2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.

【详解】

因为，,

所以.

故选:B

【点睛】

本题考查了交集的运算,属于基础题.

2．命题“，”的否定是　　

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.

【详解】

解：命题为全称命题，则命题的否定为，”．

故选：．

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．

3．若向量，，若，则　　

A． B．12 C． D．3

【答案】D

【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．

【详解】

解：根据题意，向量，，

若，则有，

解得；

故选：．

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题．

4．在名运动员和名教练员中用分层抽样的方法共抽取人参加新闻发布会，若抽取的人中教练员只有人，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求得抽样比,再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.

【详解】

依题意可得抽样比为,

所以有,解得.

故选:B

【点睛】

本题考查了分层抽样,利用抽样比解决是解题关键,属于基础题.

5．已知直线，，，平面，，下列结论中正确的是　　

A．若，，，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【解析】根据线面、面面的关系及判定定理一一判断可得.

【详解】

解：错，直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少条件直线，相交；

错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件；

错，两个平面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面．

对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另外一个平面．

故选：．

【点睛】

本题考查对立体几何知识点的理解，属于基础题．

6．若，，，则，，的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据对数的性质可得,根据指数函数的单调性可得,由此可得答案.

【详解】

因为,2>1,所以,

因为,所以指数函数为递减函数,

又-0.1<0.2,所以,即,

综上所述,.

故选:A

【点睛】

本题考查了利用对数的性质,指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

7．已知直线与圆相交于，两点，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.

【详解】

由得,所以圆心为,半径为,

由得,

由圆心到直线的距离公式得,

由勾股定理可得,

所以.

故选:C.

【点睛】

本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径,点到直线的距离公式,圆中的勾股定理,利用圆中的勾股定理是解题关键.

8．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹橹的体积为4300cm3，那么这个斗的体积是（    ）

注：台体体积公式是V（S'S）h．

A．5700cm3 B．8100cm3 C．10000cm3 D．9000cm3

【答案】C

【解析】利用棱台体积公式直接求解．

【详解】

解：斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．

棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹橹的体积为，

这个斗的体积是：

．

故选：．

【点睛】

本题考查几何体的体积的求法，考查棱台体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

9．若实数，满足，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出可行域,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得答案.

【详解】

作出可行域如图所示:

令,

将目标函数化为斜截式为,

由图可知最优解为,联立,得,

所以,

将代入,得.

故选:D

【点睛】

本题考查了利用线性规划求最值,根据斜率找到最优解是解题关键,属于基础题.

10．已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得，恒成立，结合二次函数的性质即可求解．

【详解】

解：由题意可得，恒成立，

当时，显然满足题意，

当时，则根据二次函数的性质可得，，

解可得，，

综上可得，．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性与导数关系的简单应用，属于基础题．

11．设的内角为，，，于．若外接圆半径等于，则的最小值是　　

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】在中，由，求出，利用基本不等式求出即可．

【详解】

解：在中，由，

设圆的半径为，则，

，

由，当且仅当，即时，取等号，

故选：．

【点睛】

考查正弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．

12．过抛物线焦点的直线交该抛物线于点，，与抛物线的准线交于点．若点到轴距离为2，则　　

A．16 B．12 C．8 D．18

【答案】A

【解析】设直线的方程与抛物线联立，求出两根之和及之积，用坐标表示即可求出数量积．

【详解】

解：由题意知：抛物线的焦点，准线方程，由题意设，这时，

设直线的方程为，设，联立与抛物线的方程整理得：

，，，，，

，

故选：．

【点睛】

考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．

二、填空题

13．己知随机变量与有相关关系，当时，的预报值为_______.

【答案】

【解析】将代入到,即可得到答案.

【详解】

在中,由得.

故答案为:7

【点睛】

本题考查了线性回归分析,本题属于基础题.

14．复数的实部为_______.

【答案】

【解析】利用复数的乘除法计算可得答案.

【详解】

因为,

所以复数的实部为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了复数的乘除法运算以及复数的概念,属于基础题.

