2020届四川省绵阳南山中学高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题（解析版）


四川省绵阳南山中学2019-2020学年上学期高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）
A. B. C. D.
2. 已知点，向量，则向量=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知α∈（π，π），cosα=-，则tan（-α）等于（　　）
A. 7 B. C. D.
4. 若a，bc为实数，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
5. 设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）
A. B. C. D.
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为（　　）
A. B. C. D.
7. 已知函数f（x）=e|x|+cosx，若f（2x-1）≥f（x），则实数x的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
8. 已知正项等比数列的公比为3,若,则的最小值等于(    )
A. 1 B. C. D.
9. 已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）（　　）
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位
10. 已知函数,则“”是“在上单调递增”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 定义在R上的函数f(x)满足：＞恒成立，若x1＜x2，则与的大小关系为（    ）
A.
B.
C.
D. 与的大小关系不确定
12. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题）
13. 设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x•（1+x），则=______．
14. 已知直线y＝kx-2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为_________．
15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是______．
三、解答题（本大题共8小题）
16. 若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为______．







17. 设f（x）=2sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．







18. 设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求++…+．







19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．







20. 已知函数f（x）=ex-x2+2ax．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．







21. 已知函数f(x)＝lnx +a(1-x)．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．







22. 已知直线l的参数方程为（t为参数）．椭圆C的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标；
（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．







23. 已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．
（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】【分析】
本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
​求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】
解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选A．
2.【答案】A

【解析】【分析】
求出有向线段，然后由=求之．
本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
​【解答】
解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（-4，-3），
则向量==（-7，-4）；
故选：A．
3.【答案】B

【解析】解：∵α∈（π，π），cosα=-，
∴sinα=-=-，
∴tanα==，
则tan（-α）===．
故选：B．
由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
4.【答案】B

【解析】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2，当c=0时不成立，
对于B：根据不等式的性质1，若a＜b，则a+c＜b+c，故成立，
对于C：若a＜b，则ac＜bc，当c=0时不成立，
对于D：若a＜b，则ac＜bc，当a=-1，b=1时不成立，
故选：B
根据不等式的基本性质，判断每个选项即可
本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题
5.【答案】A

【解析】【分析】
本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．
根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】
解：若•=0，•=0，则•=•，即（-）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，
故选：A．


6.【答案】B

【解析】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），
则31×5+d=390，解得d=．
则=
=•=•=．
故选：B．
由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，设公差为d（尺），运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．
本题考查等差数列在实际问题中的运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．
7.【答案】A

【解析】解：f（x）是R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=ex+cosx，f′（x）=ex-sinx≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴由f（2x-1）≥f（x）得，f（|2x-1|）≥f（|x|），
∴|2x-1|≥|x|，
∴（2x-1）2≥x2，解得或x≥1，
∴实数x的取值范围为．
故选：A．
可看出f（x）是R上的偶函数，并且x≥0时，得出f（x）=ex+cosx，根据导数符号即可判断出f（x）在[0，+∞）上单调递增，从而根据f（2x-1）≥f（x）可得出|2x-1|≥|x|，两边平方即可解出x的范围．
本题考查了偶函数的定义，根据导数符号判断函数的单调性的方法，根据函数的单调性解不等式的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
8.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力,属于较易题.
利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后利用基本不等式求最小值即可．
【解答】
解：正项等比数列{an}的公比为3，
​若=a32，可得m+n=6,m,n∈．
=
,
当且仅当m=2n,即m=4,n=2时，​的最小值等于．
故选：C．
9.【答案】B

【解析】解：由函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象
可得A=1，==，解得w =2．
再把点（，1）代入函数的解析式可得1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．
再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．
把函数y=cosx的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y=cos2x的图象，
再向右平移个单位可得y=cos2（x-）=cos（2x-）=sin[-（2x-）]
=sin（-2x）=sin[π-（-2x）]=sin（2x+）=f（x）的图象．
故选：B．
由函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A =1，求出w=2，φ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．再由函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．
10.【答案】A

【解析】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）=x2+a≥0恒成立，
即a≥0，
∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A．
利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
11.【答案】A

【解析】【分析】
本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
【解答】
解：构造函数g（x）=，则，
∴函数g（x）单调递增，
∵若x1＜x2，
∴g（x1）＜g（x2），
即，
∴f（x2）＞ef（x1），
故选：A．
12.【答案】B

