2020届四川省成都市新都区高三诊断测试数学（理）试题（解析版）

2020届四川省成都市新都区高三诊断测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集U＝R，集合，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，

由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B），

∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R，

即∁U（A∩B）={x|x≤1或x＞2}，

∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x＞2}，

即（﹣∞，1]U（2，+∞）

故选：A

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对复数进行运算得，从而求得.

【详解】

因为，

所以，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力.

3．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则（    ）

A．2 B．7 C．14 D．28

【答案】D

【解析】根据等差数列通项公式，将等式化成，再由等差数列的前项和公式得.

【详解】

因为，

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、前项和公式，考查基本运算求解能力.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得的值.

【详解】

因为，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力.

5．已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可

【详解】

由题可知，为定义域在的减函数，且函数具有偶函数特征；

对A，当，，的对称轴为，在为增函数，与题不符，排除；

对B，，当，，为减函数，

又，故B符合；

对C，，函数显然不具备偶函数特征，排除；

对D，函数为周期函数，在不是减函数，排除；

故选：B

【点睛】

本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题

6．已知定义在上的函数满足，且函数在上为单调递减函数，若，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题判断函数对称轴为，结合在上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解

【详解】

由得，又在上为单调递减，画出拟合图形，如图：

，在图上的对应关系如图所示：

，

显然

故选：C

【点睛】

本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题

7．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．9 B．12 C．16 D．20

【答案】C

【解析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可

【详解】

，， ，当且仅当时，等号成立，故

故选：C

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，属于基础题

8．函数的图象可能是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】考查该函数的奇偶性，在处的取值以及该函数在上的单调性可辨别出图象。

【详解】

令，定义域为，，

该函数为偶函数，且，排除C选项，

当时，，则，

当时，，，则，

当时，，则，

所以， 函数在上单调递减，符合条件的图象为B选项中的图象。

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。

9．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 (  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据等比数列性质可求得；利用对数运算法则可求得，利用诱导公式可变为，从而得到结果.

【详解】

由得：，即：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查等比数列性质的应用，涉及到对数的运算性质、诱导公式、特殊角三角函数的求解问题.

10．已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.

【详解】

方程有三个不相等的实数根，

等价于和有三个不同交点，

因为,所以的周期为2，

由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:  
不妨设

当直线过时，的值分别为与1，
由图可知，时直线与的图象有三个交点，

时, 方程有三个不相等的实数根,
同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,
所以实数的取值范围是，故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.

11．已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式

对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

定义在上的偶函数在，上递减，在上单调递增，

若不等式对，恒成立，

即（1）对，恒成立．

对，恒成立，

即对，恒成立，

即且对，恒成立．

令，则，在，上递增，，上递减，．

令，，在，上递减，．

综上所述，，．

故选：．

二、填空题

12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则给出下列结论：

①；   

②；   

③   

④在向量上的投影为．

其中正确结论的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】结合向量知识判断即可

【详解】

对①，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，，，①对；

对②，与的夹角为90°，又因，根据平行四边形法则，②对；

对③，，，中，由余弦定理可得，，③错；

对④，由向量投影的公式可得在向量上的投影为，，故，显然不为1，故，④错；

故①②正确；

故选：C

【点睛】

本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题

13．已知函数与直线相切，则的取值是_________．

【答案】

【解析】可设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合曲线与直线方程求解即可

【详解】

设切点为，，则， 将和代入得，则

故答案为：

【点睛】

本题考查根据导数的几何意义求解参数，属于基础题

14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．

【答案】4

【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造不等式求出的值.

【详解】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

所以，即，

解得：且，

所以两只老鼠最少在第4天相遇.

故答案为：.

【点睛】

本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用为整数的特点，直接求得不等式的解.

15．已知函数满足，，且在区间上单调，则的值有_________个.

【答案】9

【解析】由，，结合正弦函数图像的特征可知（），

由正弦函数最小正周期公式可得，因为在区间上单调可得范围，从而求出的整数解的个数，得到值的个数。

【详解】

由题意知函数的周期，由，，结合正弦函数图像的特征可知，，

故，，；又因为在区间上单调，

所以，故，所以，即，

∴，，∴符合条件的的值有9个.

