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    2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(文)试题(解析版)

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    2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据集合的补运算和交运算,即可求得结果.

    【详解】

    由题知

    所以

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查二次不等式的解法,集合的运算,属于容易题.

    2.式子的值等于(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据余弦的倍角公式,结合诱导公式,即可化简.

    【详解】

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查诱导公式,余弦的倍角公式,属于容易题.

    3.已知对应的复数为,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据向量的减法坐标公式,解得坐标,再写出对应的复数和其共轭复数.

    【详解】

    由题可知

    对应的复数为

    故选:D.

    【点睛】

    此题考查复平面内点对应的向量,以及共轭复数的概念,属于容易题.

    4.在一次期末考试中,随机抽取200名学生的成绩,成绩全部在50分至100分之间,将成绩按如下方式分成5组:.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有(   

    A30 B40 C50 D60

    【答案】B

    【解析】根据面积之和为1,计算出所在长方形的面积,即为频率,乘以样本容量即可.

    【详解】

    由题知,成绩在内的学生所占的频率为

    所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名,

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查频率分布直方图的概念及应用,属于容易题.

    5.函数的零点之和为()

    A-1 B1 C-2 D2

    【答案】A

    【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程的根,解方程后再将两根相加即可得解.

    【详解】

    解:令,解得

    ,解得

    则函数的零点之和为

    故选A.

    【点睛】

    本题考查了分段函数零点的求解,重点考查了对数的运算,属基础题.

    6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生,名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛,若满足约束条件,则该小组最多选拔学生(   

    A21 B16 C13 D11

    【答案】B

    【解析】根据不等式组画出可行域,构造目标函数,数形结合即可求得.

    【详解】

    作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示:

    目标函数,求得

    观察可知,当直线过点时,有最大值16

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查线性规划的实际应用以及最优解,考查数形结合思想,属于中档题.

    7.函数的图象大致是(   

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】根据目标函数是奇函数,并且定义域为,据此判断.

    【详解】

    因为

    所以函数是奇函数,根据奇函数图象的特点可以排除AD

    又因为函数的定义域是,排除C.

    故选:B.

    【点睛】

    此题考查函数的奇偶性,函数图象识别,属于中档题;一般地,我们从定义域,奇偶性,单调性以及特值得角度来判断.

    8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?用程序框图表达如图所示.若将没了壶中酒改为剩余原壶中的酒量,即输出值是输入值的,则输入的  

    A B C D

    【答案】C

    【解析】模拟执行程序框图,使得最后退出循环时,即可得解.

    【详解】

    时,时,时,时,退出循环.此时,,解得.

    故选:C

    【点睛】

    本题主要考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确结论,属于基础题.

    9.已知三个数,则它们之间的大小关系是(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】将数据与或者1比较大小,从而判断三个数据的大小关系.

    【详解】

    由题知,即

    又因为,故

    所以

    故选:B.

    【点睛】

    此题考查指数、对数函数的基本性质,弧度制、三角函数的单调性,属于中档题.

    10.已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向,且向量,则平面四边形的面积为()

    A B C10 D20

    【答案】C

    【解析】由已知可得,可得,可得平面四边形的面积

    【详解】

    由向量正交分解的定义可知,,则.因为,所以,所以平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积为.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算,考查推理能力与运算求解能力.

    11.已知函数,若函数上单调递增,则实数的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】利用导数使得函数,在区间单调递增;同时也要根据指数型复合函数的单调性,保证在区间上单调递增;最后再保证在分割点处,使得的函数值小于等于的函数值即可.

    【详解】

    由题知,,即

    只需保证上恒成立,则上恒成立,即

    又函数上单调递增,则需满足

    综上,实数的取值范围是.

    故选:C.

    【点睛】

    此题考查分段函数的单调性,三次函数单调性,恒成立问题等,涉及导数的计算,属于较难题.

