2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(文)试题(解析版)
展开2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据集合的补运算和交运算,即可求得结果.
【详解】
由题知或,
所以,
故选:C.
【点睛】
本题考查二次不等式的解法,集合的运算,属于容易题.
2.式子的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据余弦的倍角公式,结合诱导公式,即可化简.
【详解】
,
故选:A.
【点睛】
本题考查诱导公式,余弦的倍角公式,属于容易题.
3..已知,对应的复数为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据向量的减法坐标公式,解得坐标,再写出对应的复数和其共轭复数.
【详解】
由题可知,
故对应的复数为,
则,
故选:D.
【点睛】
此题考查复平面内点对应的向量,以及共轭复数的概念,属于容易题.
4.在一次期末考试中,随机抽取200名学生的成绩,成绩全部在50分至100分之间,将成绩按如下方式分成5组:.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有( )
A.30名 B.40名 C.50名 D.60名
【答案】B
【解析】根据面积之和为1,计算出所在长方形的面积,即为频率,乘以样本容量即可.
【详解】
由题知,成绩在内的学生所占的频率为,
所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名,
故选:B.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的概念及应用,属于容易题.
5.函数的零点之和为()
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】A
【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程,的根,解方程后再将两根相加即可得解.
【详解】
解:令,解得,
令,解得,
则函数的零点之和为,
故选A.
【点睛】
本题考查了分段函数零点的求解,重点考查了对数的运算,属基础题.
6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生,名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛,若满足约束条件,则该小组最多选拔学生( )
A.21名 B.16名 C.13名 D.11名
【答案】B
【解析】根据不等式组画出可行域,构造目标函数,数形结合即可求得.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示:
目标函数,求得,
观察可知,当直线过点时,有最大值16,
故选:B.
【点睛】
本题考查线性规划的实际应用以及最优解,考查数形结合思想,属于中档题.
7.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据目标函数是奇函数,并且定义域为,据此判断.
【详解】
因为,
所以函数是奇函数,根据奇函数图象的特点可以排除A、D,
又因为函数的定义域是,排除C.
故选:B.
【点睛】
此题考查函数的奇偶性,函数图象识别,属于中档题;一般地,我们从定义域,奇偶性,单调性以及特值得角度来判断.
8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”,即输出值是输入值的,则输入的( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图,使得最后退出循环时,即可得解.
【详解】
时,;时,;时,;时,退出循环.此时,,解得.
故选:C
【点睛】
本题主要考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确结论,属于基础题.
9.已知三个数,则它们之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将数据与或者1比较大小,从而判断三个数据的大小关系.
【详解】
由题知,即,
又因为,故;
所以,
故选:B.
【点睛】
此题考查指数、对数函数的基本性质,弧度制、三角函数的单调性,属于中档题.
10.已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向,且向量,,则平面四边形的面积为()
A. B. C.10 D.20
【答案】C
【解析】由已知可得,可得,可得平面四边形的面积.
【详解】
由向量正交分解的定义可知,,,则,.因为,所以,所以平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积为.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算,考查推理能力与运算求解能力.
11.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用导数使得函数,在区间单调递增;同时也要根据指数型复合函数的单调性,保证在区间上单调递增;最后再保证在分割点处,使得的函数值小于等于的函数值即可.
【详解】
由题知,,即;
由得
只需保证在上恒成立,则在上恒成立,即;
又函数在上单调递增,则需满足,
综上,实数的取值范围是.
故选:C.
【点睛】
此题考查分段函数的单调性,三次函数单调性,恒成立问题等,涉及导数的计算,属于较难题.
12.已知,为图象的顶点,O,B,C,D为与x轴的交点,线段上有五个不同的点.记,则的值为( )
A. B.45 C. D.
【答案】C
【解析】通过分析几何关系,求出,,再将表示成,结合向量的数量积公式求解即可
【详解】
解:由图中几何关系可知,,,,
,,∴,即.
则,
答案选C
【点睛】
本题结合三角函数考查向量的线性运算,找出两组基底向量,是关键
二、填空题
13.命题“”的否定形式是____________.
【答案】
【解析】根据全称命题的否定的求解原则,直接得出结论.
【详解】
由题可知命题“”的否定形式是“”.
故答案为:.
【点睛】
此题考查全称命题的否定的概念,属于容易题.
14.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则 ;函数在处的导数 .
【答案】2 ;-2
【解析】;.
15.如图,在单位圆中,为等边三角形,且,则__________.
【答案】
【解析】根据三角形的面积,可求得,再利用角度关系,应用正弦的和角公式即可求得.
【详解】
记,
∵,∴,
∴,∵,
∴∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】
本题考查三角形的面积,单位圆的概念,角的分拆,和差角的三角函数,数形结合思想、逻辑推理能力等,属于中档题.
16.已知中,角、、对应的边分别为、、,是上的三等分点(靠近点),且,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】利用正弦定理将角化边,反凑余弦定理,求得角;再利用向量的定比分点,结合均值不等式求得最大值.
【详解】
由,
结合正弦定理得,
整理得,得,可得;
因为点是边上靠近点的三分点,
则,
故
即,
即,
当且仅当时取等号,解得,
即的最大值为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查正(余)弦定理,均值不等式的应用,逻辑推理能力等,属于较难题.
三、解答题
17.已知是递增的等差数列,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和的最小值.
【答案】(1);(2)-225.
【解析】(1)巧用等差数列的下标和性质,再由等差数列的基本量,根据题意列方程组即可求得.
