2020届四川省绵阳南山中学高三上学期一诊热身考试 数学文
展开2019年10月
绵阳南山中学2019年秋季高2017级绵阳一诊热身考试
文科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝
A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1]
2.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝
A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
3.已知，，则
A．7 B. C．－ D．－7
4.若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b，则a＋c＜b＋c
C．若a＜b，则ac＜bc D．若a＜b，则＞
5.设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是
A．p∨q B．p∧q
C．(p)∧(q) D．p∨(q)
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
8.已知正项等比数列的公比为3,若，则的最小值等于
A.1 B. C. D.
9.已知f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x的图象(纵坐标不变)如何变换得到
A.先把各点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位
B.先把各点的横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位
10.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.定义在R上的函数f(x)满足：恒成立，若，则与的大小关系为
A．ex1f(x2) > B．ex1f(x2) <
C．ex1f(x2)＝ D．ex1f(x2)与的大小关系不确定
12.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是
A.(2，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，－2) D.(－∞，－1)
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡的横线上）
13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
14.设是周期为4的奇函数,当时,,则
15.已知直线与曲线相切,则实数的值为
16.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
三．解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分为12分）
设
(1)求的单调递增区间;
(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值.
18．（本小题满分为12分）
设是等差数列,且，
（1）求的通项公式;
(2)求的值
19. （本小题满分为12分）
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为且.已知·=2,，
(1)求和的值; (2)求的值.
20.（本小题满分为12分）
已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在R上单调递增,求实数的取值范围.
21．（本小题满分为12分）已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所作的第一个题目计分。
22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分为10分）
已知直线l的参数方程为 (t为参数)，椭圆C的参数方程为(α为参数).在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为
(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标.
(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积.
23.【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分为10分）
已知函数f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a≤0.
(1)当a＝0时，求不等式f(x)<1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围.
绵阳南山中学2019年秋季高2017级绵阳一诊热身考试
文科数学试题参考答案
1.A 由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.
2.A [＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．]
3.B [∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－，故tan α＝＝，因此tan＝＝.]
4.B [对于A：当c＝0时，ac2＝bc2，排除A；对于C：当c＝0时ac＝bc，排除C；对于D：当a＝－1，b＝1时，＜，排除D，故选B.]
5.A 若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，因为a，b，c是非零向量，则∥平行，，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A
6. B 7.;A 8.C 9. B
10.A f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
11.A 设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意g′(x)>0，所以g(x)单调递增，当x1<x2时，g(x1)<g(x2)，即，所以．
12.C a＝0时，不符合题意.a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f＞0，即a×－3×＋1＞0，化简得a2＞4，则a＜－2.
13 6 14. 15.1+ln 2 16.2
17．（本小题满分为12分）
解析 (1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x)
=(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x+-1=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,
即g(x)=2sin x+-1. 所以g=2sin+-1=.
18．解析 (1)设{an}的公差为d.因为a2+a3=5ln 2,所以2a1+3d=5ln 2.
又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2.
(2)因为=eln 2=2,==eln 2=2,
所以{}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以++…+=2×=2(2n-1).
19.解析 (1)由·=2得c·acos B=2. 又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2. 因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===.
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.
20.解析 (1)当a=1时,f(x)=ex-x2+2x,f '(x)=ex-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,
∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f '(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上单调递增,∴f '(x)≥0在R上恒成立,
∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-,则g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2,
∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,
∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,
∴a≥ln 2-1, ∴实数a的取值范围为[ln 2-1,+∞).
21．解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-a.
若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时, f '(x)>0;当x∈时,f '(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)解法一:由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时, f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1. 因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1, 则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
解法二:由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时, f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a<1.
当a≥1时,ln a+a≥a≥1; 当0<a<1时,ln a+a<a<1. 因此,a的取值范围是(0,1).
解法三:由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时, f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.
当0<a<1时,因为f(1)=0,所以f(x)的最大值大于2a-2;
当a≥1时, f(x)的最大值f=-ln a+a-1≤a-1≤2a-2. 因此,a的取值范围是(0,1).
22.解 (1)由得椭圆C的普通方程为＋y2＝1.
因为A的极坐标为，所以x＝2cos＝1，y＝2sin＝，A在直角坐标系下的坐标为(1，).
(2)将代入＋y2＝1，化简得10t2－6t－11＝0，
设此方程两根为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t1＝－.
∴|PQ|＝＝.
因为直线l的一般方程为x＋y－1＝0，所以点A到直线l的距离d＝＝.
∴△APQ的面积为××＝.
23.解 (1)当a＝0时，f(x)<1化为|2x－1|－|x|－1<0.
当x≤0时，不等式化为x>0，无解；
当0<x≤时，不等式化为x>0，解得0<x≤；
当x>时，不等式化为x<2，解得<x<2；
综上，f(x)<1的解集为{x|0<x<2}.
(2)由题设可得f(x)＝
所以f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，(1－a，0)，，该三角形的面积为.
由题设>，且a≤0，解得a<－1.
所以a的取值范围是(－∞，－1).