【点睛】

本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题。

16．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．

【答案】

【解析】将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.

【详解】

不等式恒成立可转化为：

当时，，

当时，

①若，即时，

，解得：（舍）

②若，即时，

又，

当，即时，

，解得：（舍）

当，即时，

，解得：   

③若，即时，

，解得：（舍）

综上所述：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.

三、解答题

17．已知数列中，且．

（1）求的通项公式；

（2）求的前n项和．

【答案】(1) (2)

【解析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；

（2），分别求解等差数列与等比数列的前n项和即可

【详解】

解：（1），等差数列的公差为，

，解得，

因此，；

（2），

，

，

因此，．

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题

18．如图1,在直角梯形ABCD中,，,，将 沿折起，使平面平面,得到几何体,如图2所示．

（1）求证:平面；

（2）求二面角D-AB-C的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）可结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质来进行证明，取AC中点O，连接DO，通过线面垂直的性质可得，再结合图形几何性质即可得证；

（2）可在（1）的基础之上作于F，为二面角 的平面角，通过几何关系求解即可

【详解】

（1）证明：在图1中，由题意知，，，

，

取AC中点O，连接DO，则，又平面平面ABC，

且平面平面，平面ACD，

从而平面ABC，

又，，

平面ACD

（2）过D作于O，再过O作于F，

连接DF，易知为二面角 的平面角

易知,

,即为所求二面角的正弦值．

【点睛】

本题考查线面垂直的证法，二面角的求法，属于中档题

19．已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到的递增区间；

（2）由（1）确定的解析式，及求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度数.

【详解】

（1），

令，解得

故函数的递增区间为.

（2），

，

由正弦定理得：，

，，或.

当时，：当时，（不合题意，舍）

所以.

【点睛】

本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

20．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．

（1）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？

（2）下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线图：

请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．

附注：参考数据：，．

参考公式：，，（其中）

【答案】（1）能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关（2）y与x之间的回归直线方程；预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人

【解析】（1）将数据直接代入公式计算，并与进行比较，再下结论；

（2）根据参考数据和参考公式，先求的平均数，再对公式进行变形得，再将数据代入求得的值，从而得到回归方程.

【详解】

解：（1）由列联表中数据，计算，

由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关

（2）利用所给数据，计算，

；

；

∴与之间的回归直线方程；

当时，，

即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人．

【点睛】

本题考查列联表、计算、最小二乘法求回归直线，考查阅读理解和数据处理能力、基本的运算求解能力.

21．已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于A、B两点，过P与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为线段CD中点，若的面积为，求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】(Ⅰ)由题意求得的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合三角形的面积得到关于k的方程，解方程即可确定k的值.

【详解】

（Ⅰ）由题意可知：，，

，，

，椭圆的方程为

（Ⅱ）设，，由

消去y，得，，

，，

为线段CD中点，，又，，，

又点Q到的距离，

．

此时，圆心Q到的距离，成立．

综上：．

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，令，若，是的两个极值点，且，求正实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t .

【解析】（I）求出导函数，按的正负分类，讨论的符号得单调区间；

（II）求出，当时，，单调递减，无极值点，当时，可由求根公式求出的两根，可确定为极小值点，为极大值点.同时确定出的范围是，计算，令，，仍然用导数来研究的单调性，得出时的范围，也即能得出的范围.

【详解】

（Ⅰ）由， ，则，

当时，则，故在上单调递减；

当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ），

故，当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个极值点，故.

令，得，

又有两个极值点；故有两个根.

故且或；

且为极小值点，为极大值点.

故

令，由或得

令，

当时，，则在上单调递增，故，则时成立；

当时，，则在上单调递增，故，则时；

综上所述： .

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握用导数研究函数的方法是解题基础．本题难度较大，在确定函数有极值时，需要用到导数与极值的关系；在由成立求的范围时，仍然通过导数研究函数的单调性，从而确定参数的范围．