    12.已知为图象的顶点,OBCDx轴的交点,线段上有五个不同的点.记,则的值为(   

    A B45 C D

    【答案】C

    【解析】通过分析几何关系,求出,再将表示成,结合向量的数量积公式求解即可

    【详解】

    解:由图中几何关系可知,,,,

    ,∴,即

    答案选C

    【点睛】

    本题结合三角函数考查向量的线性运算,找出两组基底向量是关键

     

     

    二、填空题

    13.命题的否定形式是____________.

    【答案】

    【解析】根据全称命题的否定的求解原则,直接得出结论.

    【详解】

    由题可知命题的否定形式是”.

    故答案为:.

    【点睛】

    此题考查全称命题的否定的概念,属于容易题.

    14.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则     ;函数处的导数      

    【答案】2 -2

    【解析】

    15.如图,在单位圆中,为等边三角形,且,则__________.

    【答案】

    【解析】根据三角形的面积,可求得,再利用角度关系,应用正弦的和角公式即可求得.

    【详解】

    .

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查三角形的面积,单位圆的概念,角的分拆,和差角的三角函数,数形结合思想、逻辑推理能力等,属于中档题.

    16.已知中,角对应的边分别为上的三等分点(靠近点),且,则的最大值为_____.

    【答案】

    【解析】利用正弦定理将角化边,反凑余弦定理,求得角;再利用向量的定比分点,结合均值不等式求得最大值.

    【详解】

    结合正弦定理得

    整理得,得,可得

    因为点边上靠近点的三分点,

    当且仅当时取等号,解得

    的最大值为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查正(余)弦定理,均值不等式的应用,逻辑推理能力等,属于较难题.

     

    三、解答题

    17.已知是递增的等差数列,且满足.

    1)求数列的通项公式;

    2)若,求数列的前项和的最小值.

    【答案】1;(2-225.

    【解析】1)巧用等差数列的下标和性质,再由等差数列的基本量,根据题意列方程组即可求得.

    2)由(1)知,数列是等差数列,故直接用公式法求得,再求其最小值即可.

    【详解】

    1)因为为等差数列,

    是方程的两根,

    是递增的等差数列,

    解得

    的公差

    .

    2)由(1)知

    因为

    故数列是首项为-29,公差为2的等差数列,

    由公式可得

    由二次函数的单调性,

    可得当时,的最小值为.

    【点睛】

    本题考查由基本量计算等差数列的通项公式,以及用公式法求解前项和,涉及其最小值的求解,属综合性基础题.

    18.在中,内角对应的边分别为,且满足.

    1)求

    2)若的面积为,求的值.

    【答案】12

    【解析】1)利用正弦定理将边化角,即可得到,再根据同角三角函数关系求得,结合正弦的倍角公式即可求得;

    2)利用(1)中结论,以及面积公式,即可得的一个方程;再根据余弦定理,得到的另一个方程,解方程组即可.

    【详解】

    1)由正弦定理可得:

    ,又,所以

    .

    2)由,又

    可得.

    ,故.

    【点睛】

    本题考查利用正弦定理将边化角,同角三角函数关系,正弦的倍角公式,以及三角形面积公式,余弦定理解三角形,属综合性基础题.

    19.已知四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,底面是菱形,点的中点.

    1)求证:

    2)求三棱锥的体积.

    【答案】1)证明见解析

    2

    【解析】1)连结,交,欲证,只需证即可,再由题意可证明;

    2)由已知条件可得,再求出的体积即可得解.

    【详解】

    解:(1)连结,交,由于底面为菱形,中点

    的中点,,又

    2)过,垂足为,由于为正三角形,的中点,由于侧面,由面面垂直的性质得

    ,得.

    因为的中点, 所以

    故三棱锥的体积为.

    【点睛】

    本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法,重点考查了运算能力,属中档题.

    20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关,在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生,调查的结果如下表:

     

    喜欢

    不喜欢

    总计

    女生

     

    8

     

    男生

    20

     

     

    总计

     

     

     

     

    1)根据题意完成上面的列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关?

    2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查,从这5人中任选2人,求2人都喜欢篮球运动的概率.

