2020届四川省南充市高中高三第一次高考适应性考试数学（理）试题（解析版）
展开2020届四川省南充市高中高三第一次高考适应性考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简集合，按照并集定义，即可得出答案.
【详解】
，
.
故选:B
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分母实数化，即可求得结果.
【详解】
.
故选:C
【点睛】
本题考查复数的除法，属于基础题.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论.
【详解】
若，则成立；
若，则，
故不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题.
4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：设球的半径为R，截面小圆半径为r ，球的表面积
【考点】圆的截面小圆性质及球的表面积
点评：球的半径为R，截面小圆半径为r，球心到截面的距离为d,则有，球的表面积
5．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用二倍角化简，即可得答案.
【详解】
.
故选:D
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.
6．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.
【详解】
展开式的通项为
，
的系数是
故选:C
【点睛】
本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.
7．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，
得，选择C
另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。
8．函数，若方程有且只有一个实数根，则实数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数图像，数形结合，即可求出答案.
【详解】
做出函数图像，如下图所示：
有且只有一个实数根.
故选:A
【点睛】
本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.
9．设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两边平方，可得，即，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出.
【详解】
，两边平方得，
，
，
是线段的中点，.
故选:B
【点睛】
本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题.
10．的内角,,的对边分别为,,.若，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出值，即可求出结果.
【详解】
，，
，平方得，
或，
或，
若则
，
若，则.
故选:D
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题.
11．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．
【详解】
可构造函数F（x）=，
F′（x）==，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．
不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．
即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），
由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．
故不等式的解集为（0，），
故选B．
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
12．已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为（ ）
A． B． C． D．随的变化而变化
【答案】A
【解析】先求出点坐标，得出切线方程，求出三角形的内切圆的半径、直线的方程，联立求出的横坐标，即可得出结论.
【详解】
联立消去，得，
设，直线方程为 ①
设三角形内切圆半径为，则由等面积可得
②
直线的方程为 ③
联立①②③，化简可得，
在中，内切圆圆心，各边的切点分别为，
由圆的切线性质可得，
，
. ，
.
故选:A
【点睛】
本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.
二、填空题
13．已知，，，且，则__________.
【答案】3
【解析】根据向量平行的坐标关系，即可求解,
【详解】
，，
，
.
故答案为:3
【点睛】
本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.
14．函数在区间上的最大值为_________.
【答案】2
【解析】化简函数，根据自变量的范围，即可求出结论.
【详解】
，
，
的最大值为2.
故答案为:2
【点睛】
本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.
15．已知函数，则的值是________.
【答案】11
【解析】根据所求值的自变量的关系，先求的值，即可求出结果.
【详解】
=
，
，，
=11
故答案为:11
【点睛】
本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究的值，属于中档题.
16．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于,两点，又过,两点作轴的垂线，垂足分别为,.若梯形的面积为，则__________.
【答案】
【解析】设,联立直线与抛物线方程求出，代入，即可求出的值.
【详解】
设，抛物线的焦点，
直线方程为，
联立，消去，得，
解得，
，
.
故答案为:
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.
三、解答题
17．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a、b的值
试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有
6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为
（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，
所以，
课外阅读时间落在组的有25人，频率为，
所以
【考点】频率分布直方图
18．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值.
【答案】(1) 25－n (2) 8或9
【解析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通项公式，即可得到前n项和的通项sn；把sn代入得到，讨论求出各项和的最大值时n的取值．
【详解】
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，
∴＝，
∴当n≤8时， >0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时， <0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.
【点睛】
考查学生灵活运用等比数列等比中项性质的能力，掌握等比数列的通项公式，会进行数列的求和的公式.
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，,.
（1）当为何值时，？证明你的结论；
（2）当时，求面与面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）只需，可推出为正方形，即可得到；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出面与面的法向量，即可求出结论.
【详解】
（1）当时，为正方形，则.
因为,,
所以，又.
所以.
故当时，.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，
的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
，，，
，，
设是面的法向量，则
，即可取,
是平面的法向量，
所以,
所以，
所以面与面所成二面角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，以及用向量法求空间角，考查计算能力，属于中档题.
20．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于,两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）根据椭圆定义求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）假设满足条件的直线存在，与椭圆方程联立，求出直线满足的条件，根据已知条件在线段的垂直平分线上，结合直线的斜率公式，推导出直线不存在.
【详解】
（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，
所以.由椭圆定义可得,
解得,所以
所以椭圆的标准方程为
（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，
由得，即
，
，
解得
设，，则,,
由于，设线段的中点为，则，
所以又，
所以，解得.
当时，不满足.
所以不存在满足条件的直线.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.
21．已知函数，
（Ⅰ）若在函数的定义域内存在区间，使得该函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值或取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】分析：（Ⅰ）对函数求导，由函数在区间上为减函数，等价于在上有解，对进行分类讨论，从而可得实数的取值范围；（Ⅱ）根据导数的几何意义求得切线的方程，由切线与曲线有且只有一个公共点，等价于方程在上有且只有一解，从而设，则在上有且只有一个零点，求出函数有零点，然后讨论当时，时，利用导数研究函数的单调性，利用函数的零点，即可求出实数的值或取值范围．
详解：（Ⅰ）因为.
依题意知在上有解．
当时显然成立；
当时，由于函数的图象的对称轴，
故需且只需，即，解得，故．
综上所述，实数的取值范围为．
（Ⅱ）因为，，故切线的方程为，即．
从而方程在上有且只有一解．
设，则在上有且只有一个零点．
又，故函数有零点．
∵．
当时，，又不是常数函数，故在上单调递增．
所以函数有且只有一个零点，满足题意．
当时，由，得或，且．
由，得或；
由，得．
所以当在上变化时，，的变化情况如下表：
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
根据上表知．
而函数．
所以，故在上，函数又存在一个零点，不满足题意．
综上所述，．
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、转化思想、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．
22．在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.
【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).
【解析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.
（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.
【详解】
（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，
整理可得直角坐标方程为，
的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.
（2）设曲线与轴异于原点的交点为，
∵，∴过点，
设直线的参数方程为（为参数），
代入可得，解得或，
可知，
代入可得，解得，
可知，
所以，
当且仅当时取等号，
所以线段长度的最小值为.
【点睛】
直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.
23．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的最大值；
(2)记(1)中的最大值为，正实数，满足，证明: .
【答案】(1)2；(2)详见解析.
【解析】（1）根据绝对值解不等式求出f（x）的最小值为1，从而得出|m﹣1|≤1，得出m的范围；
（2）两边平方，使用作差法证明．
【详解】
(1)由
得，要使恒成立，只要，
即，实数的最大值为；
(2)由(1)知，又
故，
，
，
.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．
