2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学(理)试题(解析版)
展开2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学(理)试题
一、单选题
1.已知实数,满足,其中是虚数单位,若,则在复平面内,复数所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义,即可求得答案.
【详解】
实数满足其中是虚数单位,
,可得
解得.
,
则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义,解题关键是掌握复数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求出集合,的补集,再计算即可.
【详解】
,
,
则,
故选:B.
【点睛】
本题考查集合间的运算,属于基础题.
3.已知实数,满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】首先利用指数函数的性质得到,的范围,然后逐一考查所给的不等式,即可求得答案.
【详解】
由指数函数的单调性,
可得:
对于A,由,可得,故A错误;
对于B,由,可得,故B正确;
对于C,由,可得,故C错误;
对于D,根据图象可得,由,与的大小无法确定,故D错误;
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常,解题关键是掌握不等式比较大小方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知,该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体,利用表面积计算公式即可得出.
【详解】
由三视图可知,该几何体由三部分组成:
最上面是一个圆锥,中间是一个圆柱,最下面是一个长方体.
该几何体的表面积为:
.
故选:D.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积,三视图还原直观图是解题关键,属于基础题.
5.下列函数中,既是奇函数,又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,逐项判断即可.
【详解】
对于,其在定义域上为增函数,不符合题意;
对于,其在定义域上为偶函数,不符合题意;
对于,其是奇函数,又在上单调递减,符合题意;
对于,,,
其在上不为减函数,不符合题意.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的判断,对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握,属于基础题.
6.已知正方形内接于圆,点是的中点,点是边上靠近的四等分点,则往圆内投掷一点,该点落在内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据已知可分别求解圆的面积及面积,根据几何概型概率公式,即可求解.
【详解】
设正方形的边长为4,则正方形的面积为,
的面积为,
因为圆的直径即,圆的面积为,
根据几何概型概率公式可得.
故选:C.
【点睛】
本题考查几何概型的概率,意在考查数学计算和应用能力,属于基础题.
7.伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置,用坐标来描述空间上的点,因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”;直角坐标系的引入,将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题,大大降低了问题的难度,而直角坐标系,在平面向量中也有着重要的作用;已知直角梯形中,,,,是线段上靠近的三等分点,是线段的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过作于,根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.
【详解】
过作于,故,
因为,,
故,则
故选:A.
【点睛】
本题以数学文化为背景,考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积,考查计算求解能力,属于基础题.
8.已知函数,则下列说法错误的是( )
A.函数的周期为 B.函数的一条对称轴为
C.函数在上单调递增 D.函数的最小值为
【答案】C
【解析】化简,可得,逐项判断,即可求得答案.
【详解】
对于A,函数的周期为: ,故A说法正确;
对于B,时,
是函数的一条对称轴,故B说法正确;
对于C,当时,
此时不单调,故C说法错误;
对于D,
函数的最小值为,故D说法正确,
故选:C.
【点睛】
解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据图像可得函数的定义域不为0,并根据图像的变化趋势,逐项判断,即可求出结论.
【详解】
若,则 ,不符合题意,故不正确;
若,当时,,
当,当
在存在唯一交点,其横坐标设为
,
而在连续,递增区间是,递减区间是,
所以在存在为唯一的最大值点,满足题意;
若,则当时,,故选项不正确;
由图象可知,函数的定义域中不含0,故不正确.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数图像的辨析,考查函数的性质,属于中档题.
10.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为365,则判断框中可以填( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据条件进行模拟运算,寻找成立的条件进行判断即可.
【详解】
模拟程序的运行,可得,
执行循环体,,,
不满足判断框内的条件,执行循环体,,
不满足判断框内的条件,执行循环体,,
不满足判断框内的条件,执行循环体,,
不满足判断框内的条件,执行循环体,,
不满足判断框内的条件,执行循环体,,
此时,应该满足判断框内的条件,退出循环,输出的值为365.
则判断框内的件为
故选:C.
【点睛】
本题考查补全程序框图,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.
11.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与的渐近线交于两点,若,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,A,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选D.
