2020届上海市徐汇区高三上学期第一次模拟数学试题（解析版）

2020届上海市徐汇区高三上学期第一次模拟数学试题


一、单选题
1．过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系，即可得出．
【详解】
由可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率，
由题意可知所求直线的斜率k，
故所求的直线方程为y（x+1）即3x+5y+3＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线的方向向量及平行与斜率的关系，属于基础题．
2．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比，推导出相似比为1：，由此能求出截得的小棱锥与原棱锥的高之比．
【详解】
∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，
相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．
又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，
∴相似比为1：：2．
则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．
故选：C．
【点睛】
本题考查截得的小棱锥与原棱锥的高之比的求法，考查棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【详解】
化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，
则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，
圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．
要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，
则|C1C2|或|C1C2|，
即5或5，
解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．
∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．
4．设是的垂心，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解．
【详解】
由三角形垂心性质可得，，不妨设x，
∵345，
∴，
∴，同理可求得，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．


二、填空题
5．已知集合，集合，则________.
【答案】
【解析】进行并集的运算即可．
【详解】
∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，
∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．
故答案为：{x|x≤1或x＞2}．
【点睛】
本题考查了描述法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
6．向量在向量方向上的投影为____ __．
【答案】3
【解析】试题分析：由数量积的定义，所以
【考点】向量的数量积．
7．二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为________.
【答案】
【解析】由题意n＝11，r＝2，即可得第3项的二项式系数为，计算得结果．
【详解】
由题意n＝11，r＝2，
∴二项式（3x﹣1）11的二项展开式第3项的二项式系数为55，
故答案为：55．
【点睛】
本题主要考查二项式系数公式，考查了组合数的运算，属于基础题．
8．复数的共轭复数为________.
【答案】
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9．已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得成立的实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】利用函数是偶函数得到不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．
【详解】
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），
即2≤|a|，
∴a≤﹣2或a≥2，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）＝f（|a|）是解决偶函数问题的关键．
10．已知函数，则_____________.
【答案】
【解析】先由函数解析式，求出逆函数解析，代入求解，即可得出结果.
【详解】
由得，即，
所以，因此.
故答案为
【点睛】
本题主要考查求逆函数的值，会求逆函数的解析式即可，属于常考题型.
11．已知，条件，条件（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合包含关系，进行求解．
【详解】
因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；
因为条件q：a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；
因为p是q的充分不必要条件，
所以A⫋B，
所以，
所以0＜a≤1，
故答案为：（0，1]．
【点睛】
本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于基础题．
12．已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】Sn＝na1．根据数列{Sn}是递增数列，可得Sn+1＞Sn，代入化简利用数列的单调性即可得出．
【详解】
Sn＝na1．
∵数列{Sn}是递增数列，
∴Sn+1＞Sn，
∴（n+1）a13＞na1．
化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N都成立．
∴a1＞﹣3．
故答案为：（﹣3，+∞）．
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为________.
【答案】
【解析】根据题意，先分析0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况，据此分2种情况讨论，求出每种情况下的四位数数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9
分2种情况讨论：
当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，
②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排个位数字，最后排十位与百位，有7×A82×A22＝784种，
共784+56＝840；
故答案为：840．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
14．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为________.
【答案】
【解析】首先求出经过焦点的直线，与抛物线建立方程组，求出点M的坐标，再利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】
抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，
所以，整理得12x2﹣20x+3＝0，
解得或，又在轴的上方，∴，解得y，
即点M（），
l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，
所以N（，）．
所以NF的直线方程为，
所以当M（）到直线的距离d．
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识要点：直线的方程的应用，一元二次方程的解法和应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
15．已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】直接利用递推关系式和一元二次不等式的解法求出结果．
【详解】
数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N，Sn＝（﹣1）nann﹣3，
当n＝1时，，解得，
当n＝3时，，整理得，①
当n＝4时，，整理得，②
由①②得：，
所以，整理得，
解得，
所以：实数p的取值范围是（），
故答案为：（）．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，一元二次不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
16．已知函数关于的不等式的解集是，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出y＝f（x）的图象，由题意可得f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），结合题意可得m＜0，考虑直线经过点（0，1）和与直线y＝1﹣4x平行的情况，再通过旋转即可得到m的范围．当x≤﹣1时和当x＞﹣1时，分别解方程，x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0，即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根x1，x2；x1+x2＝m﹣6；方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根是x3；用m表示x1+x2+x3，根据m的取值范围解出即可．
【详解】
画出函数y＝f（x）的图象，
关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，
即为f（x）＜m（x+2）+2，
作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），
由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），
若x1x2x3＞0，
可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，
当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；
即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；
当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；
∴x3；
∴结合图象可得m＜0，
当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，
解得m；
当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，
m＝﹣4．
由可得﹣4＜m．
∴m+4＞0，
则212＝212；
当且仅当m+4时，即m＝﹣4时取等号；
故答案为：[212，+∞）．

