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    2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学(理)试题(解析版)
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    2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学(理)试题(解析版)

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    2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学(理)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知实数满足,其中是虚数单位,若,则在复平面内,复数所对应的点位于(   

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】B

    【解析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义,即可求得答案.

    【详解】

    实数满足其中是虚数单位,

    ,可得

    解得.

    ,

    则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限

    故选:B.

    【点睛】

    本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义,解题关键是掌握复数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

    2.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】求出集合的补集,再计算即可.

    【详解】

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查集合间的运算,属于基础题.

    3.已知实数满足,则(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】首先利用指数函数的性质得到的范围,然后逐一考查所给的不等式,即可求得答案.

    【详解】

    由指数函数的单调性,

    可得:

    对于A,由,可得,故A错误;

    对于B,由,可得,故B正确;

    对于C,由,可得,故C错误;

    对于D,根据图象可得,由的大小无法确定,故D错误;

    故选:B

    【点睛】

    本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常,解题关键是掌握不等式比较大小方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

    4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(   

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】由三视图可知,该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体,利用表面积计算公式即可得出.

    【详解】

    由三视图可知,该几何体由三部分组成:

    最上面是一个圆锥,中间是一个圆柱,最下面是一个长方体.

    该几何体的表面积为:

    .

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查三视图求几何体的表面积,三视图还原直观图是解题关键,属于基础题.

    5.下列函数中,既是奇函数,又在上单调递减的是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据题意,逐项判断即可.

    【详解】

    对于,其在定义域上为增函数,不符合题意;

    对于,其在定义域上为偶函数,不符合题意;

    对于,其是奇函数,又在上单调递减,符合题意;

    对于

    其在上不为减函数,不符合题意.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查函数的单调性和奇偶性的判断,对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握,属于基础题.

    6.已知正方形内接于圆,点的中点,点边上靠近的四等分点,则往圆内投掷一点,该点落在内的概率为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据已知可分别求解圆的面积及面积,根据几何概型概率公式,即可求解.

    【详解】

    设正方形的边长为4,则正方形的面积为

    的面积为

    因为圆的直径,圆的面积为

    根据几何概型概率公式可得.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查几何概型的概率,意在考查数学计算和应用能力,属于基础题.

    7.伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置,用坐标来描述空间上的点,因此直角坐标系又被称为笛卡尔系;直角坐标系的引入,将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题,大大降低了问题的难度,而直角坐标系,在平面向量中也有着重要的作用;已知直角梯形中,是线段上靠近的三等分点,是线段的中点,若,则   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】,根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.

    【详解】

    ,故

    因为

    ,则

    故选:A.

    【点睛】

    本题以数学文化为背景,考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积,考查计算求解能力,属于基础题.

    8.已知函数,则下列说法错误的是(   

    A.函数的周期为 B.函数的一条对称轴为

    C.函数上单调递增 D.函数的最小值为

    【答案】C

    【解析】化简,可得,逐项判断,即可求得答案.

    【详解】

    对于A,函数的周期为: ,A说法正确;

    对于B时,

    是函数的一条对称轴,故B说法正确;

    对于C,当时,

    此时不单调,故C说法错误;

    对于D

    函数的最小值为,故D说法正确,

    故选:C.

    【点睛】

    解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

    9.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据图像可得函数的定义域不为0,并根据图像的变化趋势,逐项判断,即可求出结论.

    【详解】

    ,则 ,不符合题意,故不正确;

    ,当时,

    ,当

    存在唯一交点,其横坐标设为

    连续,递增区间是,递减区间是

    所以存在为唯一的最大值点,满足题意;

    ,则当时,,故选项不正确;

    由图象可知,函数的定义域中不含0,故不正确.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查函数图像的辨析,考查函数的性质,属于中档题.

    10.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为365,则判断框中可以填(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据条件进行模拟运算,寻找成立的条件进行判断即可.

    【详解】

    模拟程序的运行,可得

    执行循环体,

    不满足判断框内的条件,执行循环体,

    不满足判断框内的条件,执行循环体,

    不满足判断框内的条件,执行循环体,

    不满足判断框内的条件,执行循环体,

    不满足判断框内的条件,执行循环体,

    此时,应该满足判断框内的条件,退出循环,输出的值为365.

    则判断框内的件为

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查补全程序框图,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.