点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.
12.已知数列满足.令,则的最小值为( )
A.20 B.15 C.25 D.30
【答案】B
【解析】设数列的前项和为,则可计算出.然后应用公式即可计算出数列的通项公式,可得数列是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理,再根据绝对值的特点可得的最小值.
【详解】
依题意,由 ,
可得:.
设数列的前项和为,则.
当时,.
当时,.
也满足上式,故,.
数列是以35为首项,﹣5为公差的等差数列,
当或时,取得最小值.
故选:B.
【点睛】
本题考查数列的前项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质,考查计算求解能力,属于中档题.
二、填空题
13.二项式的常数项为,则__________.
【答案】
【解析】利用二项式定理的通项公式可得,再利用微积分基本定理及其性质即可得出.
【详解】
,
令,解得..
,表示函数与轴围成的面积,
即为在轴上方的半圆面积,,
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义,考查计算求解能力,属于基础题.
14.已知点满足,则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】首先画出可行域,利用的几何意义:区域内的点与原点连线的斜率,因此求最值即可.
【详解】
由已知得到平面区域如图:
表示区域内的点与原点连接的直线斜率,
由解得,由解得
当与连接时直线斜率最大为1,
与连接时直线斜率最小为﹣2,
所以的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用目标函数的几何意义数形结合求最值,属于基础题.
15.已知,两点分别为椭圆的左焦点与上顶点,为椭圆上的动点,则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由椭圆的方程可得,的坐标,进而求出直线的方程,及的长度,当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切,设过的直线方程与椭圆联立,由判别式等于0可得参数的值,即可求解.
【详解】
由椭圆方程可得,
所以直线的方程为:,
由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切时,
两条平行线间的距离最大时,三角形的面积最大,
设过点与平行的切线方程为:,
直线与直线的距离为,
联立直线与椭圆的方程可得: ,
整理可得:,
,可得,解得,
所以当时最大,
这时的最大值为:
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系,意在考查直观想象、数学计算能力,属于中档题.
16.已知,使得不等式能成立,则实数的取值范围为__________.
【答案】或.
【解析】由题意可得,分别,,,运用参数分离和构造函数,求得导数和单调性、最值,结合能成立思想可得所求范围.
【详解】
不等式,即为,
若则不等式显然不成立;
当时,可得,
设, ,
则在时递减,在递增,
即有在处取得最小值,
由题意可得,
又当时,可得,
设 ,则在时递减,
在递增,即有在处取得最大值1,
由题意可得,
综上可得的范围是或,
故答案为:或.
【点睛】
本题以不等式能成立为背景,考查应用导数求函数的最值,分类讨论分离参数是解题关键,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.
三、解答题
17.在中,内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的大小;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得,然后结合三角形的内角和定理即可求解;
(2)由已知结合余弦定理可求,然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
(1).
,
,
,
即,
所以,或或
即,或(舍去),或(舍去),
又因为,故,
(2)由余弦定理可得,
,
,
.
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形,考查计算求解能力,属于基础题.
18.在一次体质健康测试中,某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析,得到这12名学生的测试成绩分别为87,87,98,86,78,86,88,52,86,90,65,72.
(1)请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,并指出该组数据的中位数;
(2)从抽取的12人中随机选取3人,记表示成绩不低于76分的学生人数,求的分布列及期望
【答案】(1)茎叶图见解析,中位数为:;(2)分布列见解析,
【解析】(1)由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,并求出该组数据的中位数.
(2)的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.
【详解】
(1)绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图,如下:
该组数据的中位数为:.
(2)抽取的12人中,成绩不低于76分的有9人,
从抽取的12人中随机选取3人,记表示成绩不低于76分的学生人数,
则的可能取值为0,1,2,3,
,,
,,
的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | |
数学期望.
【点睛】
本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.
19.已知三棱柱中,,,.
(1)求证:平面;
(2)若,求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】(1)答案见解析.(2)
【解析】(1)要证平面,只需求证,结合已知,即可求得答案;
(2)以为坐标原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,根据,即可求得答案.
