2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）
展开2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，且，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【解析】由题知：，解得：.
【详解】
因为，所以，解得：.
故选：A
【点睛】
本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【解析】试题分析：，∴对应的点为，位于第一象限．
【考点】复数的乘除和乘方．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的标准方程可得其准线方程.
【详解】
由抛物线有,
根据抛物线的标准方程可得.
则其准线方程为：
故选：C
【点睛】
本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.
4．已知，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由有得，再代入向量的夹角公式可求解.
【详解】
由有.
即，又.
则.
由与的夹角在内.
所以与的夹角为.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.
5．如图所示的程序框图，若输出值，则输入值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将输出的值，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出的值.
【详解】
若输入的，则输出，则.
若输入的，则输出,则.
则输入值的集合是:
故选：C
【点睛】
本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.
6．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位）
A．0.13 B．0.15 C．0.20 D．0.22
【答案】C
【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为，则2021年使空气质量为“良”的天数，然后求解方程得出答案.
【详解】
设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为，
则2021年使空气质量为“良”的天数
即，解得：
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率,属于基础题.
7．函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】根据图像有,,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根据相位变换得到答案.
【详解】
根据图像有,,
所以,则.
不妨取，
又有，
得,又.
所以，即，
所以由向右平移个单位长度可得的图像.
故选：B
【点睛】
本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.
8．中，内角，，的对边分别是，，.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由有,再由正弦定理有,即,可解出答案.
【详解】
由有,
由正弦定理有, 又
即.
所以.
因为为的内角，则.
故选：D
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于中档题.
9．已知平面，，和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．且
C．且
D．内的任何直线都与平行
【答案】B
【解析】选择“”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出，反之不成立.
【详解】
A. 内有无数条直线与平行,则可能相交或平行，故不能推出.
B. 且,则. 反之不成立，满足条件.
C. 且,则 可能相交或平行，故不能推出.
D. 内的任何直线都与平行是的充要条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.
10．函数，其图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,设，则为奇函数，而的图像是的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案.
【详解】
由，
设，则为奇函数,其图像关于原点成中心对称.
所以,
的图像是的图像向下平移1个单位得到的.
所以的图像关于点 成中心对称.
故选：D
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.
11．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，先求出直线的方程，由点在直线上，得出直线过定点,从而求出答案.
【详解】
设,
过点引圆的两条切线，切点分别为，.
则，两点在以为直径的圆:上.
又，在圆上，
所以为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：
，即直线的方程
又点在直线上，则，代入直线的方程.
,得直线过定点，
所以点到直线的距离：.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题.
12．若函数在区间上有两个极值点，则的可能取值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】函数的导函数为，函数在区间上有两个极值点，即方程在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案.
【详解】
,
函数在区间上有两个极值点,
即方程在内有两个不等实数根.
所以
以为纵坐标，为横坐标画出不等式满足的平面区域.
曲线与直线相切于点，
曲线与直线相切于点.
根据选项，则的可能取值在选项中只能为3.
故选：A.
【点睛】
本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.
二、填空题
13．计算：______。
【答案】2
【解析】化简原式.
【详解】
原式
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对数的运算和指数幂的运算，熟记公式是解题关键，属于简单题.
14．已知，，则______.
【答案】
【解析】由,则,由同角三角函数的关系可得的值，从而可得答案.
【详解】
由，即，则.
由有： .
则，又.
所以，.
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.
15．在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是，，，则小球体积的最大值为______.
【答案】
【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为，由共一顶点的三个面的面积分别是，，，可得，从而可解得的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积.
【详解】
设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为，
则由条件有.
解得:，
因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为边长.
所以半径的最大值为，则小球的体积的最大值为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.
16．如图，直线和分别是函数过点的切线（切点为）和割线，则切线的方程为______；若，，则______.
【答案】
【解析】设切点，由，得切线的斜率为，求出在点处的切线方程，然后将点代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线的方程与联立，则为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得的值.
【详解】
设切点,又，
则在点处的切线的斜率为：.
则在点处的切线方程为：，
又点在切线上，则，
即，解得或(舍).
则，，所以切线的方程为：.
根据题意直线的斜率一定存在，
设直线的方程为： ，
由 有
所以，
即 ()
由直线交曲线于三点
所以为方程()的根.
即为方程的两个实数根；
由韦达定理有：.
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.
三、解答题
17．为等差数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由条件有，可求出，即得到答案.
(2)由，由（1）有，则为等差数列，可求和.