【点睛】
本题考查分段函数的运用，注意运用数形结合思想方法，考查函数与不等式的转化思想，以及分析问题的能力，属于中档题．

三、解答题
17．如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.

（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
（2）过点在圆锥底面作的垂线交底面圆圆弧于点，设线段中点为，求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）直接利用圆锥的体积公式和侧面积的公式求出结果．
（2）首先作出异面直线所成的角，进一步利用余弦定理求出结果．
【详解】
（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h．
所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．
（2）如图所示：

在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．
依题意：AM，MN，AN，
所以，
所以面直线AM与PS所成角的大小．
【点睛】
本题考查的知识要点：圆锥的体积和侧面积的应用，异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型
18．设函数（，为实数）.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）设，求函数的最小值（用表示）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）直接利用函数的性质的应用和函数的恒成立问题的应用求出a的值．
（2）利用分类讨论思想的应用求出函数的最小值．
【详解】
（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．
即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．
（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，
①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x，此时．
②当x＜a时，f（x）＝x2﹣x+a，所以函数f（x）的对称轴为x，此时．
又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．
【点睛】
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，含有绝对值函数的关系式应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知.

（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到）
（2）求景点与景点之间的距离.（结果精确到）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
【详解】
（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F
在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AFAD8＝4，∴DF；
在Rt△ABF中，BF3，∴BD＝DF﹣BF＝43
sin∠ABF，在Rt△DBE中，sin∠DBE，
∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE，
∴DE＝BD•sin∠DBE（43）3.1（km）
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE，∴DC4.0（km）
∴景点C与景点D之间的距离约为4.0km．

【点睛】
本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．
20．给正有理数、（，，，且和不同时成立），按以下规则排列：① 若，则排在前面；② 若，且，则排在的前面，按此规则排列得到数列.
（例如：）.
（1）依次写出数列的前10项；
（2）对数列中小于1的各项，按以下规则排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列，求数列的前10项的和，前2019项的和；
（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合，的子集满足：对任意的，有，求集合中元素个数的最大值.
【答案】（1）；（2），；（3）1010.
【解析】（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，；
（2）按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，进而求解；
（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，进而求解；
【详解】
（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，，；
（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，
∴前10项和为：S105；
求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），
数列分母取遍2至64时，共有2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，
∴数列{bn}前2019项为：{，，，，，，，，，，，，，，}，
当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S，
∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′•1008，
S2019＝S′1008，
（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．
【点睛】
考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，考查了等差数列前n项和公式及逻辑推理能力，属于较难题；
21．已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
【答案】（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.
【解析】（1）直接判断即可，
（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；
（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）．
【详解】
（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），
设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，
所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，
当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，
讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（与矛盾，舍）；
②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，
综上a的范围：（2，2]．
（3）a＝2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：yx+2⇒M（，0）
则直线AQ：y2⇒N（，0），
MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且0，
∴,（n），∴,
所以得定点（0，2）．
【点睛】
考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．