【解析】解：（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，
解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．
（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），
令f′（x）=0，解得x=0或．
①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，
f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当＜x＜0时，f′（x）＞0，
此时函数f（x）单调递增．
∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．
∵函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则：；即：，可得a＜-2．
②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．
不满足函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故选：B．
（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．
（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】

【解析】解：由题意可得，=．
故答案为：．
由奇函数的性质可得，，由周期性可得，进而得解．
本题考查函数奇偶性及周期性的综合运用，考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】1+ln2

【解析】【分析】
本题给出直线是曲线y=xlnx的切线，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题
设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．
【解答】
解：设切点为（x0，x0lnx0），
对y=xlnx求导数，得y′=lnx+1，
∴切线的斜率k=lnx0+1，
故切线方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），
整理得y=（lnx0+1）x-x0，
与直线y=kx-2比较，
得：，
故k=1+ln2，
故答案为：1+ln2．
．
15.【答案】2

【解析】解：由已知条件知：==x2-xy+y2=（x+y）2-3xy；
∴（x+y）2-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；
∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．
故答案为：2．
对两边平方并根据已知条件可得到：x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=1，所以（x+y）2-1=3xy，因为根据向量加法的平行四边形法则可知，x，y＞0，所以，所以，所以得到x+y≤2，所以x+y的最大值是2．
考查向量数量积的运算及计算公式，向量加法的平行四边形法则，基本不等式．
16.【答案】6

【解析】【分析】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=-x+z，
平移直线y=-x+z，
由图象知当直线y=-x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
17.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2 =2sin2x-1+sin2x=2•-1+sin2x
=sin2x-cos2x+-1=2sin（2x-）+-1，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-）+-1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+-1的图象，
∴g（）=2sin+-1=．

【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
18.【答案】解：（Ⅰ）{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，
{an}的通项公式；an=a1+（n-1）d=nln2，
（Ⅱ）==2n，
∴++…+=21+22+23+…+2n==2n+1-2．

【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，即9=a2+c2-4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．

【解析】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．
（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；
（2）由余弦定理可得cosC，求得sinC，sinB，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．
20.【答案】解：（1）∵f'（x）=ex-2x+2，∵f'（1）=e，即k=e，f（1）=e+1
∴所求切线方程为y-（e+1）=e（x-1），即ex-y+1=0
（2）f'（x）=ex-2x+2a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴在R上恒成立，
令，，令g'（x）=0，则x=ln2，
∵在（-∞，ln2）上g'（x）＞0；在（ln2，+∞）上，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，
∴g（x）max=g（ln2）=ln2-1，
∴a≥ln2-1，
∴实数a的取值范围为[ln2-1，+∞）．

【解析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到f′（1），再求得f（1），代入直线方程点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0在R上恒成立，得ex-2x+2a≥0在R上恒成立，分离参数a后利用函数的导数求解函数的最值，然后求解实数a的取值范围；
本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用单调性证明函数不等式，是压轴题．
21.【答案】​解：（1）f′（x）=-a（x＞0）．
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，
当x∈时，f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在单调递减．
（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．
当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，
最大值为=ln+a
=-lna+a-1．
因此＞2a-2等价于lna+a-1＜0．
令g（a）=lna+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0．
于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，
因此，a的取值范围是（0，1）．

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（1）f′（x）=-a（x＞0），对a分类讨论即可得出单调性．
（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=-lna+a-1．因此＞2a-2等价于lna+a-1＜0．令g（a）=lna+a-1，利用其单调性即可得出．
22.【答案】解：（1）椭圆C的参数方程为（α为参数）．
转化为直角坐标方程为：．
点A的极坐标为（2，）．
转换为直角坐标为：（）．
（2）直线l的参数方程（t为参数），
转化为直角坐标方程为：x+y-1=0．
则：，
整理为：，
解得：，
故：P（0，1），Q（），
所以：|PQ|=，
点A（1，）到直线x+y-1=0的距离d=，
则：=．

【解析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方进行转化．
（2）利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，两点间的距离公式的应用．
23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．
当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；
当时，不等式化为x＞0，解得；
当时，不等式化为x＜2，解得；
综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．
（2）由题设可得
所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，
该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．
由题设，且a＜0，解得a＜-1．
所以a的取值范围是（-∞，-1）．

【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．
本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．