【详解】
(1),
.
在中,,
由余弦定理得,
,
.
又,
,
又,
平面.
(2)由(1),
又
在中,可得
又
平面;
由(1)得平面,
又
以为坐标原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立空间直角坐标系,
如图:
则
,
又
解得:,故
设平面法向量为
由,可得
故:
取,则
设平面法向量为
由,可得
故:
取
可得:
平面与平面所成二面角的余弦值.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角,解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
20.已知椭圆过点,,其上顶点到直线的距离为2,过点的直线与,轴的交点分别为、,且.
(1)证明:为定值;
(2)如上图所示,若,关于原点对称,,关于原点对称,且,求四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)其上顶点到直线的距离为2,求出,点代入椭圆方程,可求出椭圆方程,设经过点的直线方程为:,可得,.利用,可得,利用两点之间的距离公式可得;
(2)由(1)得直线的方程为,与椭圆方程联立求出,由点到直线距离公式,求出到直线距离,求出四边形面积的关于的表达式,结合关系,由基本不等式求出最大值.
【详解】
(1)其上顶点到直线的距离为2,
,解得.
又椭圆过点,
,解得.
∴椭圆的标准方程为:.
点在椭圆上,.
设经过点的直线方程为:,
可得,.
,即.
为定值.
(2)由(1)得直线斜率为,
方程为,
即,,
联立解得,
,
点到直线的距离为,
当且仅当,即时,等号成立,
,
四边形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积,利用基本不等式求最值,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算,属于较难题.
21.已知函数,且函数在处取到极值.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若函数,且函数有3个极值点,,,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】(1)求出原函数的导函数,由求解值,则曲线在处的切线方程可求;
(2)求出函数的解析式,由,根据已知有
三个解,存在两个不同于的零点, 设,求出取值范围,结合的函数特征,可判断是函数的两个零点,构造函数,研究的单调性,把证明转化为证明即可.
【详解】
(1), ,
函数在处取到极值,,即.
则,,
∴曲线在处的切线方程为;
(2),
函数的定义域为且,
令,,
在上单调递减,在上单调递增;
是的最小值;有三个极值点,
,得.
的取值范围为,
当时,,,
;即,是函数的两个零点.
,消去得;
令,,
的零点为,且.
在上递减,在上递增.
要证明,即证,
等价于证明,即.
,即证.
构造函数,则;
只要证明在上单调递减,
函数 在单调递减;
增大时,减小,增大,减小,
在上是减函数.
在上是减函数.
当时, .
即.
【点睛】
本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明,构造函数是解题的关键和难点,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于难题.
22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)求曲线关于直线对称曲线的参数方程.
【答案】(1):,:;(2)(为参数)
【解析】(1)由,,,可得曲线的直角坐标方程;由代入法可得直线的普通方程;
(2)由圆关于直线的对称为半径相等的圆,由点关于直线对称的特点,解方程可得所求曲线的方程.
【详解】
(1),得
由,,,
曲线的直角坐标方程为,
即为;
直的参数方程为 (为参数),
消去,可得;
(2)设曲线关于直线对称曲线为
圆,
由 可得 ,
则曲线关于直线对称曲线方程为,
其参数方程为 (为参数).
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化,普通方程和参数方程互化,以及圆关于直线对称方程等基础知识,意在考查直观想象、查逻辑推理能力,属于中档题.
23.已知定义在R上的函数.
(1)求的最小值;
(2)若,且,求的最小值.
【答案】(1)3;(2)
【解析】(1)去绝对值化简函数,然后结合函数的单调性,即可求解函数的最值,
(2)结合基本不等式及二次函数的性质可求.
【详解】
解:(1)因为.
所以,
当时,单调递减,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
故当时,函数取得最小值;
(2)若,且,
即,
当且仅当即, 时,等号成立,
则 ,
令, ,而的开口向上,
对称轴方程为,在上单调递增,
当,取得最小值,
的最小值为.
【点睛】
本题考查分类讨论求绝对值函数的最值,以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.