    附:

    0.10

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

     

    .

    【答案】1)填表、分析见详解,能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关;(2.

    【解析】1)根据男生和女生各有40个,即可得到表格中的所有数据,再根据表格数据,利用参考公式,计算,即可进行判断;

    2)先根据分层抽样的等比例抽取的性质,计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人;从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性,再找出满足题意的可能性,用古典概型概率计算公式即可求得.

    【详解】

    1)填表如下:

     

    喜欢

    不喜欢

    总计

    女生

    32

    8

    40

    男生

    20

    20

    40

    合计

    52

    28

    80

     

    .

    所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.

    2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样的方法抽取5人,

    则其中喜欢篮球运动的有(人),

    不喜欢篮球运动的有(人)

    设喜欢篮球运动的4人记为,不喜欢篮球运动的记为

    则从这5人中任选2人的所有结果有:

    ,共10.

    其中恰好2人都喜欢篮球运动的有,共6.

    所以从这5人中任选2人,2人都喜欢篮球运动的概率为.

    【点睛】

    本题考查的计算,以及古典概型的概率计算,涉及分层抽样的计算,属综合性中档题.

    21.已知函数.

    1)若是函数的一个极值点,试讨论的单调性;

    2)若R上有且仅有一个零点,求的取值范围.

    【答案】1)当时,上单调递减;当时,上单调递增,在上单调递减;(2.

    【解析】1)根据极值点处导数为零,计算出参数以及,再对求导,对参数进行分类讨论,从而求得该函数的单调区间;

    2)分离参数,构造函数,通过讨论构造的函数的单调性求得值域,即可求得参数的取值范围.

    【详解】

    1

    因为是函数的一个极值点,

    ,所以

    时,恒成立,

    上单调递减,

    时,

    所以上单调递增,在上单调递减.

    综上所述:

    时,上单调递减;

    时,上单调递增,在上单调递减.

    2上有且仅有一个零点,

    即方程有唯一的解,令

    可得

    1)当时,,所以上单调递减,

    所以,所以的取值范围为.

    2)当时,,所以上单调递增,

    所以,即

    的取值范围为.

    3)当时,,所以上单调递减,

    所以,即

    的取值范围为.

    所以,当

    时,上有且只有一个零点,

    的取值范围为.

    【点睛】

    本题考查对含参函数单调性的讨论,以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题,涉及分离参数,构造函数的数学方法,属综合性中档题.

    22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

    1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;

    2)若直线的极坐标方程为,直线轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.

    【答案】1;(2

    【解析】(1)先将化为普通方程,可知是两个圆,由圆心的距离判断出两者相交,进而得相交直线的普通方程,再化成极坐标方程即可;(2)先求出l的普通方程有,点,写出直线l的参数方程,代入曲线,设交点两点的参数为,根据韦达定理可得,进而求得的值.

    【详解】

    (1) 曲线的普通方程为:

    曲线的普通方程为:,即

    由两圆心的距离,所以两圆相交,

    所以两方程相减可得交线为,即.

    所以直线的极坐标方程为.

    (2) 直线的直角坐标方程:,则与轴的交点为

    直线的参数方程为,带入曲线.

    两点的参数为

    所以,所以同号.

    所以

    【点睛】

    本题考查了极坐标,参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度,是常见考题.

    23.已知xyz均为正数.

    1)若xy1,证明:|x+z|⋅|y+z|4xyz

    2)若,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.

    【答案】1)证明见解析;(2)最小值为8

    【解析】1)利用基本不等式可得 , 再根据0xy1, 即可证明|x+z|⋅|y+z|4xyz.

    2)由, ,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.

    【详解】

    1)证明:xyz均为正数,

    ∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z

    当且仅当xyz时取等号.

    ∵0xy1

    ∴|x+z|⋅|y+z|4xyz

    2,即

    当且仅当xyz1时取等号,

    xy+yz+xz≥3∴2xy⋅2yz⋅2xz2xy+yz+xz≥8

    ∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8

    【点睛】

    本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.

     

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