1078

【点睛】

本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题.

16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．

【详解】

解：由题意，在区间上的图象如下图所示：

根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，

则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，

如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．

此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．

设函数图象向下平移了个单位，（）．

，解得.

∴此时函数的最大值为．

根据绝对值函数的特点，可知

实数的取值范围为：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．

三、解答题

17．如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，.

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值.

【答案】（1）；（2）证明详见解析，.

【解析】（1）说明即直线与平面的所成角，通过求解三角形，推出结果即可．

（2）记点到平面的距离为，由于底面积和高都不变，故体积不变.

【详解】

解：（1）由直棱柱知平面，所以，

又因为，所以直线平面，

所以即直线与平面的所成角

由题意，，所以

所以直线与平面的所成角.

（2）记点到平面的距离为，三角形的面积为，则

，

由已知，,

所以为定值.

【点睛】

本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．

18．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.

（1），，计算与；

（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.

【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.

【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；

（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.

【详解】

解：（1）

，

所以

证明（2），

，

，

所以，当且仅当时取“”，此时.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

19．如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.

（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；

（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.

【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为.

【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可．

（2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．

【详解】

解：（1）由题意，，，

所以

所以，不符合要求

（2），，

所以，

，

所以，的最小值为.

【点睛】

本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

20．已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列.

（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；

（2）证明（1）中的猜想；

（3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.

【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）代入，求出，，，猜想出即可；

（2）利用等差数列的定义证明即可；

（3）由（2）知，，因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数，所以，，此时，因为的任意性，不妨设，求出即可．

【详解】

（1）解：由已知，

所以，，，

猜想

证明（2）当时，，

所以

得，

因为，所以

数列为等差数列，又由（1），

所以

（3）解由（2）知，.

若，则，

因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数

所以，，此时，

设，则，所以或2

①当时，对于任意，

②当时，对于任意，

所以实数取值的集合为

【点睛】

考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题．

21．已知函数，其中为常数.

（1）当时，解不等式；

（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；

（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．

（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．

（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．

【详解】

解：（1）解不等式

当时，，所以

当时，，所以，

综上，该不等式的解集为

（2）当时，，

因为是以2为周期的偶函数，

所以，

由，且，得，

所以当时，

所以当时，

，

所以函数的反函数为

（3）①当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

②当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

③当时，在上不单调，所以

，，

在上，.

，不满足.

综上，的取值范围为.

③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是

令，解得或，不符合题意；

④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，

令，解得或，不符合题意.

综上，所求实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．