    11.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与的渐近线交于两点,若,则双曲线的渐近线方程为 (   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.

    点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.

    12.已知数列满足.,则的最小值为(   

    A20 B15 C25 D30

    【答案】B

    【解析】设数列的前项和为,则可计算出.然后应用公式即可计算出数列的通项公式,可得数列是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理,再根据绝对值的特点可得的最小值.

    【详解】

    依题意,由

    可得:.

    设数列的前项和为,则.

    时,.

    时,.

    也满足上式,故.

    数列是以35为首项,﹣5为公差的等差数列,

    时,取得最小值.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查数列的前项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质,考查计算求解能力,属于中档题.

     

     

    二、填空题

    13.二项式的常数项为,则__________.

    【答案】

    【解析】利用二项式定理的通项公式可得,再利用微积分基本定理及其性质即可得出.

    【详解】

    ,解得..

    表示函数轴围成的面积,

     即为轴上方的半圆面积,

    .
    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义,考查计算求解能力,属于基础题.

    14.已知点满足,则的取值范围为__________.

    【答案】

    【解析】首先画出可行域,利用的几何意义:区域内的点与原点连线的斜率,因此求最值即可.

    【详解】

    由已知得到平面区域如图:

    表示区域内的点与原点连接的直线斜率,

    解得,由解得

    当与连接时直线斜率最大为1

    连接时直线斜率最小为﹣2

    所以的取值范围为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用目标函数的几何意义数形结合求最值,属于基础题.

    15.已知两点分别为椭圆的左焦点与上顶点,为椭圆上的动点,则面积的最大值为__________.

    【答案】

    【解析】由椭圆的方程可得的坐标,进而求出直线的方程,及的长度,当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切,设过的直线方程与椭圆联立,由判别式等于0可得参数的值,即可求解.

    【详解】

    由椭圆方程可得

    所以直线的方程为:

    由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时,

    两条平行线间的距离最大时,三角形的面积最大,

    设过点与平行的切线方程为:

    直线与直线的距离为

    联立直线与椭圆的方程可得:

    整理可得:

    ,可得,解得

    所以当最大,

    这时的最大值为:

    .

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系,意在考查直观想象、数学计算能力,属于中档题.

    16.已知,使得不等式能成立,则实数的取值范围为__________.

    【答案】.

    【解析】由题意可得,分别,运用参数分离和构造函数,求得导数和单调性、最值,结合能成立思想可得所求范围.

    【详解】

    不等式,即为

    则不等式显然不成立;

    时,可得

    时递减,在递增,

    即有处取得最小值

    由题意可得

    又当时,可得

    ,则时递减,

    递增,即有处取得最大值1

    由题意可得

    综上可得的范围是

    故答案为:.

    【点睛】

    本题以不等式能成立为背景,考查应用导数求函数的最值,分类讨论分离参数是解题关键,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.

     

    三、解答题

    17.在中,内角的对边分别为,且.

    1)求的大小;

    2)若,求的面积.

    【答案】1;(2

    【解析】1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得,然后结合三角形的内角和定理即可求解;

    2)由已知结合余弦定理可求,然后结合三角形的面积公式即可求解.

    【详解】

    1.

    所以,或

    ,或(舍去),或(舍去),

    又因为,故

    2)由余弦定理可得,

    .

    【点睛】

    本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形,考查计算求解能力,属于基础题.

    18.在一次体质健康测试中,某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析,得到这12名学生的测试成绩分别为878798867886885286906572.

    1)请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,并指出该组数据的中位数;

    2)从抽取的12人中随机选取3人,记表示成绩不低于76分的学生人数,求的分布列及期望

    【答案】1)茎叶图见解析,中位数为:;(2)分布列见解析,

    【解析】1)由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,并求出该组数据的中位数.

    2的可能取值为0123,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.

    【详解】

    1)绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,如下:

    该组数据的中位数为:.

    2)抽取的12人中,成绩不低于76分的有9人,

    从抽取的12人中随机选取3人,记表示成绩不低于76分的学生人数,

    的可能取值为0123

    的分布列为:

    0

    1

    2

    3

     

     

    数学期望.

    【点睛】

    本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.

    19.已知三棱柱中,.

    1)求证:平面

    2)若,求平面与平面所成二面角的余弦值.