15．已知函数是上的偶函数，当时，，若，则实数的取值范围为_____（结果写成区间）．

【答案】[﹣e，e]

【解析】求出函数解析式，作出函数图象，数形结合得解．

【详解】

解：由函数为偶函数，且当时，

当时，，

作函数的图象如右，

由图可知，实数的取值范围为，．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查利用偶函数的性质求函数解析式，考查函数图象的作法及应用，属于基础题．

16．函数，的部分图象如图，点，的坐标分别是，，则__．

【答案】

【解析】根据条件先求出 和的值，然后利用两角和差的正弦公式进行计算即可．

【详解】

解：由题意得，得，

，，

则，

由五点对应法得，

得，得，

则，

则，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出函数的解析式以及利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．

三、解答题

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E是PC的中点．

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）若PD＝AD＝2，求三棱锥P﹣EDB的体积VP﹣EDB．

【答案】（1）证明见解析  （2）

【解析】（1）连结，交于，连结，则，由此能证明平面．

（2）推导出，，从而平面，三棱锥的体积，由此能求出结果．

【详解】

解：（1）证明：连结，交于，连结，

底面是正方形，是中点，

点是的中点，，

平面，平面，

平面．

（2）解：底面是正方形，底面，平面，

，，又，平面，

，

三棱锥的体积：

．

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

18．我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图估算P的平均值；

（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P值的和超过100元的概率．

【答案】（1）48  （2）

【解析】（1）根据频率分布直方图能估算的平均值．

（2）从这4户中随机抽取2户，基本事件总数，利用列举法求出这2户值的和超过100元包含的基本事件有4个，由此能求出这2户值的和超过100元的概率．

【详解】

解：（1）根据频率分布直方图估算的平均值：

．

（2）该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，

从这4户中随机抽取2户，

基本事件总数，

这2户值的和超过100元包含的基本事件有，，，，共4个，

这2户值的和超过100元的概率．

【点睛】

本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，属于基础题．

19．已知数列满足，且时，，，成等差数列．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析  （2）2nn﹣1

【解析】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列；

（2）先根据（1）的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前项和．

【详解】

（1）证明：由题意，当时，，，成等差数列，

则，即，

，

又，

数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）解：由（1），知，

即，．

．

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，以及分组求和方法的应用．本题属中档题．

20．椭圆的焦点是，，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点．问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）y2＝1；  （2）存在，P（﹣1，）

【解析】（1）由焦点坐标及过的点和，，之间的关系求出椭圆的标准方程；

（2）假设存在点使线段和线段相互平分，设直线与椭圆联立求出两根之和，进而求出的中点的坐标，再由题意求出的坐标用参数表示，由在椭圆上，求出参数进而求出的坐标．

【详解】

解：（1）由题意知，，，解得：，，椭圆的标准方程：；

（2）由（1）知，假设存在点，，使线段和线段相互平分，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为：，设，，

联立与椭圆的方程整理得：，，，所以的中点坐标，

由题意知，，而在椭圆上，所以，解得：，所以，

所以存在点使线段和线段相互平分，且的坐标．

【点睛】

考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

21．已知．

（1）当时，求函数在点，处的切线方程；

（2）若函数在区间上有极小值点，且总存在实数，使函数的极小值与互为相反数，求实数的取值范围．

【答案】（1）x+y+2＝0  （2）

【解析】（1）将代入，求导，求出切线斜率及切点，进而得到切线方程；

（2）先求得极小值为，进而根据题设得到，再构造函数求解即可．

【详解】

解：（1）当时，，，，

又，故切线方程为，即；

（2），易知，函数在上单减，在上单增，

函数的极小值点为，

由已知，，即，，

故在区间上总存在使得，即，

设，则，

当时，，函数在上单减，则，即，

实数的取值范围为．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值及最值，考查导数的几何意义，考查构造函数思想及逻辑推理能力，属于中档题．

22．在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求点的极坐标；

（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】(1)将代入解得即可得到答案;

(2) 由题意可设，.,将它们代入到,得到,再利用勾股定理和三角函数性质可求得答案.

【详解】

解：（1）设点在极坐标系中的坐标，

由，得，

或

所以点的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.

【点睛】

本题考查极径的几何意义,三角函数的性质,利用极径的几何意义是解题关键,属于基础题.

23．己知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，求证：.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】(1)分段讨论去绝对值可解得 ;

(2)根据绝对值三角不等式可证.

【详解】

（1）解：，

当时，由，得，解得.

当时，由，得，此时无解.

当时，由，得，解得.

综上所述，的解集为.

（2）证明：，

.

【点睛】

本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式,属于基础题.