【详解】
解：（1）为等差数列，设公差为
由 即得：
（2）由（1）可知
,
,
法一：
的前项和
法二：，，
是以首项，公差为8的等差数列
的前项和
【点睛】
本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.
18．在某次数学考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.
（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求的值；
（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）分别计算、，即可得到的值.
（2）首先列出从这4名学生的成绩中任取2名学生的成绩的全部基本事件，再确定这2名学生的成绩不相同的基本事件，最后根据古典概型公式求得结果.
【详解】
（1）设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为、，则
，
，，；
（2）由茎叶图知：
甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，，，（其中，表示成绩为97分的两名学生的成绩，，分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩），则从这4名学生的成绩中任取2名学生的成绩，不同的取法有：
，，，，，.
其中，事件“所选的人成绩不同”所包含的基本事件有个，
所以，这2名学生的成绩不相同的概率为.
【点睛】
本题第一问考查了茎叶图和平均数，第二问考查了古典概型，同时考查了学生的数据处理能力，属于简单题.
19．在中（如图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图所示2所示的图形，为的中点，且，连接.
（1）求证：；
（2）求四面体外接球的表面积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）因为，，，所以平面.又因为平面，所以.
（2）将四面体补形为一个以，，为长、宽、高分的长方体.求长方体的外接球表面积即可.
【详解】
（1）在图1中有：
，，.
在中，，，.
.
在图2中有：
在中，，为的中点，
.
在中，，，，
，.
翻折后仍有.
又、平面，，
平面.
平面，.
（2）由（1）知，四面体可补形为一个以，，
为长、宽、高分的长方体.
四面体外接球的半径，
四面体外接球的表面积.
【点睛】
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直为解题的关键，第二问考查三棱锥的外接球，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.
20．已知函数（为自然数的底数）,
（1）若，试讨论的单调性；
（2）对任意均有，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）求导得到，对分别讨论和即可得到的单调性.
（2）转换为恒成立，求即可.
【详解】
（1）的定义域为，
.
当时，令，则；时，且.
当时，令，则且；时.
当时，在单调递增，在，单调递减；
当时，在单调递减，在，单调递增.
（2）由已知得：
记，则
，.
函数在区间上是减函数，上是增函数
故的取值范围为.
【点睛】
本题第一问考查导数应用中的含参单调区间，分类讨论是解题关键，第二问考查恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.
21．已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于，两点，点满足，点，若直线斜率为，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】（1）（2），直线的方程为
【解析】(1)有题意有可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点，然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度，进一步表示出的面积,然后求最值.
【详解】
解：（1）由题设知
，
椭圆的方程为：
（2）法一： 为的中点
又
1）当为坐标原点时
当的斜率不存在时，此时、为短轴的两个端点
当的斜率存在时，设的斜率为
设，，则，代入椭圆方程
整理得：
，
到的距离
解一：令
令
或
函数在单调递增，单调递减，单调递增
时，为的极大值点，也是最大值点
直线方程为
解二：设，则
要得的最大值
，
当，时，即，时等号成立
，直线方程为
2）当不为原点时，由，
，，三点共线
，设，，，
的斜率为
，，
，在椭圆上，
得
，即
设直线代入椭圆方程，整理得
，
到直线的距离
令，，
令，，，
在上单调递增，在上单调递减
，
，此时直线
综上所述：，直线的方程为
解二：设，，为的中点，在椭圆上
当直线的斜率不存在时，设则，
， 所以
，则，为短轴上的两个端点
当直线的斜率存在时，设，
消去得
,
，
由得
或
下同解法一
【点睛】
本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系中，点的坐标为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.
（1）判断点与直线的位置关系；
（2）设直线与曲线（为参数，）相交于，两点，求点到，两点的距离之积.
【答案】（1）在上（2）8
【解析】(1)求出直线的平面直角坐标系的方程：，将点代入直线方程，可判断.
(2)将曲线的方程化为直角坐标系方程，，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线的方程，则可解.
【详解】
（1）在平面直角坐标系的方程为：
将代入得：，故在上
（2）曲线的直角坐标系方程为：
直线的参数方程为：（为参数）
将直线的参数方程代入抛物线方程得：，则
即到两点得距离之积为8.
【点睛】
本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.
23．已知
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1) ，则，即，打开绝对值即可得出答案.
(2) 对任意恒成立,即,然后用绝对值三角不等式可求.
【详解】
解:（1）即
（2）
对任意恒成立,
只需成立,即，所以.
所以.
【点睛】
本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.