    【答案】1)答案见解析.2

    【解析】1)要证平面,只需求证,结合已知,即可求得答案;

    2)以为坐标原点,以轴,以轴,以轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,根据,即可求得答案.

    【详解】

    1,

    .

    ,,

    由余弦定理得,

    ,

    .

    ,

    ,

    ,

    平面.

    2)由(1

    中,可得

    平面

    由(1)得平面

    为坐标原点,以轴,以轴,以轴,建立空间直角坐标系,

    如图:

    ,

    解得:,故

    设平面法向量为

    ,可得

    故:

    ,则

    设平面法向量为

    ,可得

    故:

    可得:

    平面与平面所成二面角的余弦值.

    【点睛】

    本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角,解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

    20.已知椭圆过点,其上顶点到直线的距离为2,过点的直线轴的交点分别为,且.

    1)证明:为定值;

    2)如上图所示,若关于原点对称,关于原点对称,且,求四边形面积的最大值.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【解析】1)其上顶点到直线的距离为2,求出,点代入椭圆方程,可求出椭圆方程,设经过点的直线方程为:,可得.利用,可得,利用两点之间的距离公式可得

    2)由(1)得直线的方程为,与椭圆方程联立求出,由点到直线距离公式,求出到直线距离,求出四边形面积的关于的表达式,结合关系,由基本不等式求出最大值.

    【详解】

    1)其上顶点到直线的距离为2

    ,解得.

    又椭圆过点

    ,解得.

    椭圆的标准方程为:.

    在椭圆上,.

    设经过点的直线方程为:

    可得.

    .

    为定值.

    2)由(1)得直线斜率为

    方程为

    联立解得

    到直线的距离为

    当且仅当,即时,等号成立,

    四边形面积的最大值为.

    【点睛】

    本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积,利用基本不等式求最值,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算,属于较难题.

    21.已知函数,且函数处取到极值.

    1)求曲线处的切线方程;

    2)若函数,且函数3个极值点,证明:.

    【答案】1;(2)证明见解析

    【解析】1)求出原函数的导函数,由求解值,则曲线处的切线方程可求;

    2)求出函数的解析式,由,根据已知

    三个解,存在两个不同于的零点, 设,求出取值范围,结合的函数特征,可判断是函数的两个零点,构造函数,研究的单调性,把证明转化为证明即可.

    【详解】

    1

    函数处取到极值,,即.

    曲线处的切线方程为

    2

    函数的定义域为

    上单调递减,在上单调递增;

    的最小值;有三个极值点

    ,得.

    的取值范围为

    时,

    ;即是函数的两个零点.

    ,消去

    的零点为,且.

    上递减,在上递增.

    要证明,即证

    等价于证明,即.

    即证.

    构造函数,则

    只要证明在单调递减,

    函数单调递减;

    增大时,减小,增大,减小,

    上是减函数.

    上是减函数.

    时, .

    .

    【点睛】

    本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明,构造函数是解题的关键和难点,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于难题.

    22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为为参数).

    1)求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程;

    2)求曲线关于直线对称曲线的参数方程.

    【答案】1;(2为参数)

    【解析】1)由,可得曲线的直角坐标方程;由代入法可得直线的普通方程;

    2)由圆关于直线的对称为半径相等的圆,由点关于直线对称的特点,解方程可得所求曲线的方程.

    【详解】

    1,得

    曲线的直角坐标方程为

    即为

    的参数方程为为参数),

    消去,可得

    2)设曲线关于直线对称曲线为

    可得

    则曲线关于直线对称曲线方程为

    其参数方程为为参数).

    【点睛】

    本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化,普通方程和参数方程互化,以及圆关于直线对称方程等基础知识,意在考查直观想象、查逻辑推理能力,属于中档题.

    23.已知定义在R上的函数.

    1)求的最小值

    2)若,求的最小值.

    【答案】13;(2

    【解析】1)去绝对值化简函数,然后结合函数的单调性,即可求解函数的最值,

    2)结合基本不等式及二次函数的性质可求.

    【详解】

    解:(1)因为.

    所以

    时,单调递减,

    时,单调递减,

    时,单调递增,

    故当时,函数取得最小值

    2)若

    当且仅当 时,等号成立,

    ,而的开口向上,

    对称轴方程为,在上单调递增,

    ,取得最小值

    的最小值为.

    【点睛】

    本题考查分类讨论求绝对值函数的最值,以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.

     

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