2020届四川省棠湖中学高三一诊模拟考试数学（理）试题
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理科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．复数，其中是虚数单位，则
A． B． C． D．
2．设集合，，则
A． B． C． D．
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为
A． B． C． D．
4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是
A． B． C．1 D．2
5．在△ABC中，，c=4，，则b=
A． B．3 C． D．
6．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的长为
A． B． C． D．
8．五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有
A．种 B．48种 C．72种 D．种
9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为
A. B． C． D．
10．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积
A．与都有关 B．与都无关
C．与有关，与无关 D．与有关，与无关
11．已知数列满足：， ，则下列关
于的判断正确的是
A．使得 B．使得
C．总有 D．总有
12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若实数满足，则的最大值是 .
14．双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于 .
15．在的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
16．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）
已知中，，，.
（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求边上的中线的长.
18．（12分）为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分都在区间.已知评估综合得分与产品等级如下表：
根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.
甲型 乙型
（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；
（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量为其中二级品的个数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,,，，为中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？
若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求证：对任意实数，都有；
（Ⅱ）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l：(t为参数), 曲线(为参数)．
（Ⅰ）设l与C1相交于AB两点,求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值．
23．已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）令，的图象与两坐标轴的交点分别为，， ，若三角形的面积为，求得值.
四川省棠湖中学高2020届一诊模拟考试
理科数学试题参考答案
1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．C
13．2 14． 15． 16．②④
17．解：（1）且，
∴．
在中，由正弦定理得，即，解得．
所以的面积为
（2）在中，， 所以由余弦定理得
，所以．
18．（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件
由图可得
（Ⅱ）的可能取值为
，
，
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
方法一：
方法二：服从二项分布所以
（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案）
1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；
2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好；
19．（I）设交于点，连结.
因为底面是矩形,所以为中点 .
又因为为中点 , 所以∥.
因为平面平面,所以∥平面.
（II）取的中点，连结，.
因为底面为矩形,所以.
因为，,所以∥，所以.
又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.
所以PO⊥平面ABCD，
如图，建立空间直角坐标系,则，
设平面的法向量为，
所以
令，则，所以.
平面的法向量为，则.
如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）在棱上存在点, 使.
设,则.
因为,所以.
.
因为,所以.
所以，解得.
所以在棱上存在点,使，且.
20．（Ⅰ）由已知，得，所以，
又，所以
所以椭圆的标准方程为，离心率.
（Ⅱ）设，， ，
①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．
因为，，，
所以．
所以，即点与原点重合;
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由 得，．
所以.，则，
因为，，，
所以．
所以，．，，
消去得．
综上，点构成的曲线的方程为
对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．
把的坐标代入曲线的方程的左端：．
所以点也在曲线上．所以由点构成的曲线关于直线对称.
21．解：（1）证明：由已知易得，所以
令得：
显然，时，<0，函数f（x）单调递减；
时，>0，函数f（x）单调递增
所以
令，则由得
时，>0，函数t（）单调递增；
时，<0，函数t（）单调递减，所以，即结论成立.
（2）由题设化简可得
令，所以
由=0得
①若，即时，在上，有，故函数单调递增
所以
②若，即时，在上，有，故函数在上单调递减
在上，有.故函数在上单调递增
所以，在上，
故欲使，只需即可
令，由得
所以，时，，即单调递减
又，，故
22.（1）的普通方程为，的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,则.
（2）的参数方程为（为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,
由此当时, 取得最小值,且最小值为.
23．(1)当时，不等式可化为，
①当时，不等式化为，解得：；
②当时，不等式化为，解得：；
③当时，不等式化为，解集为，综上，不等式的解集为.
(2)由题设得，
所以的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，
于是三角形的面积为，
得，或（舍去），故.