(2)由(1)知,数列是等差数列,故直接用公式法求得,再求其最小值即可.
【详解】
(1)因为为等差数列,
则,
又,
故是方程的两根,
∵是递增的等差数列,
解得,
则的公差,
故.
(2)由(1)知,
因为,
故数列是首项为-29,公差为2的等差数列,
由公式可得,
由二次函数的单调性,
可得当时,的最小值为.
【点睛】
本题考查由基本量计算等差数列的通项公式,以及用公式法求解前项和,涉及其最小值的求解,属综合性基础题.
18.在中,内角对应的边分别为,且满足.
(1)求;
(2)若,的面积为,求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)利用正弦定理将边化角,即可得到,再根据同角三角函数关系求得,结合正弦的倍角公式即可求得;
(2)利用(1)中结论,以及面积公式,即可得的一个方程;再根据余弦定理,得到的另一个方程,解方程组即可.
【详解】
(1)由正弦定理可得:
,
故,又,所以,
则.
(2)由,又,
可得.
又,
得,
即,故.
【点睛】
本题考查利用正弦定理将边化角,同角三角函数关系,正弦的倍角公式,以及三角形面积公式,余弦定理解三角形,属综合性基础题.
19.已知四棱锥中,侧面,,是边长为2的正三角形,底面是菱形,点为的中点.
(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)连结,交于,,欲证,只需证即可,再由题意可证明;
(2)由已知条件可得,再求出的体积即可得解.
【详解】
解:(1)连结,交于,由于底面为菱形,为中点
又为的中点,,又
(2)过作,垂足为,由于为正三角形,为的中点,由于侧面,由面面垂直的性质得,
由,得.,
因为为的中点, 所以,
故三棱锥的体积为.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法,重点考查了运算能力,属中档题.
20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关,在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生,调查的结果如下表:
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 |
女生 |
| 8 |
|
男生 | 20 |
|
|
总计 |
|
|
|
(1)根据题意完成上面的列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关?
(2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查,从这5人中任选2人,求2人都喜欢篮球运动的概率.
附:
0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
【答案】(1)填表、分析见详解,能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关;(2).
【解析】(1)根据男生和女生各有40个,即可得到表格中的所有数据,再根据表格数据,利用参考公式,计算,即可进行判断;
(2)先根据分层抽样的等比例抽取的性质,计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人;从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性,再找出满足题意的可能性,用古典概型概率计算公式即可求得.
【详解】
(1)填表如下:
| 喜欢 | 不喜欢 | 总计 |
女生 | 32 | 8 | 40 |
男生 | 20 | 20 | 40 |
合计 | 52 | 28 | 80 |
∴.
所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.
(2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样的方法抽取5人,
则其中喜欢篮球运动的有(人),
不喜欢篮球运动的有(人)
设喜欢篮球运动的4人记为,不喜欢篮球运动的记为,
则从这5人中任选2人的所有结果有:
,共10种.
其中恰好2人都喜欢篮球运动的有,共6种.
所以从这5人中任选2人,2人都喜欢篮球运动的概率为.
【点睛】
本题考查的计算,以及古典概型的概率计算,涉及分层抽样的计算,属综合性中档题.
21.已知函数.
(1)若是函数的一个极值点,试讨论的单调性;
(2)若在R上有且仅有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1)当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2).
【解析】(1)根据极值点处导数为零,计算出参数以及,再对求导,对参数进行分类讨论,从而求得该函数的单调区间;
(2)分离参数,构造函数,通过讨论构造的函数的单调性求得值域,即可求得参数的取值范围.
【详解】
(1),
因为是函数的一个极值点,
则,所以,
则,
当,
当时,恒成立,
在上单调递减,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
综上所述:
当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)在上有且仅有一个零点,
即方程有唯一的解,令,
可得,
由,
得或,
(1)当时,,所以在上单调递减,
所以,所以的取值范围为.
(2)当时,,所以在上单调递增,
所以,即,
故的取值范围为.
(3)当时,,所以在上单调递减,
所以,即,
即的取值范围为.
所以,当或,
即或时,在上有且只有一个零点,
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查对含参函数单调性的讨论,以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题,涉及分离参数,构造函数的数学方法,属综合性中档题.
22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,直线与轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)先将和化为普通方程,可知是两个圆,由圆心的距离判断出两者相交,进而得相交直线的普通方程,再化成极坐标方程即可;(2)先求出l的普通方程有,点,写出直线l的参数方程,代入曲线:,设交点两点的参数为,,根据韦达定理可得和,进而求得的值.
【详解】
(1) 曲线的普通方程为:
曲线的普通方程为:,即
由两圆心的距离,所以两圆相交,
所以两方程相减可得交线为,即.
所以直线的极坐标方程为.
(2) 直线的直角坐标方程:,则与轴的交点为
直线的参数方程为,带入曲线得.
设两点的参数为,
所以,,所以,同号.
所以
【点睛】
本题考查了极坐标,参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度,是常见考题.
23.已知x,y,z均为正数.
(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;
(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)最小值为8
【解析】(1)利用基本不等式可得 , 再根据0<xy<1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.
(2)由=, 得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【详解】
(1)证明:∵x,y,z均为正数,
∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,
当且仅当x=y=z时取等号.
又∵0<xy<1,∴,
∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;
(2)∵=,即.
∵,
,
,
当且仅当x=y=z=1时取等号,
∴,
∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥8,
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8.
【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.